die Konstruktion reeller und virtueller Bilder ergiebt sich kein Unterschied.

Hinsichtlich der Bezeichnung mag noch vorausgeschickt werden, daß die Bilder eines Raumpunktes P, einer Raumgeraden g u. s. w. durch Anhängen des Index c an die betreffenden Zeichen, also P g. u. s. w., gekennzeichnet werden sollen. Die Bildebene soll kurz durch П bezeichnet werden.

C

859. Darstellung einer Ebene. Eine Ebene E im Raume legen wir fest, indem wir einerseits ihre Schnitt- oder Spurlinie e mit der Bildebene, andererseits ihre Stellung gegen diese angeben. Das letztere geschieht dadurch, daß wir durch das Auge O eine Parallelebene zu E legen und ihre Spurlinie e zeichnen (Fig. 535). Da jede Ebene durch O die Bildebene und die Ebene E in Geraden schneidet, von denen die eine das Bild der anderen ist, so ist jede Gerade in П das Bild einer Geraden in E und das Bild unserer Ebene überdeckt die ganze Bildebene. Speziell ist e das Bild der unendlich fernen Geraden von E, d. h. der Gesamtheit ihrer unendlich fernen Punkte, da Oe E ist; e, heißt die Fluchtlinie von E (vergl. 166-169). Parallele Ebenen besitzen die gleiche Fluchtlinie. Die Spurlinie

e und die Fluchtlinie e liegen in der Bildebene П und sind parallel; zu ihnen parallel ist auch die Verschwindungslinie

der Ebene E. deren Bild unendlich fern liegt, so daß Oeπ ist. Die Geraden e und e teilen E in drei Teile; ev der erste erstreckt sich von bis ins Unendliche und liegt hinter der Bildebene, sein Bild in П ist der Parallel

streifen zwischen e und e∞.

aus.

d

Den zweiten Teil von E bildet der Streifen zwischen e und e, vor der Bildebene, sein Bild in П dehnt sich von e bis ins Unendliche Der dritte Teil von E liegt ebenfalls vor der Bildebene und erstreckt sich von e, ins Unendliche, sein Bild ist virtuell und dehnt sich von e bis ins Unendliche aus. In Fig. 535 sind P, Q., R. die Bilder von Punkten, die im ersten, resp. zweiten, resp. dritten Teile von E liegen.

с

Fällt man vom Hauptpunkt A ein Lot AF auf ea, so ist OF

eine Falllinie der Ebene Oe, (OF1 e) und es ist AFO = ε der Neigungswinkel der Ebene E gegen die Bildebene, da E¦ Oe, ist. Man zeichnet den Winkel & durch Umlegen des Dreieckes 1F0 um die Kathete AF in П als ▲ AFО (40, 1 AF, 0, auf d). Es ist sofort ersichtlich, daß & 45o ist, je nachdem e, den Distanzkreis d schneidet, berührt oder nicht trifft. Geht die Fluchtlinie einer Ebene durch den Hauptpunkt A, so ist die Ebene zur Bildebene normal.

Die zur Bildebene parallelen Ebenen können in der angegebenen Weise nicht bestimmt werden, sie besitzen weder erreichbare Spurnoch Fluchtlinien. Punkte und Linien in solchen Ebenen lassen sich durch Hilfsgeraden oder Hilfsebenen festlegen, wie wir weiterhin sehen werden.

Bei Ebenen durch das Auge O fallen Spur- und Fluchtlinie zusammen; die ganze Ebene projiziert sich als gerade Linie.

860. Darstellung einer Geraden. Eine Gerade g legen wir im Raume fest, indem wir einerseits ihren Schnitt- oder Spurpunkt G mit der Bildebene, andererseits ihre Richtung angeben. Das letztere geschieht in der Weise, daß wir durch das Auge (

eine Parallele zu g legen und ihren Spurpunkt G, zeichnen (Fig. 536). Jeder Strahl durch O, der g in einem Punkte trifft, schneidet П in dem zugehörigen Bildpunkte. Speziell ist Gr das Bild des unendlich fernen Punktes von g, da OG g ist: G heißt der Fluchtpunkt von g. GG, g. ist das Bild von g(g0g x T). Parallele Geraden besitzen den gleichen. Fluchtpunkt.

Яс

G&

G

=

Fig. 536.

=

Wir betrachten außer dem Spurpunkt G und dem Fluchtpunkt Gy der Bildgeraden g, noch den Verschwindungspunkt G auf g, dessen Bild ins Unendliche fällt (OG, G, G). Das Stück der Geraden hinter der Bildebene (mit dem Endpunkt G) hat die Strecke G, G zum Bilde. Die Strecke GG hat ein Bild, das sich von G ins Unendliche erstreckt. Der Teil von g, der über G, hinaus liegt. hat ein virtuelles Bild, nämlich das Stück von ge, das sich von G2 ins Unendliche zieht.

0;

Der Neigungswinkel vong gegen die Bildebene ist y=LAG er ergiebt sich aus dem rechtwinkligen Dreiecke AGO, dessen

Je nachdem G

Katheten bekannt sind (0,41 AG, O auf d). außerhalb, auf, oder innerhalb d liegt, ist y 45°. Alle Normalen zur Bildebene haben den Hauptpunkt A zum Fluchtpunkt. Die zur Bildebene parallelen Geraden liefern Bilder, die zu ihnen selbst parallel sind, auf diesen Bildgeraden giebt es jedoch weder Spur noch Fluchtpunkt. Eine solche Gerade kann also nicht in der vorher geschilderten Weise festgelegt werden, vielmehr muß man entweder einen Punkt auf ihr, oder eine Ebene durch sie angeben. Bei Geraden durch das Auge O fallen Spur- und Fluchtpunkt zusammen, sie projizieren sich als Punkte.

