=

(NaO NO) und von ihm aus P auf NF projizieren als PA; macht man PAQA gleich der gegebenen Strecke, dann geht QsOs durch Q. Nimmt man statt der Falllinie durch P eine beliebige Gerade g der Ebene E (also GG, durch P., G auf e, G auf e), so wird NG || NG, und aus dem Teilungspunkte O auf N G (NNo‰ Ø1 NO) projiziert sich PQ, in wahrer Größe auf NG als PAQA. Ist also P und die Länge der Normale bekannt, so findet sich hiernach ihr Endpunkt Q. Es braucht kaum hervorgehoben zu werden, daß bei den genannten Konstruktionen sich zwei Lösungen ergeben, wenn nicht angegeben ist, auf welcher Seite der Ebene die Normale liegen soll.

=

0

In einem Punkte P einer Geraden n die Normalebene E zu errichten (Fig. 547). Diese Aufgabe ist die Umkehrung der vorigen und es folgt aus der vorausgehenden Behandlung unmittelbar die Konstruktion von E. Man ziehe NA und lege um diese Gerade das Auge O nach O, um, dann findet man auf N 4 den Punkt F durch die Beziehung F O 1 N Op. Die Fluchtlinie e der gesuchten Ebene steht in F auf N, A senkrecht, ihre Spurlinie e ergiebt sich in folgender Weise. Ein beliebiger Punkt G auf e ist der Fluchtpunkt einer bestimmten Geraden g durch P, die offenbar auch der gesuchten Ebene angehört. Da auch g und n in einer Ebene liegen, so gewinnt man Gaus der Relation NG || NË G (G = NG × G ̧P) und damit e(e) durch G.

Eine Geraden steht somit auf einer Ebene E senkrecht, wenn das vom Hauptpunkte A auf die Fluchtlinie e der Ebene gefällte Lot den Fluchtpunkt N der Geraden trägt und das Produkt der Abstände des Hauptpunktes von Fluchtpunkt und Fluchtlinie gleich dem Quadrat der Distanz ist. Dabei muß A zwischen Fluchtpunkt und Fluchtlinie liegen. Jede Gerade, deren Fluchtpunkt sich auf e, befindet, ist zu n normal; jede Ebene, deren Fluchtlinie durch N geht, ist zu E normal.

872. Durch eine Gerade g eine Ebene B senkrecht zu einer gegebenen Ebene E zu legen (Fig. 548). Man bestimme wie vorher N, (No A 1 еx, NA × е ̧ = F2, NO 1 OF), so ist ex NG=by die Fluchtlinie der gesuchten Ebene und die durch G gezogene Parallele ihre Spurlinie. Die Schnittlinie s = BXE (S= b xe, S = b xe) ist die orthogonale Projektion von g auf E und Rsxg der Schnittpunkt von g und E (R = sex g). Fällt man von einem Punkte P der Geraden g auf E ein Lot, so liegt sein Fußpunkt Q auf s (PQ, durch N, Q. auf SS). Durch Um

C

=

legen der Ebene B um ihre Spurlinie b gewinnt man einerseits den Winkel a gE = L gs und andererseits die wahre Länge des Lotes PQ. Ist Oo das um b umgelegte Auge (0°A __b¢‚ Ñ» O° = NzQ% •

I

=

Fig. 548.

с

so ist aG, O°S. Zugleich ist P°Q° die wahre Länge von PQ. wenn P°Q° || O°N, durch N geht (N = b × P ̧N) und Po, Qo auf den Strahlen O°P, O'Q, liegen. In der Figur sind auch go und so eingezeichnet (g|| G ̧ Oo, so || S。 O"). Die wahre Länge von PQ erhält man auch, wenn man die Strecke N, O, auf b, als N, O, aufträgt und die Bildstrecke PQ von Os auf b als PQA projiziert.

873. Gegeben eine Ebene E und eine Gerade g, man soll in E die beiden Geraden suchen, die mit g einen bestimmten Winkel einschließen (Fig. 549). Sind e, e und G, G bekannt, so bestimme man zunächst wie vorher den Fluchtpunkt N der Normalen von E (N 41e, NAxe2 = Fr No O。 10F). Die Fluchtpunkte K und L. der gesuchten Geraden k und müssen erstens auf e liegen und zweitens muß LK OG = LL, OG = sein. Betrachtet man aber das Dreikant mit den Kanten OK, OG und OM, wo Mex x G N ist, so sind seine letzten beiden Kanten bekannt, während man die erste Kante OK durch folgende Überlegung erhält. Die Seite M OG des Dreikantes steht auf der Seite M, OK, senkrecht, denn GM, geht durch N; außerdem kennt man zwei Kantenwinkel oder Seiten desselben (vergl. 123), nämlich K, OG, und M, OG ̧ = L M OoG2: wenn O das um N G umgelegte Auge ist (0"A1NG, Nã 0o= NO). Hieraus ergiebt sich seine dritte Seite y = LM, OK, indem man zu dem genannten Dreikant ein kongruentes mit den Kanten

