Die Ge die Ge In gleicher Weise findet man M, den Spurpunkt von m. rade trifft die gegebenen Geraden g und h in P und Q, rade m trifft sie in R und S; es existieren noch zwei weitere Geraden von der verlangten Art, sie sind jedoch nicht in die Zeichnung eingetragen. Perspektive Darstellung von Körpern und Flächen. 876. Bei dieser Darstellung werden wir öfters von der orthogonalen Projektion dieser Gebilde auf gewisse Hilfsebenen Gebrauch machen und behandeln deshalb jetzt die Frage nach dem Zusammenhang der Darstellung von Punkten, Geraden und Ebenen in orthogonaler und Centralprojektion. Dabei werden wir drei wesentlich verschiedene Fälle unterscheiden. Erstens: Die eine Projektionsebene П, fällt mit der Bildebene П zusammen, die andere П, ist zu ihr senkrecht (Fig. 552). Sei die Schnittlinie der Projektionsebenen П, und П1⁄2, = A der Hauptpunkt und d G2 zusammen, während ihr Fluchtpunkt G sich aus OG ||g ergiebt (AG ||g", O'G'g'||0,II). Aus den Projektionen P', P" eines Punktes P findet man sein Bild P. als Spurpunkt der Geraden OP 8 с in der Bildebene; man errichtet also im Punkte O'P' x x auf æ eine Normale, diese schneidet AP" in P ̧. Ус Das Bild g, einer Geraden g wurde soeben durch Konstruktion ihres Spur- und Fluchtpunktes gewonnen; es läßt sich indes auch leicht der Schnittpunkt G, des Bildes g. mit der Geraden z angeben. G ist der Schnittpunkt von x mit der Ebene Og, die Parallelen g und OG treffen also П, in zwei Punkten G, und U, deren Verbindungslinie a in G schneidet (O'Ug', AG, X x = U", UU′′ 1 x). Diese Konstruktion ist besonders von Bedeutung, wenn die Bilder von einer Anzahl paralleler Geraden gefunden werden sollen, deren Spurpunkte in П, bekannt sind. Man hat dann zunächst G und U zu suchen, darauf projiziert man die ersten Spurpunkte der einzelnen Geraden aus dem Punkte U auf x und verbindet diese Projektionen mit G, so sind diese Linien die gesuchten Bildgeraden. 877. Zweitens: Die Ebene П, schließt mit der Bildebene einen Winkel a ein, die Ebene П, steht auf П, und der Bildebene senkrecht (Fig. 553). Es sei z wiederum die Schnittlinie der Projektionsebenen, ferner seien a und a。 (||a durch A) Spur- und Fluchtlinie von T1, b(1a) und b, (b) Spur- und Fluchtlinie von П. Dann lege man П, um b und gleichzeitig das Auge um b nach Oo um; dabei mögen die umgelegten Punkte und Geraden von П, ebenso wie die Punkte und Geraden in П, selbst bezeichnet werden; eine Verwechselung wird sich bei der Darlegung leicht vermeiden lassen. Ferner lege man П, um a und gleichzeitig das Auge um a, nach 0, um; auch hier sollen die umgelegten Punkte und Geraden von П, die gleiche Bezeichnung wie die Punkte und Geraden in П1 selbst erhalten. In der Figur erscheint die x-Achse zweimal, nämlich um a umgelegt als || 0 ̧Bx und um umgelegt als b. Nun zeichnet man noch und O", die ebenfalls mit П, und П, in die Bildebene umgelegt sind (0A_a, 0,0=(1+a), BAB. L b, Boo || BOL 0, B = BO"), sowie den Fluchtpunkt Y, aller zu П, normalen Geraden (OoYx 10B). 0 1 0 0 = Sind P', P" die orthogonalen Projektionen eines Punktes P, so kann man ihre Bilder P', P" in der früheren Weise konstruieren. Natürlich sind die Projektionen P', P" so zu wählen, daß die Fußpunkte der von ihnen auf die z-Achse gefällten Lote von a × b gleichweit abstehen, sich also decken, wenn die beiden Geraden r durch Drehung zur Deckung gebracht werden. Man ziehe durch P" und 0° irgend zwei Parallelen, schneide sie mit b, resp. b in Rund S, dann trifft die Verbindungslinie RS die Gerade O°P" in P"; ähnlich ergiebt sich P. Da sich in P die in P' und P" auf П1 und П1⁄2 errichteten Normalen schneiden, so schneiden sich in P das von P auf a gefällte Lot und die Gerade P"Y. с 2 1 Die Konstruktion von P. aus P' und P" läßt sich noch wesentlich einfacher gestalten, ohne vorher die Bilder dieser Projektionen zu zeichnen. Die Gerade PP' ist zu П, normal, ihr Bild steht in Q=ax O'P' auf a senkrecht und trägt P. Die Gerade PP" ist zu П, normal, ihr Bild liegt in der Ebene OPP". Diese schneidet П1⁄2 in О ́P” und die Spurlinie b in R = b × 0′′P"; demnach ist YÖR das Bild von PP" und geht ebenfalls durch P. Die Konstruktion von P erfordert also nur das Ziehen der vier Geraden O'P', O"P", QP(1a) und YR; dabei kann an Stelle der Geraden O"P" in Ã1⁄2 die in die Bildebene umgelegte Gerade O"P" treten, da es nur auf ihren Schnittpunkt R mit 6 ankommt. 