Fluchtpunkt. Hierdurch wird nicht allein die Genauigkeit der Zeichnung erhöht, sondern auch Mühe erspart, denn an den Objekten treten oft zahlreiche parallele Linien auf, deren Bilder nach demselben Fluchtpunkte laufen.

=

Der Fluchtpunkt einer Geraden ist die Bildspur J des zu ihr parallelen Sehstrahles OJ i. Fällt П, mit П, also a mit g zusammen, so zieht man Grund- und Aufriß des Sehstrahles durch Grund- und Aufriß des Auges, d. h. i' durch O' und i" durch A (Fig. 568). Die Vertikale durch J' =

ixg trifft i" in J und den Horizont h in dem Fluchtpunkte J' der Horizontalprojektion der Geraden. Liegt П gegen TT geneigt, so zeichne man die Fluchtlinie z (z) von П, lege O um z nach O um und bestimme 1. Die Parallele zu i" durch O schneidet dann z, im Fluchtpunkte von ¿"; seine Verbindungslinie mit Y aber bestimmt J auf der Vertikalen durch J (vergl. 877).

8

Fig. 568.

892. Wir erwähnen zwei besondere Arten von Fluchtpunkten, die oft benutzt werden. Bei architektonischen Gegenständen stoßen häufig schräge Begrenzungsflächen von gleicher Neigung gegen die Grundebene in schrägen Kanten zusammen. Bei gerader Ansicht sind diese Kanten parallel zu den Diagonalen eines Würfels, dessen Kanten parallel und senkrecht zu П und П, liegen oder parallel zu den Diagonalen einer ebenso gestellten quadratischen Säule. In dem ersten Falle sind ihre Fluchtpunkte die Ecken B,, B2, B3, B4 des dem Distanzkreise umgeschriebenen Quadrates mit je zwei horizontalen und vertikalen Seiten (vergl. Fig. 562); im anderen Falle liegen die Fluchtpunkte C,, C, C, C, auf den Vertikalen durch die Distanzpunkte D und D, und auf den beiden Geraden, die durch A parallel zu den Aufrissen gezogen sind. Bei schräger Ansicht hat man das vorhin angegebene Verfahren zur Bestimmung der Fluchtpunkte einzuschlagen.

893. Sieht man von der Grundebene TT, ab, deren Spur- und Fluchtlinie als g und h stets angegeben werden müssen, so kommt die Darstellung einer Ebene durch Spur- und Fluchtlinie in der angewandten Perspektive nicht vor. Wohl aber werden diese Elemente zu konstruktiven Zwecken gebraucht. Bei vielen Gegenständen ist es zweckmäßig, von vornherein die Fluchtlinien zu

bestimmen: erstens für die Frontebenen und zweitens für die Diagonalebenen, welche die von jenen gebildeten rechten Winkel halbieren.

894. Im XV. Kapitel sind die Grundaufgaben der darstellenden Geometrie durch Centralprojektion gelöst worden. Wir haben daher hier nur wenige Aufgaben mit Bezug auf die besondere Art zu besprechen, in der sie am häufigsten angewandt werden. Sie betreffen: 1. die Teilung vertikaler und horizontaler Strecken, sowie in Verbindung hiermit

2. die ähnliche Verkleinerung der Zeichnung durch Reduktion der Distanz,

3. die Darstellung von Kreisen und Ellipsen in horizontalen oder vertikalen Ebenen,

4. die Schattenkonstruktion.

&M

895. Die Teilung einer zur Bildebene parallelen, also speziell jeder vertikalen Strecke erfolgt im Bilde nach demselben Verhältnis, wie im Original. Um sie auszuführen, muß das Bild einer Teilstrecke bekannt sein. Ist auf einer Vertikalen vom Punkte P aus die Strecke PQ abzutragen, so ziehe man durch das Bild R ihres Grundspurpunktes R eine beliebige Gerade, die g in S und h in M schneiden mag, errichte in S die Vertikale und schneide sie mit MP in M (Fig. 569); dann ist SMPR ein Rechteck und SM die wahre Länge von RP. Macht man MN auf SM der wahren Länge von PQ gleich, so geht NM, durch Qe

Fig. 569.

с

0

896. Die Teilung einer horizontalen Strecke erfolgt nach 864. Seien M und M Spur- und Fluchtpunkt einer in TT, liegenden Geraden m, welche die Strecke PQ trägt. Dreht man m und MO um M resp. M in gleichem Sinne, bis sie mit g resp. h zusammenfallen, so gelangen die Punkte P, Q und O, in die Lagen PA, QA und O (Fig. 570) und die Geraden OPA, O schneiden m= MM in den gesuchten Punkten P, Q. Hierbei heißt O der Teilungspunkt der Geraden m und aller ihrer Parallelen. Legt man nämlich eine solche Horizontale um ihren Spurpunkt in die Bildebene parallel zu h um, so treffen die von O nach den Punkten der umgelegten Geraden gezogenen Strahlen die Bildgerade in den zugehörigen Bildpunkten.