OM O°G und O°H zeichnet. Dazu trage man nach 126 an 0°G den Winkel G, O°H =ẞ an, wähle H in beliebigem Abstande von 0°, ziehe HH' 10°G, dann ist H' auf OM die orthogonale Projektion

AN). Die ge

(N∞ A 1 G∞ H∞, NA× GH = F‰, (AO)2 = AF meinsame Normale n = PQ liegt einerseits mit g, andererseits mit h

=

in einer Ebene, ihr Spurpunkt N liegt also auf den Geraden NG (NG) und NH (|| NH). NN n schneidet g, und h in den Punkten P und Q. Es soll noch die wahre Länge des Abstandes PQ der beiden Geraden gezeichnet werden. Nach 864 trage man NO NO° auf N G als NO auf, dann projiziert sich P.Q. aus O auf NG in seiner wahren Größe Ps Qs.

=

A

875. Die Geraden zu zeichnen, die mit einer gegebenen Geraden g einen bestimmten Winkel a und mit einer gegebenen Geraden h einen bestimmten Winkel einschließen (Fig. 551). Die Aufgabe wurde bereits in 117 für orthogonale Pro

vier Geraden (113), die zu den gesuchten Geraden parallel laufen und unter denen sich auch die Gerade OL befindet. Es kommt also alles darauf an, die Schnittlinien dieser Kegel zu konstruieren. Zu diesem Zwecke drehen wir die Kegelachsen OG und OH, und mit ihnen die Kegelflächen selbst um e GH, bis das Auge O in die Bildebene nach 0° gelangt (0° 1e, 0°4 × e F, O°F = 0 ̧F, ОoA = 04e, 0, auf d), und bestimmen zunächst die gemeinsamen Geraden dieser gedrehten Kegelflächen nach 113. Ist ▲ DO°G = a, so

=

ist DOo eine in der Bildebene П liegende Mantellinie des Kegels mit der Achse OoG; ebenso ist 0°C eine in П liegende Mantellinie des Kegels mit der Achse 0°II, wenn COH = ist. Um 0o als Mittelpunkt beschreiben wir eine Kugel, die П in c und die Mantellinien OoD und 0°C in D, D1, resp. C, C, schneiden mag. Diese Kugelfläche schneidet die Kegel in je zwei Kreisen, deren Ebenen zu OoG, resp. OoII normal sind; ihre senkrechten Projektionen werden von zwei zu O°G normalen Geraden durch D und D, und von zwei zu OH normalen Geraden durch C und C, gebildet. Die beiden Kreise durch C, resp. D schneiden sich in zwei Punkten J und J2, deren gemeinsame orthogonale Projektion auf П der Punkt J ist (CJ' 0oII, DJ' OoG). Die Abstände der Punkte J und J von der Bildebene sind gleich JJ', wenn JJ' OoJ' ist und J auf c liegt. 0° und OoJ, sind zwei gemeinsame Mantellinien der gedrehten Kegelflächen; sie besitzen noch zwei weitere O°K, und OoK, deren gemeinsame orthogonale Projektion O'K' ist (CK' 0°] D1K' 1 OoG), auf die wir jedoch nicht weiter eingehen wollen.

2

00

Wir legen jetzt durch e eine Ebene E, die zur Ebene Oe symmetrisch liegt in Bezug auf die Bildebene; sie wird die Strahlen 0o, und Oo1⁄2 in zwei Punkten L, resp. M schneiden. Führen wir nun um e eine der früheren entgegengesetzte Drehung aus, so daß 0° wieder nach O gelangt, dann nehmen die beiden Kegel wieder ihre ursprüngliche Lage an, während E mit der Bildebene zur Deckung kommt. Demnach gehen bei dieser neuen Drehung die Punkte L und M in zwei Punkte L und M der Bildebene über; OL ̧ und OM sind zu zweien der gesuchten Geraden parallel, d. h. Z und M sind die Fluchtpunkte dieser Geraden. Um diese Punkte zu zeichnen, benutzen wir П als Grundrißebene und eine dazu senkrechte Ebene durch OoAF als Aufrißebene; dann liegt O in der Aufrißebene, die wir um 0°A so umlegen, daß O nach O, gelangt. Nun ist J' die erste Projektion von J und J und es sind " und J,” ihre zweiten Projektionen (JJ"J" 10°A, J"J," = 2JJ); zugleich ist e2 FO die zweite Spur der Ebene E, wenn 0,0, ein Durchmesser von d ist, denn es muß 0, FO° 0°FO, sein. Hieraus ergeben sich I" e2 × 0°J," und M" = e, x O°J" und ihre ersten Projektionen und M' auf OoJ' (L'L' || M"M' 1 0°A), sowie durch Drehung um e die Punkte L, und M, (L" auf O°A, L"FL"F, LL" || e, LL' e).

=

A

1 2

=

A

Die Gerade 7 mit dem Fluchtpunkt L., die die gegebenen Geraden g und h trifft, besitzt einen Spurpunkt L, in dem sich die Spurlinien der Ebenen gl und hl schneiden (GL||G ̧L, HL||HÅ LÅ )·