2 Es kann vorkommen, daß Y auf b oder in der Nähe von b liegt, dann wird die Gerade FR das Bild von PP" - ungenau Ꭱ und man benutzt besser ihren Schnittpunkt S mit b. S liegt in der Ebene OPP", diese schneidet die Ebene Ob, in einer zu O"P" parallelen Geraden durch O; demnach ist O°S zu der umgelegten Geraden O"P" parallel. Sind g', g" die orthogonalen Projektionen einer Geraden g, so liegt sie in den beiden Ebenen, die in g' resp. g" auf TT, resp. П senkrecht stehen. Ist J der Fluchtpunkt der Geraden g" in П2 (J auf b‰, 0oJ ||g"), so besitzt die erste der genannten Ebenen die Fluchtlinie JY, und eine dazu parallele Spurlinie durch g"x b. Ist ebenso K der Fluchtpunkt der Geraden g' in П, (K auf a,, OK ||g'), so gehen Spur- und Fluchtlinie der zweiten Ebene durch gx a resp. K und sind zu a normal. Die Spur- und Fluchtlinien beider Ebenen schneiden sich in dem Spurpunkt G, resp. Fluchtpunkt G der gesuchten Geraden g. 1 Kennt man von einer Ebene E die orthogonalen Spuren e, und e (ihre Schnittpunkte mit den bezw. Geraden z haben den gleichen Abstand von axb), so geht ihre Fluchtlinie e, durch die Fluchtpunkte Lund M von e, und e̟, (L auf b。, OoL || e̟„, M auf a ̧‚ OM || e1) und ihre Spurlinie e (e) durch den Punkt He2 × b. = b 00 878. Drittens: Beide Projektionsebenen TT, und П, sind gegen die Bildebene geneigt. Seien wiederum a, a, resp. b, Spur- und Fluchtlinien von П, resp. П, seien ferner X und X Spur- und Fluchtpunkt der Schnittlinie z beider Ebenen, seien endlich Y resp. Z die Fluchtpunkte der Normalen von П, resp. П1 (Z auf b, Y auf a). Dann suche man zunächst die Projektionen O', 0" des Auges und lege sie mit den Ebenen П1⁄2 und П in die Bildebene um. Aus den Projektionen P', P" eines Punktes findet man jetzt sein Bild, indem man mit O'P' und b mit O'"P" schneidet und diese Punkte mit Z resp. I verbindet; diese Geraden schneiden sich in dem gesuchten Bilde P. Man erkennt die Richtigkeit des Gesagten unmittelbar aus der voranstehenden Nummer. Die Flucht- und Spurlinie einer Ebene E verbinden die Fluchtund Spurpunkte ihrer orthogonalen Spuren e, und e. Der Fluchtpunkt einer Geraden g erscheint als Schnittpunkt zweier Geraden, von denen die eine den auf a, liegenden Fluchtpunkt von g' mit Z, die andere den auf b liegenden Fluchtpunkt von g" mit I verbindet. 879. Das schiefe Prisma und sein Normalschnitt (Fig. 554). Sei E (e, e) die Ebene des Grundpolygons BCD..., so legen wir das Auge um e, nach 0° um und nehmen das Polygon in der Umlegung um e als B°C°Do... an; dann findet man nach 863 sein Bild BCD (Co Do × e = M, O°M, CD, M auf e, MM, CD, 0°C durch C). Ist nun BJ eine Prismenkante und = с C с ist ihre orthogonale Projektion BH auf die Grundebene E als BH sowie die Höhe JH des Prisma bekannt, so gewinnt man sein Bild. nach 877. Man lege durch das Auge eine Ebene senkrecht zu e, die also auch zu E normal ist und sie in einer Falllinie z schneidet; Spur- und Fluchtlinie dieser Ebene bildet das von A auf e gefällte = Fig. 554. Lot a = FF. Diese Ebene legen wir um die Linie a in die Bildebene um (0,4 || e, 0,4 Distanz, x|| OF, a durch F), und suchen in ihr die orthogonale Projektion der Kante BJ. Indem wir von Bo und H° auf xo Lote fällen und die Abstände ihrer Fußpunkte von F auf x auftragen, erhalten wir B' und H' und daraus J' (J'H' \ x, J'H' = JH). Spur- und Fluchtpunkt K und K k = BJ liegen einerseits auf zwei Geraden, die in K' Kauf a senkrecht stehen (OK,'k'), andererseits auf zwei Parallelen durch G = e × BÍ ̧ und GÅ (OoG || BoHo). Ist N der Fluchtpunkt der Kante kx a und |