rollenden Geraden um den festen Kreis entspricht. Die Windungen erstrecken sich von einem Ursprunge aus mit beiderlei Umlaufssinn ins Unendliche. Besondere Beachtung verdient die verschlungene Kreisevolvente, deren Ursprung im Centrum des Kreises liegt; sie ist als Spirale des Archimedes bekannt.

Außer den wichtigeren cyklischen Kurven soll hier noch die Sinuslinie kurz besprochen werden, die nach ihrer Entstehungsweise mit ihnen verwandt ist.

571. Rollt der Kreis k auf der geraden Linie 1, so beschreibt irgend ein Punkt M seiner Peripherie eine gespitzte Cykloide. Die Ursprungspunkte sind Spitzen und werden von den Punkten gebildet, in denen der beschreibende Punkt auf die Bahnlinie 7 trifft; sie folgen einander in Abständen gleich dem Umfange des rollenden Kreises. Jeder Gang ist symmetrisch zu der Normalen durch seinen höchsten, nach einer halben Umdrehung von k erreichten Punkt. — Es seien und B auf zwei aufeinander folgende Spitzen der

m

M

AL

B

=

Fig. 367.

Cykloide (Fig. 367) und k der rollende Kreis in der Anfangslage, wo der Stützpunkt I mit zusammenfällt. Die rollende Bewegung von k denke man sich zusammengesetzt aus einer Drehung um das Centrum N, wobei A in M übergehen mag, und einer Verschiebung in der Richtung der Bahnlinie 7, deren Größe durch die Strecke AL' Bog AM gegeben ist. Um die Endlage M' des beschreibenden Punktes zu erhalten, ist L'M' AM zu ziehen. Zu M als beschreibendem Punkte findet man P als Krümmungscentrum, wenn man aus dem Endpunkte Q des Kreisdurchmessers MQ die Senkrechte zu zieht und sie mit MA schneidet (vergl. 565, 566). P liegt auf einem zu k kongruenten Kreise h, der 7 in A von der entgegengesetzten Seite berührt. Aus P ergiebt sich der Krümmungsmittel

=

punkt P' der Cykloide im Punkte M' durch die Beziehung PP' #AL'. Hieraus folgt: M'L' = L'P', d. h. der Satz: Der Krümmungsradius der Cykloide im Punkte M ist gleich dem doppelten Abstande desselben vom Stützpunkte, oder gleich der doppelten Normalen. Zieht man parallel zu 7 die Tangente i des Kreises h und bemerkt, daß PP' Bog AP ist, so erkennt man, daß P' aus A hervorgeht, indem der Kreis h auf der Geraden i rollt. Daher gilt der Satz: Die Evolute einer Cykloide ist eine zu ihr kongruente Cykloide. Der höchste Punkt C des Cykloidenganges liegt mitten zwischen den beiden Spitzen A und B; seine Höhe über der Bahnlinie ist dem Durchmesser des rollenden Kreises gleich. Da diesem Punkte C eine Spitze der Evolute entspricht, so ist er ein Scheitelpunkt (vergl. 449). Die Scheitel der Evolute fallen mit den Spitzen der Cykloide zusammen. Man konstruiert die Cykloide zweckmäßig unter Benutzung einiger Krümmungskreise, die sich nach dem Gesagten leicht finden lassen.

572. Ein Punkt M der Innenfläche des Kreises k beschreibt, wenn auf der Geraden 7 rollt, eine gestreckte Cykloide. Man

K M

R

B

Fig. 368.

zeichne den Kreis in solcher Lage, daß der beschreibende Punkt seine tiefste Position A auf dem Radius des Stützpunktes L einnimmt. A ist ein Ursprungspunkt; sein Abstand vom nächsten Ursprungspunkte B ist dem Kreisumfange gleich. Durch 4 werde

=

ein mit k koncentrischer Kreis m gelegt (Fig. 368). Nimmt man auf meinen Punkt M an, schneidet den Radius NM mit k in K, trägt auf der Bahnlinie vom Stützpunkte Laus die Strecke LL Bog LK ab und macht L'M' LM, so ist M' ein Punkt der Cykloide. Es ist zweckmäßig, alle weiteren Konstruktionen an den anfangs gezeichneten Kreisen k und m vorzunehmen, und die konstruierten Punkte erst nachträglich durch die entsprechende Verschiebung parallel zur Bahnlinie in ihre schließliche Lage überzuführen. Zu dem beschreibenden Punkte M ergiebt sich (nach 565) der Krümmungsmittelpunkt P und aus P der Krümmungsmittelpunkt P' der Cykloide im Punkte M', wenn PP'LL' gemacht wird. Die Ursprungspunkte A und B, sowie der, nach einer halben Umdrehung des rollenden Kreises erreichte, höchste Punkt C sind Scheitel der gestreckten Cykloide. Jeder Gang ist gegen die Normale seines höchsten Punktes C symmetrisch. Im Punkte 4 oder B ist die Cykloide gegen die Bahnlinie 7 konvex, in C konkav; zwischen und C wechselt sie daher die Krümmung in einem Wendepunkte und ebenso zwischen C und B in W. Da der Mittelpunkt N des rollenden Kreises eine gerade Linie || 7 beschreibt, so gehört er stets dem Wendekreise w für den betreffenden Stützpunkt an und dieser ist speziell für L über dem Durchmesser LN zu schlagen. Ist Rein Schnittpunkt von w und m, so ergiebt sich ein Wendepunkt, indem man auf R dieselbe Konstruktion anwendet, wie vorhin auf M. Wie hier ohne Beweis mitgeteilt werden mag, besitzt die gestreckte Cykloide noch in jedem Gange zwei weitere Scheitelpunkte D und E. Man findet einen derselben D, wenn man den Radius LN des Kreises k um seine halbe Länge bis J verlängert, den Kreis über dem Durchmesser JL mit m in M schneidet und zum Ausgangspunkte der oben geschilderten Konstruktion macht. Um einen Gang der gestreckten Cykloide zu zeichnen, beschränkt man sich am besten auf die Bestimmung der Scheitelund Wendepunkte und der zu ersteren gehörigen Krümmungskreise; die Centren derselben sind nach den in 565 gemachten Angaben leicht zu finden. Den vier Scheiteln A, D, C, E eines Ganges entsprechen Spitzen der (in der Figur punktierten) Evolute, die Kurvennormalen in den beiden Wendepunkten und W bilden Asymptoten der Evolute.

2

1 Vgl. Wiener, Lehrb. d. darstell. Geometrie II, 324.

* In der Figur ist, um sie nicht durch viele Linien unklar zu machen, die Konstruktion nur einmal durchgeführt, nämlich für den besonderen Punkt M' = D.

573. Ein Punkt der Außenfläche des Kreises k beschreibt beim Rollen desselben auf der Geraden eine verschlungene Cykloide (Fig. 369). Es sei k der rollende Kreis in einer solchen Position, daß der beschreibende Punkt seine tiefste Lage A auf dem Radius NL einnimmt, und m der mit k koncentrische Kreis durch den Ursprungspunkt 4. Trägt man vom Stützpunkte L auf k und die gleiche Länge als Bogen LK und Strecke LL' auf,

schneidet den Radius NK mit m in M und zieht L'M' LM, so ist Mein Punkt der Cykloide. Der zugehörige Krümmungsmittelpunkt P' wird gefunden, wenn man den verlängerten Radius MN mit der Normalen zu ML in Q und die Senkrechte zu 7 durch Q mit ML in P schneidet, hierauf aber P in der Richtung der Leitlinie um die Strecke LL' bis nach P' verschiebt.

=

Die verschlungene Cykloide schneidet in jedem Gange zweimal die Bahnlinie 7. Man erhält einen dieser Schnittpunkte F aus dem Schnittpunkte H des Kreises m mit 7 durch eine Verschiebung auf der Bahnlinie; ihre Größe HF ist durch den Bogen LJ von k bestimmt, dessen Endpunkt J auf dem Radius NH liegt. Gleichzeitig erhält man den zu F gehörigen Krümmungsmittelpunkt R durch die Relation FR HL. Die Gänge der verschlungenen Cykloide überschneiden sich in Doppelpunkten, wie D und E; dieselben liegen auf den Normalen der Bahnlinie, welche die Ursprungspunkte enthalten. Der auf NA liegende Doppelpunkt D geht durch die mehrfach erwähnte Konstruktion aus dem Punkte S von m hervor, dessen senkrechter Abstand von Nd gleich dem bis zum Radius NS gemessenen Bogen LT des rollenden Kreises ist. Man findet S durch eine Fehlerkurve, von der einige Punkte bestimmt werden, indem

man von L aus resp. auf k und gleiche Längen abträgt, durch die Endpunkte Radien bezw. Normalen zieht und sie miteinander schneidet. - Die tiefsten und höchsten Punkte der verschlungenen Cykloide sind wiederum Scheitel. Weitere Scheitelpunkte, sowie Wendepunkte treten nicht auf. Den Scheiteln A, C, B, ... entsprechen Spitzen der Evolute, die man nach 566 leicht konstruiert; den Schnittpunkten F, G, ... mit der Bahnlinie aber Punkte, in denen die Evolute die Bahnlinie 7 berührt. Bei der Konstruktion der Kurve wird man sich zweckmäßig auf die Bestimmung ihrer ausgezeichneten Punkte und weniger Zwischenpunkte nebst den zugehörigen Krümmungskreisen beschränken.

574. Ein Kreis k rolle auf der Außenseite des festen Kreises l. Ein Punkt der Peripherie von k beschreibt hierbei eine Epicykloide, gleichviel ob der feste Kreis außerhalb oder innerhalb des beweglichen liegt und jede Epicykloide kann auf beide Arten erzeugt werden. Wir betrachten zuerst den Fall, wo k und einander ausschließen.

In Fig. 370 sei A der anfänglich mit dem Stützpunkte des rollenden Kreises k zusammenfallende beschreibende Punkt, also

eine Spitze der Epicykloide. Die nächste Spitze B liegt auf 7 um einen Bogen gleich dem Umfange von k entfernt. Man denke