der Achsen in der Bildebene (oder auch in einer zu ihr parallelen Ebene).

1. Lösung. Die Bildspur CD einer Ebene, die durch (z) normal zu (g) gelegt ist und (AB) in (D) schneidet, ist rechtwinklig zum Bilde g (80) und das Bild OD ihrer ersten Spur parallel zum Bilde des Lotes (7). Man findet als die Parallele zu OD durch P.

2. Lösung. Die Bildspur EF der ersten projizierenden Ebene (EFG) von (g) ist normal zum Bilde des Lotes (7). Man findet / als

B

H

M

Fig. 526.

(g×

Fig. 527.

die Normale zu EF durch P (g x ABE, gx x = G, GF || z, ACX GFF). Statt der projizierenden Ebene (EFG) kann man jede zu ihr parallele Ebene, z. B. die durch z, benützen.

3. Lösung. Die Sehstrahlenebene durch (z) schneide (g) in (H), wobei H = gxz. Die Höhenlinien des Dreiecks (GHO) in П1⁄2 schneiden sich in einem Punkte (J) und zwar ist GJz, HJ||y; I geht parallel zu OJ durch P. Bei dieser Lösung werden nur die Achsenbilder, aber kein Spurendreieck gebraucht.

850. