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normale M1 über, die mit der vorigen das Krümmungscentrum P und den Kontingenzwinkel u = MPM, bestimmt. Setzt man noch v = LML1, so folgt für die eingeführten unendlich kleinen Winkel die Beziehung:

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Ist ferner L die senkrechte Projektion von L, auf die durch L normal zu LM gezogene Gerade, so kann LL, als das gemeinsame Element der mit den Radien LM und PL um M und P geschlagenen Kreise betrachtet werden und man hat:

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Aus der Verbindung der Relationen 1), 2) und 3)

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Wird LL von MN in Q geschnitten, so trifft OQ die Gerade ML in dem durch diese Relation bestimmten Punkte P; denn zieht man durch ihn die Parallele zu ON, die auf LQ und NQ die Punkte Rund S bestimmt, so folgt zuerst:

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Die Multiplikation der letzten drei Gleichungen ergiebt aber die Bedingung 4); daher die Konstruktion:

Sind N und O die Krümmungscentra der Kurven k und 7 im Stützpunkte L, so erhält man das Krümmungscentrum P der von M beschriebenen Rolllinie m, indem man MN mit der Normalen zu LM durch L im Punkte Q und OQ mit LM in P schneidet.

Verändert M seine Lage auf LM, so bewegt sich Q auf LQ und P auf LM so, daß die Reihe der M mit der Reihe der Q aus dem Centrum N und diese mit der Reihe der P aus O perspektiv liegt. Also sind die Reihen der M und der P projektiv.

566. Fällt der die Rolllinie beschreibende Punkt auf die Stützpunktnormale NO, z. B. nach M (Fig. 364), so bedarf die

Konstruktion einer Abänderung. Der zu M gehörige Krümmungsmittelpunkt P ist (da hier a=0 zu nehmen ist) durch die Relation:

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bestimmt und wird folgendermaßen indirekt gefunden. Ist M die senkrechte Projektion von M, auf eine durch L unter dem beliebigen

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am einfachsten, wenn man MM, mit LQ in Q1 und QP mit NO in

P1 schneidet. Denn die Punktreihen LNMM, und LOPP1 sind dann bezw. aus den Centren M und P zu einer und derselben Punktreihe LQQQ, perspektiv, wobei Q, den unendlich fernen Punkt bezeichnet.

567. Die oben gemachte Bemerkung führt uns aber noch weiter: sie beweist nämlich den Satz:

Rollt die Kurve k auf der festen Kurve / und ist L der augenblickliche Stützpunkt, so beschreiben alle Punkte M eines Kreises (m), der in L berührt, Rolllinien, deren Krümmungsmittelpunkte P auf einem zweiten solchen Kreise (p) liegen. Die Verbindungslinien zusammengehöriger Punkte und P gehen durch den Stützpunkt L.

Im einzelnen zeigt sich folgendes:

a) Dem Kreise (m) durch N entspricht der Kreis (p) durch 0. Zieht sich der Kreis (m) auf den Punkt L zusammen, geschieht das Gleiche mit dem Kreise (p).

SO

7) Der Kreis (p) artet in die gemeinsame Tangente t an k
und 7 aus,
wenn (m) in einen bestimmten Kreis (u), den
Wendekreis, übergeht. Man bestimmt seinen Durchmesser
LW, indem man die Parallele zu NO durch P mit LQ in U
und UM mit der Geraden NO in W schneidet.

5) Erweitert sich der Kreis (m) bis zur Koincidenz mit der
Tangente t, so geht (p) in den zu (w) in Bezug auf t
symmetrischen Kreis über.

Beachtet man, daß der Krümmungsradius der Rolllinie in dem Falle zu Null und in dem Falle 7) unendlich groß wird, so ergiebt sich:

Die Rollinie besitzt im allgemeinen an allen den Stellen eine Spitze, wo der beschreibende Punkt M auf die feste Kurve / im Stützpunkte L auftrifft und einen Wendepunkt, so oft M dem zu L gehörigen Wendekreise (w) angehört.

N=0

M-P

Die vorstehenden Sätze können in besonderen Fällen Ausnahmen erleiden. So kann man sich z. B. denken, daß sich die Kurven k und 7 im Stützpunkte L oskulieren, daß sie sich also zugleich durchschneiden und ihre Krümmungscentra N und O zusammenfallen. Man erkennt leicht, daß in diesem Falle die rollende Bewegung in dem Augenblicke rückläufig werden müßte, wo die Berührungsstelle den Punkt. I passiert und daß folglich die von irgend einem Punkte M beschriebene Rolllinie eine Spitze hat. In der That zeigt die obige Konstruktion, daß sich für N O auch P M ergiebt (Fig. 365). Nur wenn gleichzeitig MLN R wird, also auch mit N und O zusammenfällt, läßt sich P auf die angegebene Art nicht ermitteln. Ohne auf diesen noch spezielleren Fall einzugehen, sei bemerkt, daß die Rolllinie dann eine Schnabelspitze

=

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k

Fig. 365.

=

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hat. In den folgenden Untersuchungen treten derartige Besonderheiten nicht auf.

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h

568. Ist mit einer auf der festen Kurve rollenden Kurve k eine Kurve i fest verbunden, so werden alle ihre Lagen von einer Hüllkurve (Enveloppe) h berührt. Das Momentancentrum der Bewegung sei L; schreitet dasselbe auf 7 um das unendlich kleine Element LL, fort, so beschreiben alle Punkte der Kurve i unendlich kleine Bahnelemente, die zur Verbindungslinie des beschreibenden Punktes mit dem Pole L senkrecht stehen und in der Nachbarkurve endigen. Ist nun J ein Berührungspunkt von i mit h, so stimmt das von ihm beschriebene Bahnelement (bis auf Abweichungen, die durch unendlich kleine Größen höherer Ordnung gemessen werden) mit den von Jausgehenden Nachbarelementen der Kurven und h überein, und JL ist die gemeinsame Normale beider

H

Fig. 366.

7

Kurven (Fig. 366). Daher der Satz: Die Berührungspunkte J einer bewegten Kurve i mit ihrer Hüllkurve h sind die Fußpunkte der vom augenblicklichen Drehpunkte L auf sie gefällten Normalen.

Ist K auf LJ das zu J gehörige Krümmungscentrum der Kurve i und K, seine zum Stützpunkte L, gehörige Nachbarlage, so schneiden sich KL und K11 in dem Krümmungscentrum II der von K beschriebenen Bahn. Die durch L, gezogene Normale LJ, der Nachbarkurve, welche mit LJ das Krümmungscentrum der Hüllkurve h bestimmt, ist (wenn wieder unendlich kleine Größen höherer Ordnung außer Betracht bleiben) als mit KL1 identisch anzusehen, wie man am leichtesten erkennt, wenn man sich die Kurven i und in der Umgebung der zu betrachtenden Stellen durch ihre um K und K1 beschriebenen Krümmungskreise ersetzt denkt. Hieraus folgt:

Die Hüllkurve h hat in ihrem Berührungspunkte J mit der beschreibenden Kurve i dasselbe Krümmungscentrum H wie die Bahnlinie des zugehörigen Krümmungscentrums K der letzteren.

Cyklische Linien.

569. Jede ebene Kurve kann als Rolllinie aufgefaßt werden. Hierdurch wird aber die Darstellung einer Kurve auf die zweier anderen zurückgeführt, das Problem also im allgemeinen nicht vereinfacht. Es empfiehlt sich daher nur dann, eine Kurve als Rolllinie zu erzeugen, wenn die hierbei verwendeten Kurven besonders einfache sind, wie z. B. bei den cyklischen Kurven.

Die cyklischen Linien werden durch das Rollen eines Kreises auf einem anderen Kreise erzeugt (die Fälle eingeschlossen, wo einer der Kreise in eine Gerade übergegangen ist); man teilt sie folgendermaßen ein. Eine Cykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt, eine Epi- oder Hypotrochoide, wenn ein Kreis auf der Außen- oder Innenseite eines zweiten Kreises rollt, und eine Kreis evolvente beim Rollen einer Geraden auf einem Kreise. Jede dieser cyklischen Kurven kann gespitzt, gestreckt oder verschlungen sein, und zwar treten diese drei Formen auf, je nachdem der beschreibende Punkt auf der rollenden Linie selbst, oder durch diese vom Centrum der Bahnlinie getrennt, oder mit ihm auf einerlei Seite liegt. Die gespitzte Cykloide wird oft schlechthin Cykloide, die gespitzten Epi- und Hypotrochoiden werden Epi- und Hypocykloiden genannt.

570. Die Cykloiden, Epi- und Hypotrochoiden, die man auch unter dem Namen der Radlinien zusammenfassen kann, bestehen aus kongruenten Gängen, von denen ein jeder bei einer vollen Umdrehung des rollenden Kreises erzeugt wird. Als Ursprungspunkte bezeichnet man diejenigen Kurvenpunkte, deren Entfernung vom zugehörigen Stützpunkte ein Minimum ist und rechnet die Gänge von einem Ursprunge bis zum nächsten. Solcher Gänge erhält man, indem man die Kurve vor- oder rückwärts beschreiben läßt, im allgemeinen unendlich viele. Nur wenn das Verhältnis der Radien (und mithin der Umfänge) des rollenden und des festen Kreises dem zweier ganzer Zahlen, z:λ, gleich ist, wird sich die Radlinie nach Gängen und Umläufen (um den festen Kreis) schließen. Als geschlossene Epicykloiden ergeben sich z. B. bei gleichen Radien die Pascal'schen Linien (vergl. 440, 441).

Die Kreisevolventen gehören zu den Spiralen; sie bestehen aus Windungen, von denen eine jede einem vollen Umlauf der

1 Ausführlicheres über die cyklischen Kurven findet man bei Burmester, Lehrb. d. Kinematik, I. Bd. II. Abschn. und bei Wiener, Lehrb. d. darstell. Geometrie, II. Bd. VIII. Abschn.

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