sich wieder das Rollen aus zwei Einzelbewegungen zusammengesetzt, nämlich aus einer Drehung von k um sein Centrum N, wobei der beschreibende Punkt von A nach M gelangen mag, und aus einer Drehung um das Centrum O von 7, bei welcher der Stützpunkt in L und gleichzeitig M in M' übergeht. Hierbei ist Bog AL' = Bog AM zu nehmen. Trifft die Gerade MA den Kreis zum zweiten Male in M1, so trage man, um den Punkt der Epicykloide zu finden, Bog L'M' = Bog AM, und auf der Sehne M'L' die Strecke L’'M' = AM ab. Zu M selbst als beschreibendem Punkte wird der Krümmungsmittelpunkt P gefunden, wenn man den Endpunkt Q des Durchmessers MQ vom rollenden Kreise mit dem Centrum O des festen verbindet und MA mit QO schneidet. Hieraus findet sich der Krümmungsmittelpunkt P' der Epicykloide für den Punkt M' auf der Kurvennormale M'L' durch die Relation M'P' = MP.

575. Der Durchmesser AR des rollenden Kreises liegt in der Verlängerung des Radius 04 vom festen. Man ziehe PS || Q4 und QR || PA, schlage über dem Durchmesser AS einen Kreis p, der P enthält, und um O einen Kreis q vom Radius OS. Dann bestehen die Beziehungen:

aus denen zu schließen ist, daß die beiden Kreise p und q eine zu k und ähnliche und ähnlichliegende Figur bilden (Ähnlichkeitscentrum 0). Es bildet aber p den geometrischen Ort der Punkte P für k als Ort der Punkte M und indem k auf I rollt, rollt p auf q. Daher folgt der Satz:

Die Evolute einer Epicykloide ist eine ähnliche Epicykloide. Den Spitzen der Evolute entsprechen Scheitel der Epicykloide, z. B. der nach einer halben Umdrehung von k erreichte Scheitel C; umgekehrt bilden die Spitzen der Epicykloide die Scheitel der Evolute.

Nach vorstehenden Angaben ist es leicht, die Epicykloide zu konstruieren. Sie schließt sich, wie schon oben erwähnt, wenn die Radien von k und ein rationales Verhältnis z: haben, nach Gängen und x Umläufen. Bei gleichen Radien ergiebt sich eine nur aus einem Gange bestehende Pascal'sche Linie, die den Namen Kardioide führt.

576. Neben k mag noch ein zweiter rollender Kreis k, mit dem Radius 4N1 = NA AO betrachtet werden, der den festen Kreis einschließt. Sein Berührungspunkt falle anfänglich mit A zusammen und die Gerade MA treffe ihn in M2. A ist gemeinsames Ähnlichkeitscentrum für die drei Kreise 1, k und k. Hier

aus folgt erstens, daß die Tangenten von 7 in M, und M,' mit den gleichen Sehnen MA und M'L' denselben Winkel bilden, wie die Tangente von k in M2 mit MA; zweitens folgt:

und

AM2 = MA + AM1 = M'M1'

Bog AM2 = Bog MA + Bog AM1 = Bog AM1' . Beim Rollen von k1 auf 7 fällt daher einmal der Punkt M2 mit ' und gleichzeitig der ursprünglich in A gelegene beschreibende Punkt mit M' zusammen. Es besteht also der Satz:

Wenn von zwei Kreisen k und k, der kleinere den Kreis ausschließt, der größere einschließt und die Differenz ihrer Radien dem Radius von gleich ist, so erzeugen beide beim Rollen auf die nämlichen Epicykloiden.

Damit ein Gang der Epicykloide beschrieben werde, muß der Stützpunkt des größeren Kreises einen vollen Umlauf mehr zurücklegen als der des kleineren.

577. Rollt ein Kreis k in einem festen Kreise l, so beschreibt ein Punkt seiner Peripherie eine Hypocykloide. Diese Kurve

=

wird durch genau dieselben Operationen konstruiert, wie vorhin die Epicykloide in 574. In der Fig. 371 sind daher die einzelnen Elemente mit den gleichen Buchstaben bezeichnet wie in Fig. 369. Es besteht namentlich aus analogen Gründen, wie dort, der Satz:

Die Evolute einer Hypocykloide ist eine ähnliche Hypocykloide. Die Spitzen der Hypocykloide bilden die Scheitel der Evolute und den Spitzen dieser entsprechen die Scheitel jener Kurve.