897. In den Anwendungen tritt es oft ein, daß einer oder mehrere der Punkte, die zur Konstruktion nötig sind, außerhalb der Zeichenfläche liegen. Man hilft sich dann durch eine Reduktion, d. h. durch eine ähnliche Verkleinerung der Zeichnung, wie

sie sich ergeben würde, wenn man bei ungeändertem Objekt und Auge die Bildebene zu sich parallel in der Richtung 40 verschiebt und hierdurch die ursprüngliche Distanz auf ihren n. Teil reduziert.

Statt der unzugänglichen Elemente benutzt man die reduzierten Elemente, die wir durch den oberen Index r bezeichnen. Sie befinden sich mit jenen in ähnlicher Lage und zwar ist der Hauptpunkt das Ähnlichkeitscentrum; ihre Abstände von A aber verhalten sich zu denen der ursprünglichen Elemente wie 1:n, won eine passend gewählte ganze Zahl bedeutet (in der Figur n =

1

2).

Ist das umgelegte Auge 0, unzugänglich, so trägt man auf 40 die Strecke 40 Distanz auf; Or ist das reduzierte umgelegte Auge.

· =

n

Man findet dann den Fluchtpunkt M aus dem

=

A

n

с

Δ

=

reduzierten Fluchtpunkte M, indem man OM || m und AMn AM macht. Fällt M auch außerhalb der Zeichenfläche. so zeichnet man den reduzierten Spurpunkt Mr, indem man AM = 1 AM abträgt, dann ist m|| MrMg durch M zu ziehen. Man findet ferner den Teilungspunkt O aus dem reduzierten Teilungspunkte O durch die Beziehungen: MOM05. A0n 10. Sind MP und MQA auf g die wahren Längen der Strecken MP und MQ, so gehen OPA und OQA durch P. und Q Ist O unzugänglich, so mache man auf h die Strecke MT= 1. MO1 = M2O" und auf g zugleich MR MP und MS = 1. MQ, 1. so gehen TR und TS offenbar wieder durch P. und Q. Kann hierbei M nicht gezeichnet werden, so mache man zuerst M¿T= MO und dann AT= n AT". Ist endlich auch M nicht benutzbar, so bedient man sich der reduzierten Grundlinie, die man parallel zu h in dem Abstand (gh) zieht; auf ihr findet man den reduzierten Spurpunkt Mr, indem man in dem Abstand (Am) von A die Linie m" || m zieht. Die weitere Konstruktion gründet sich auf die perspektiv-ähnliche Beziehung zwischen den gegebenen Elementen und den reduzierten wie umgekehrt zwischen den hieraus gefundenen und den gesuchten Elementen.

1

n

=

1

1

898. Abbildung eines horizontalen Kreises (Fig. 571). Die Ebene E des Kreises k hat den Horizont h zur Fluchtlinie, die Spur e und die Verschwindungslinie e, sind zu h parallel. Der Abstand (eh) hängt von der Lage der Ebene E ab, der Abstand (e, e) ist gleich der Distanz (0h). Wir betrachten nur den gewöhnlichen Fall, wo der Kreis k die Verschwindungslinie e, nicht trifft, sein Bild also eine Ellipse wird. Der Kreis sei durch seine Umlegung um e gegeben. Die Umlegungen seiner Elemente werden ebenso wie diese selbst bezeichnet. K sei der Mittelpunkt und MN auf f der zu e rechtwinklige Durchmesser; sein Bild MN findet man auf f = FA nach 880. Ist J der Mittelpunkt von MN und liegt der Punkt J auf MN zu J perspektiv, so entspricht umgekehrt der zu e parallelen Kreissehne PQ durch J der zu MN, konjugierte Durchmesser PQ (e durch J) der Bildellipse k. Ist Ufx e,, und schneiden die Kreistangenten UP, UQ die Spur e in R, S, so sind ihre Bilder RP und SQ. parallel zu f. Durch die konjugierten Durchmesser MN und P.Q. ist die Ellipse k bestimmt; ihre Achsen können nach 417 gefunden werden. Die vertikalen Tangenten der Ellipse (die z. B. als Umrißlinien einer über dem Grundkreise k stehenden runden Säule öfter gezeichnet werden müssen) entsprechen

с

с

с

C

den Tangenten des Kreises k aus dem Punkte V=AO ̧× e, und gehen durch deren Schnittpunkte X, Y mit der Spurlinie e. Sind W, Z die Berührungspunkte der Kreistangenten und ist Tex WZ, so liegen die Berührungspunkte W., Z. der Ellipsentangenten auf dem

с

M

Fig. 571.

Durchmesser TJ. Häufig benutzt man zur Abbildung des horizontalen Kreises k ein ihm umgeschriebenes Polygon, z. B. ein regelmäßiges Achteck, dessen Seiten zu g parallel, senkrecht und unter 45° geneigt sind. Die Fluchtpunkte seiner Seiten sind bezw. der unendlich ferne Punkt von h, der Hauptpunkt A und die beiden Distanzpunkte D, D. Die Seiten bilden zwei dem Kreise k umgeschriebene Quadrate, deren Diagonalen den Seiten des Achtecks parallel laufen und ihre Berührungspunkte mit k bestimmen. Die Abbildung der geschilderten Figur ergiebt demnach acht Punkte der Bildellipse nebst den zugehörigen Tangenten. Die Einzelheiten der Konstruktion ergeben sich bei ihrer Ausführung ohne Schwierigkeit.