861. Liegt eine Gerade g in einer Ebene E, so liegen Spur-, Flucht- und Verschwindungspunkt der Geraden bezüglich auf Spur-, Flucht- und Verschwindungslinie der Ebene (G auf e, G, auf e, G, auf e). Dies folgt unmittelbar aus der Definition der genannten Elemente. Natürlich gehört auch umgekehrt eine Gerade einer Ebene an, wenn ihr Spur- und Fluchtpunkt bezüglich auf der Spur- und Fluchtlinie der Ebene liegen. Ist eine Gerade zu einer Ebene parallel, so liegt ihr Fluchtpunkt auf der Fluchtlinie der Ebene.

с

Foo

862. Eine Ebene E soll in die Bildebene umgelegt werden (Fig. 537). Ist eine Figur in E und ihr Bild, so bleibt nach 173 die perspektive Beziehung zwischen ihnen erhalten, wenn man mit der Ebene E um die Spur e dreht. Legt man eine Ebene E um ihre Spur e in die Bildebene um, wobei die in ihr liegende Figur & in Fo übergehen mag, so sind o und

perspektiv. Legt man gleichzeitig das Auge O um ihre Fluchtlinie e, als Oo in die Bildebene um, dann ist

P

G

Fig. 537.

0° das Centrum der perspektiven Beziehung zwischen Fo und Der Beweis hierfür findet sich in 174 und 175; dort wird auch gezeigt, daß der Abstand von e, und e gleich dem Abstand von Oo und

ex
ist.

Man kann das vorstehende Resultat auch in die folgende Form kleiden. Jeder Punkt der Ebene E befindet sich nach seiner um die Spur e ausgeführten Umlegung in die Bildebene in

gerader Linie mit seinem Bilde und dem um die Fluchtlinie e umgelegten Auge. Jede Gerade der Ebene E ist nach ihrer Umlegung um die Spur e parallel zu der Geraden, die ihren Fluchtpunkt mit dem um die Fluchtlinie e umgelegten Auge verbindet. So ist g° || G, Oo, denn die Parallelen g und GO werden um die Parallelen e resp. e gedreht.

Will man um e umlegen, so fälle man von 0 auf e, das Lot OF (AFe); das umgelegte Lot 0°F, ist zu e, normal. seine wahre Länge ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten AF und AO, das in der Figur um die Kathete AF umgelegt ist (F。。 = F0o).

0

Die Falllinien der Ebene E haben Bilder mit dem Fluchtpunkte F; denn sie stehen auf e senkrecht, für ihren Fluchtpunkt F gilt also die Beziehung OF 1e. Die Hauptlinien von E besitzen Bilder, die zu e parallel sind; denn da sie e nicht schneiden, können es auch ihre Bilder nicht thun. Sind f und 1⁄4 ̧ die Bilder einer Fall- und einer Hauptlinie und ist Pf× h ̧, so liegt Po = f" × ho mit P. und 0° in gerader Linie (fe, ho¦e, f. durch F, helle).

863. Bestimmung der wahren Gestalt eines Dreieckes

und C und sind zu OoB und O°C parallel. Damit ist die wahre Gestalt P Q R unseres Dreieckes gefunden; seine Ecken liegen mit

0

den Ecken des Bilddreieckes PQR auf drei Strahlen durch Oo. In der Figur ist auch die Verschwindungslinie e, nach e umgelegt worden mit Hilfe der Beziehung (e ̧° + e) = (0° + e∞). Dann schneidet PoRo die Gerade e, in Bo und es ist das Bild PR zu der Verbindungslinie O'B ̧° parallel; ähnlich verhält es sich auch mit den beiden anderen Seiten des Dreieckes.

0

0

864. Bestimmung der wahren Länge einer Strecke, deren Bild gegeben ist. Es mögen das Bild g = PQ, der Spurpunkt G und

= GO und g° || GO°; die Geraden O°P. und O°Q, schneiden auf go die wahre Länge P°Q° aus.

Da die Richtung von e durch G beliebig ist, so kann auch GO° (9) jede beliebige Richtung annehmen; wir erhalten deshalb, folgende Konstruktion der wahren Länge. Sind G und G. Spurund Fluchtpunkt einer Geraden g und ist PQ eine auf ihr liegende Strecke, deren Bild PQ, bekannt ist, so ziehe man durch G in beliebiger Richtung die Strecke GO° GÃO, sowie durch G die Parallele g°, dann wird die wahre Länge PoQ° der Strecke PQ durch die Strahlen O°P und 0°Q, auf go ausgeschnitten. G0° findet sich als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreieckes mit den Katheten GA und 40, sie ist gleich der Entfernung des Fluchtpunktes G vom Auge O (40, 1 GÅ A,

AO, GO = G2O=G, Oo).

=

Das hier ausgesprochene allgemeine Resultat findet besonders

in den folgenden beiden Weisen seine Verwendung. Liegt die

ROHN u. PAPPERITZ. II.

27