Um die Hypocykloide auf eine zweite Art zu erzeugen, hat man hier den rollenden Kreis k, mit dem Radius N40A NA zu betrachten. Läßt man seinen Berührungspunkt mit wieder zu Anfang nach A fallen und nimmt an, daß er im entgegengesetzten Sinne rollt, wie k, so folgt wie oben die Gleichheit der Winkel an den Scheiteln M, M' und M2, weiter hat man:

Daher fällt im Laufe der rollenden Bewegung von k, der Punkt M2 mit M und zugleich der beschreibende Punkt mit M' zusammen und es gilt der Satz:

Rollen zwei Kreise k und k, in dem festen Kreise und ist die Summe ihrer Radien dem Radius von 7 gleich, so erzeugen sie die nämlichen Hypocykloiden.

578. Indem eine Gerade k als Tangente an einem Kreise / abrollt, beschreibt ein mit ihr verbundener Punkt eine Kreisevolvente. Diese ist gespitzt, wenn sich auf k selbst befindet, verschlungen wenn M mit dem Centrum O des Kreises auf derselben Seite von k liegt und gestreckt, wenn M und O auf entgegengesetzten Seiten liegen.

Wir betrachten zuerst die gespitzte Kreis evolvente näher. Der Ursprung ist dadurch bestimmt, daß der beschreibende Punkt mit dem Berührungspunkte der rollenden Geraden zusammenfällt. Die Kurve, die man sich von A aus vor- und rückwärts beschrieben zu denken hat, bildet in 4 eine Spitze und verläuft mit sich erweiternden Spiralenwindungen von beiderlei Umlaufssinn ins Unendliche. Sie überschneidet sich selbst in unendlich vielen Doppelpunkten, wie z. B. in D (Fig. 372), die sämtlich auf dem verlängerten Durchmesser 40 des Kreises liegen. Für jeden Punkt M der gespitzten Kreisevolvente ist der zugehörige Stützpunkt L der rollenden Geraden der Krümmungsmittelpunkt und der Krümmungshalbmesser MP gleich dem vom Stützpunkte durch

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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laufenen Bogen AP des Kreises. Zur Konstruktion dient die Rektifikation des Kreises mittels einer Teilung in eine hinreichend große Anzahl gleicher, als geradlinig aufzufassender Teile, die auf den Kreistangenten in den Teilpunkten abzutragen sind. Ist u gleich

dem Umfange des Kreises, so gelangt man durch Weitertragen der Strecke u auf jeder seiner Tangenten von Punkten der ersten Windung zu solchen der zweiten, u. s. f.

579. Zur Konstruktion der allgemeinen Kreisevolvente gelangt man durch folgende Überlegung (Fig. 373). Die auf dem Kreise (Centrum O) rollende Gerade k berühre ihn in Z. Ihre Anfangslage sei so gewählt, daß der mit k verbundene beschreibende Punkt auf OL fällt.

Schreitet der Stützpunkt von k auf bis nach I fort, so geht L in die Lage L" über. Ist ferner L'M' = LA und 1 LL", so giebt M' die gleichzeitig vom Punkte A erreichte Lage an. Zieht man durch M' die Parallele zu L'L", so berührt sie den um 0 durch A beschriebenen Kreis i in dem Punkte M, der auf OL' liegt. Mithin steht die Tangentenstrecke MM' zu dem Kreisbogen AM für jeden Punkt M' der Evolvente in einem unveränderlichen Verhältnisse:

Man erhält alle Evolventen des Kreises 7, indem man dem beschreibenden Punkte A alle möglichen Lagen auf OL erteilt. Dabei

durchläuft x alle Werte von + bis + 1 und von + 1 bis wenn der Punkt A die Gerade LO vom Unendlichen bis zu L und von da über O bis wieder ins Unendliche durchläuft. Daher gilt der Satz: Bewegt sich eine Gerade als Tangente eines Kreises und auf ihr ein Punkt derart, daß sein Abstand MM' vom Berührungspunkte M dem von diesem zurückgelegten Kreisbogen AM (oder dem zugehörigen Centriwinkel ) proportional wächst, so beschreibt er eine allgemeine Kreisevolvente. Diese ist gestreckt, gespitzt oder verschlungen, je nachdem das Verhältnis x1 ist (wo x = MA:MM').

k

Fig. 373.

In Fig. 373 sind eine gestreckte und eine verschlungene Kreisevolvente dargestellt. Erstere besitzt außer dem Ursprunge A noch zwei weitere Scheitelpunkte und zwei Wendepunkte. Bei der letzteren bildet der Ursprung 4, den einzigen Scheitel; Wendepunkte treten nicht auf. Die Doppelpunkte beider Kurven liegen auf der Geraden 40 oder 40. Den Krümmungsmittelpunkt P zu einem allgemeinen Punkte M' der Kreisevolvente findet man leicht nach der in 565 gegebenen Vorschrift.

580. Die verschlungene Kreisevolvente geht für den speziellen Fall xo in eine Archimedische Spirale über. Für diese er

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