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=

A

Gerade g in der Ebene E, so bestimme man auf e, einen der Punkte O oder O, für welche GO GO1 = G2O = G ̧Ø° ist; aus jedem dieser beiden Punkte projiziert sich eine jede Bildstrecke PQ. von ge in wahrer Länge auf e (PQ: PQ PQ). Der Punkt 04, resp. O heißt Teilungspunkt von ge weil er dazu dienen kann, jede Bildstrecke auf g, so zu teilen, daß die wahren Längen dieser Teile in einem vorgeschriebenen Verhältnisse stehen.

=

=

G

P

d

865. Legt man zweitens durch g eine Ebene senkrecht zur Bildebene, so ist GA ihre Fluchtlinie und g'(|| GA) durch G ihre Spurlinie, dabei ist g' die Orthogonalprojektion von g auf die Bildebene (Fig. 540). Legt man jetzt das Auge um G4 nach O um (0,41 GA, 0, auf d) und die Gerade um ihre Orthogonalprojektion g' nach g (9% || G, 9% durch G), so projiziert sich jede Bildstrecke P.Q. von g. aus 0, in wahrer Größe auf go Projiziert man PQ, aus 4 auf g', so erhält man die Orthogonalprojektion P'Q' von PQ; denn die von P und Q auf die Bildebene gefällten Lote haben 4 zum Fluchtpunkte und ihre Spurpunkte P und liegen auf g'. Die Strecken PP und Q'Q stehen auf g' senkrecht und geben die Abstände der Punkte P und Q von der Bildebene П an. Trägt man GO1 = G ̧μ Gx s auf GA auf, so ist O der Teilungspunkt von g hinsichtlich der zu П norge malen Ebene durch g; PQ, projiziert sich also aus O in der wahren Länge PQ ( PoQ = PQ) auf g'.

P

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Fig. 540.

A

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G

с

=

0

866. Die hier gegebene Darstellung der Ebene und der Geraden und im Anschluß daran die des Punktes auf der Geraden oder in der Ebene kann dazu benutzt werden, eine Reihe von Aufgaben zu lösen. Aus dem Bilde P und der orthogonalen Projektion P' eines Punktes, wobei P.P' durch den Hauptpunkt gehen muß, ergiebt sich sein Abstand von der Bildebene durch die Relation PP':04 = P'P: PA. Es folgt das unmittelbar aus Fig. 540 und wird noch einfacher durch Umlegen von OP um seine orthogonale Projektion AP erhalten. Aus dem Bilde g, und der Projektion g' einer Geraden ergiebt sich ihr Spurpunkt G9 X g und ihr Fluchtpunkt Gg. X G2 4. wobei G 4g ist. Ist die Gerade g zur Bildebene parallel. so ist gg; ihr Abstand von der Bildebene ist gleich dem Abstand

с

×

irgend eines Punktes P auf ihr, der sich wie vorher bestimmt (P'P durch 4).

Ein Punkt kann hiernach durch sein Bild und seine orthogonale Projektion, oder durch sein Bild und seinen Abstand von der Bildebene gegeben werden. Ebenso kann eine Parallele zur Bildebene durch ihr Bild und ihren Abstand, oder durch ihr Bild und ihre orthogonale Projektion bestimmt werden.

Aus Fig. 540 erkennt man weiter, daß sich der Abstand eines Punktes von der Bildebene zur Distanz auch wie die Abstände seines Bildes von Spur- und Fluchtpunkt einer durch ihn gelegten Geraden verhält (PP': 0A = GP: PG), oder wie die Abstände seines Bildes von Spur- und Fluchtlinie einer durch ihn gelegten Ebene. Ganz ebenso verhält sich der Abstand einer zur Bildebene parallelen Geraden zur Distanz, wie die Abstände ihres Bildes von Spur- und Fluchtlinie einer durch sie gelegten Ebene.

867. Die Schnittlinie s zweier Ebenen B und hat den Spurpunkt 8 bx c und den Fluchtpunkt S = b. XC. Der Schnittpunkt S einer Geraden g und einer Ebene E wird erhalten, indem man durch g eine beliebige Hilfsebene ▲ legt, also ihre Spurlinie d durch G und ihre Fluchtlinie d (d) durch G, zieht und die Gerade i EXA mit g schneidet (J=ex d, J = ex × da, 8 = gcxi). Ist g parallel zur Bildebene, so kann man eine zur Bildebene normale Hilfsebene durch sie legen, ihre Spurlinie ist g'( g.) und ihre zu g. parallele Fluchtlinie geht durch 4. Die einfachen Figuren zu diesen Aufgaben sind weggelassen, da die gleichen Konstruktionen in den weiteren Aufgaben wiederkehren.

868. Durch einen Punkt P zu der Geraden k eine Parallele zu ziehen. Pliege

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letztere ist hierzu parallel und

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geht durch K ̧. Der Distanzkreis ist hier und weiterhin, wo er

nicht gebraucht wird, weggelassen.

Durch einen Punkt P zu der Ebene E eine Parallelebene ▲ zu legen. P mag durch sein Bild P. und seine ortho

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dazu parallele Spurlinie d durch G.

869. Durch einen Punkt P eine Gerade s zu legen, die zwei Gerade k und trifft (Fig. 543). Der Punkt sei wieder durch sein Bild P. und seine Orthogonalprojektion P' gegeben

K

с

Sc

L

Fig. 543.

S

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(P.P' geht durch A). Wir legen
durch P eine Parallele d zu k,
dann ist D= K ihr Flucht-
punkt und d = DP ihr Bild;
ihr Spurpunkt D liegt auf einer
Parallelen zu KA durch P.
Denn PP' und d liegen in
einer Ebene mit
mit DA als
Flucht- und DP' als Spurlinie.
Ebenso ziehen wir durch P eine
Parallele e zu 1, dann ist L
E ihr Fluchtpunkt, e = E, P
ihr Bild und E

=

=

..

eX PE (L4) ihr Spurpunkt. Die gesuchte Gerade s erscheint nun als

Schnitt der Ebenen kd und le, also ist während ihr Fluchtpunkt S auf den LS (LE) liegt.

ihr Spurpunkt SDK × EL, Geraden K‰ S。 (|| KD) und

Soll man eine Gerade s zeichnen, die zwei Gerade k und 7 trifft und zu einer dritten, etwa g, parallel ist, so fällt S, mit G zusammen und S ist der Schnittpunkt der Geraden KS (|| K, G ̧) und LS (LG).

Von einer Geraden s =

QR seien Spur- und Flucht

Sc

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punkt zu finden (Fig. 544). Die Punkte QR mögen zwei Geraden k resp. angehören und seien durch ihre Bilder Q und R auf den Bildgeraden k und gegeben. Wir suchen nach 868 die Spur- und Fluchtlinien der Ebenen kR und 1Q, indem wir durch R eine zu k parallele Gerade m (M = K∞, ML || ML) und durch Q eine zu parallele Gerade n legen (NL, NK || NK). Die Spurlinien von kR und IQ sind KM und LN, ihre Fluchtlinien gehen durch K resp. L; erstere schneiden sich im Spurpunkt S, letztere im Fluchtpunkt S, der gesuchten Geraden s. Da wir Sc QR kennen, genügt es, Spur- und Fluchtlinie von einer der beiden Ebenen kR resp. 1Q zu konstruieren. 870. In einer Ebene E durch einen gegebenen Punkt P die beiden Geraden mit dem Neigungswinkel y gegen die Bildebene zu zeichnen (Fig. 545). Die Fluchtpunkte aller Geraden mit der Neigung y gegen die Bildebene П liegen auf einem Kreise c mit dem Mittelpunkte A. Der Radius dieses Kreises ist

=

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M

Fig. 544.

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die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes, in dem die Distanz die zweite Kathete und den dieser gegenüberliegenden Winkel bildet. Die Schnittpunkte J und K von c und es sind die Fluchtpunkte der gesuchten Geraden i und k, ihre Spurpunkte J und K liegen auf e und ihre Bilder JJ, und KK, gehen durch P

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Den Winkel zweier Geraden k und l zu finden (Fig. 546). Da OK k und OL || ist, so ist = KOL; die wahre Größe dieses Winkels ergiebt sich aber durch Umlegen des Auges 0 um die Gerade K L in die Bildebene. Zu diesem Zwecke zieht man AFKL und 40, || K L (0, auf d) und trägt dann OF OF ̧ auf AF als 0°F auf, dann ist BLK, OL

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=

871. In einem Punkte P einer Ebene E eine Normale a von gegebener Länge zu errichten (Fig. 547). Ist e, die Fluchtlinie von E und N, der Fluchtpunkt von n, so folgt aus n E, daß auch ON Oe ist. Die Ebene Oe, hat in der Bild

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Fig. 547.

00

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Ebene gefällten Lotes AF. Auf dieser Geraden bestimmt sich N durch die Beziehung ON 1 OF; zur Konstruktion lege man das Auge um AF in die Bildebene als 0, um (40。 ¦ AF, O̟。 auf d), dann ziehe man 0,N, normal zu OF. Hieraus folgt zugleich die Relation AN AF = (AO). ·

ON

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00

=

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Das Bild der gesuchten Normalen ist n N, P, ihr Spurpunkt N ergiebt sich folgendermaßen. Jede durch P verlaufende Gerade der Ebene E bestimmt mit n eine Ebene, auf deren Spurlinie N liegt. Man wähle etwa die Falllinie durch P, deren Fluchtpunkt Fist und deren Bild durch P. geht; dann liegt die Normale n in der Ebene mit der Fluchtlinie NF und einer dazu parallelen Spurlinie durch F und ihr Spurpunkt N auf dieser Spurlinie (NF || N. Fe). Jetzt ist noch auf n ein Punkt Q. zu finden, so daß PQ eine vorgeschriebene Länge besitzt. Man erreicht dieses durch Umlegen der Geraden n um ihre orthogonale Projektion n' NF und erhält so no O, N, durch N und auf n den Punkt P1 = n × OP ̧· Trägt man auf n die Strecke PQ gleich der gegebenen Strecke PQ auf, so ist Qn × 9% Qo'

=

=

Man kann auch den Teilungspunkt O auf NF benutzen

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