sich X wie vorher, dagegen bildet J, mit J, zusammen ein Punktepaar der Involution, die durch die beiden Paare XM und AB definiert ist. Die Tangenten aus Z an pe sind wieder die Doppelstrahlen der Involution, der die Strahlenpaare durch K,, K und J, J angehören.

SECHSZEHNTES KAPITEL.

Angewandte Perspektive.

Allgemeines..

888. Das perspektive Bild eines räumlichen Gegenstandes erleichtert uns seine Vorstellung in höherem Maße als seine Darstellung in orthogonaler oder schiefer Parallelprojektion. Der Grund davon ist, daß die geometrischen Gesetze der Centralprojektion dem Vorgange beim Sehen wirklicher Dinge insofern genau entsprechen, als man von dem,,Körperlich-Sehen" abstrahiert, das durch das Zusammenwirken beider Augen zustande kommt. Denn beim Sehen mit einem Auge erzeugen die vom Objekte ausgehenden Lichtstrahlen, durch die Augenlinse vereinigt, auf der Netzhaut ein perspektives Bild. Man kann folglich auch jede perspektive Zeichnung in eine solche Lage zum Auge bringen, daß sich die Netzhautbilder ihrer Linien mit denen der entsprechenden Linien des Gegenstandes decken und hierdurch wird der höchste Grad von Anschaulichkeit erreicht, den eine Zeichnung gewähren kann. Dagegen kann man aus einer Perspektive die wahren Größen von Strecken und Winkeln nicht so einfach und genau entnehmen wie aus einer Parallelprojektion. Bei letzterer ergeben z. B. parallele und gleiche Strecken auch parallele und gleiche Bilder, während bei der Centralprojektion sowohl die Richtung als auch die Größe ihrer Bilder verschieden ausfällt, u. s. f. Man wird also die Art der Projektion nach dem Zwecke wählen, den man durch die Darstellung erreichen will. Kommt es vor allem anderen auf die anschauliche Wirkung an, wie in der Malerei und den zeichnenden Künsten, so hat man die Centralperspective zu wählen. Wir haben uns darauf zu beschränken, die Anwendung ihrer Regeln auf solche Objekte zu zeigen,

die geometrisch gesetzmäßige Formen haben. Dies trifft namentlich für die architektonischen Gegenstände zu; und wie es bei diesen üblich ist, wollen wir uns die abzubildenden Figuren durch Grundund Aufriß gegeben denken; an ihre Stelle kann natürlich auch die Angabe von Maßen treten. Wir erkennen also die Hauptaufgabe der angewandten Perspektive darin, in einer gegebenen Ebene und für einen gegebenen Augenpunkt das perspektive Bild eines durch Grund- und Aufriß gegebenen Objektes zu konstruieren.

Die zur Lösung dieser Aufgabe dienlichen Methoden sind größtenteils bereits im vorhergehenden Kapitel entwickelt worden. Die dort bewiesenen Sätze werden wir uns jetzt für die Anwendungen zurecht zu legen haben.

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889. Wir denken uns eine horizontale Ebene П1, die Grundebene oder Bodenfläche; auf ihr und über ihr sollen sich die Objekte befinden. Die Bildebene П stellen wir vertikal, so daß jede vertikale Gerade des Raumes auch ein vertikales Bild erhält; dies trägt wesentlich zur Erhöhung der Anschaulichkeit bei, weil unser Auge infolge vielfältiger Übung für die Abweichung gerader Linien von der vertikalen Richtung sehr empfindlich ist. Die Schnittlinie g der Bildebene П mit der Grundebene TT, heißt die Grundlinie (Grundschnitt, Basislinie). Das Auge O (Augpunkt, Gesichtspunkt) wird vor П und oberhalb П,

zu

Π

gewählt. Die Parallelebene durch das Auge heißt die Verschwindungsebene; sie enthält die Verschwindungslinien aller Ebenen und die Verschwindungspunkte aller Geraden des Raumes. Die senkrechte Projektion des Auges O auf die Bildebene П heißt der Hauptpunkt (Fig. 562) und die Länge OA die Distanz. Die Parallelebene H zu TT, durch wird die Horizontebene und ihre Schnittlinie h mit TT wird Horizont

(Horizontlinie) genannt; h ist die Fluchtlinie aller horizontalen Ebenen und trägt die Fluchtpunkte aller horizontalen Geraden,

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ROHN u. PAPPERITZ. II.

insbesondere den Hauptpunkt A als Fluchtpunkt aller Normalen zu П. Der Distanzkreis wird in TT um beschrieben, seine Schnittpunkte D, D, mit h heißen die Distanzpunkte. Die Fluchtlinien der unter 45° gegen П geneigten Ebenen berühren d, die Fluchtpunkte der Geraden von der Neigung 45° gegen П liegen auf d; speziell sind D und D1 die Fluchtpunkte der Horizontalen mit der Bildneigung von 45o.

Das Objekt wird hinter der Bildebene befindlich angenommen. Seinen Grundriß entwerfen wir in der Grundebene П, und legen ihn um die Grundlinie g in die Bildebene um, so daß der hinter der Bildebene befindliche Teil von П, nach unten kommt, der oberhalb g liegende Teil von П aber für das perspektive Bild des Objektes frei bleibt. Die umgelegten Elemente des Grundrisses werden ebenso bezeichnet wie diese selbst. Das Auge O gelangt bei gleichsinniger Drehung um den Horizont h in den Punkt 0, des Distanzkreises (40, 1 h), der schlechthin als das umgelegte Auge bezeichnet wird. Der Grundriß O des Auges findet sich auf 40, und zwar ist (09) gleich der Distanz, mithin auch 0,0' Die Aufrißebene П, stellen wir natürlich vertikal und den wichtigsten wagrechten Kanten des Gegenstandes. linie ПП bezeichnen wir wie früher durch x. Die meisten Objekte und namentlich die architektonischen besitzen vertikale Seitenflächen in zwei zu einander rechtwinkligen Stellungen, die wir kurz als Frontflächen bezeichnen können. Ist die Bildebene П zu einer Front des Gegenstandes parallel, so giebt sein Bild eine gerade Ansicht; anderenfalls spricht man von einer schräger Ansicht.

=

(4— g). — parallel zu Die Schnitt

Im ersten Falle läßt man die Aufrißebene П2 mit der Bildebene П und folglich x mit g zusammenfallen. Im zweiten Falle wird П parallel zu einer Front und folglich gegen П geneigt angenommen. Wir ziehen durch den Bildspurpunkt von auf g die Vertikale z = П, × П und die Horizontale y rechtwinklig zu z. Den Aufriß legen wir um z in П um und benennen die umgelegten Aufrißelemente ebenso wie diese selbst. Die Umlegung suche man so einzurichten, daß das perspektive Bild und der Aufriß des Objektes sich nicht gegenseitig in störender Weise verdecken. Wichtig ist es, die Fluchtpunkte X, Y der Achsen und y (0X GoYy, X und Y auf h), sowie den umgelegten Aufriß 0" des Auges anzugeben. O" liegt auf h und die von O resp. O" auf ± resp. g gefällten Lote sind von 9 × × z gleich entfernt (vergl. Fig. 567).

890. Die Konstruktion der Perspektive eines Punktes P mit gegebenem Grund- und Aufriß P', P" richtet sich danach, ob П mit П identisch ist oder nicht, d. h. ob eine gerade oder schräge Ansicht des Objektes verlangt wird. Wir stellen die einfachsten Verfahren kurz zusammen.

Erstens: bei gerader Ansicht.

a) Man zieht in П, durch P' zwei Gerade normal resp. unter 45° geneigt gegen g. Ihre Spurpunkte seien N und M auf g; ihre Fluchtpunkte sind der Hauptpunkt A und einer der Distanzpunkte

D; ihre Bilder NA und MD schneiden sich im Bilde P' des Grundrisses P'. Das Bild von PP' geht vertikal durch P', das Bild von PP" ist P"A; ihr Schnittpunkt P. ist folglich die Perspektive von P (Fig. 563).

B) Die Vertikalebene durch OP schneidet П, in O'P' und П in der Vertikalen durch GgxO'P', die auf P"A das Bild P. bestimmt. P' wird. wieder auf NA gefunden (Fig. 564).

Pe

Оо

7) Trägt man auf die Vertikale P'P' den zweiten Tafelabstand des Punktes als PP-NP' auf, legt also P"P als P"P40, in die Bildebene um, so liegt P. auf OP (vergl. 864). Man findet also P., wenn man die Vertikale durch Ggx O'P' mit O.P schneidet. Speziell findet man P auf derselben Vertikalen und auf

OP' (Fig. 565).

с

Fig. 565.

Zweitens: bei schräger Ansicht.

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8) Eine in П, beliebig durch P' gezogene Gerade m habe das Bild MM (M= m × g, M ̧ auf h, O̟M ̧ || m), so ist P= MM ×OP'. Zieht man MQ P'P, also 1g und = (P"g), so ist MQ das Bild von PQm und geht durch P (Fig. 566).

e

(Y) der Norandererseits liegt

es in der Ebene OPP", die auch O" enthält und die z-Achse in H = 0"P" x z trifft; folglich ist HN PP dieses Bild (877). Auf ihm wird P. mittels der Vertikalen durch GOP' x g stimmt (Fig. 567).

=

be

Die unter ) resp. a) genannten Methoden sind die einfachsten. Bei) hat man drei, bei ) vier gerade Linien zu ziehen. Das eine

Verfahren geht aus dem anderen hervor, wenn man П, mit П, folglich g mit x, sowie O" und N mit 4 zusammenfallen läßt. Die Konstruktion ) läßt sich auch durch einen mechanischen Apparat (Perspektograph) ausführen, denn werden P und demgemäß P', P" bewegt, so drehen sich die Geraden O'P', O'P" um die festen Punkte o resp. O" und führen die Punkte G, H auf den festen Geraden g resp. z; die vertikale Gerade wird zu sich selbst parallel verschoben und die Gerade HP dreht sich um den festen Punkt N.

891. Das Bild einer geraden Linie ist durch die Bilder zweier ihrer Punkte bestimmt. Aber je kürzer die von ihnen begrenzte Strecke ausfällt, desto weniger genau ergiebt sich die Richtung der Bildgeraden. Man ermittelt daher besser zuerst ihren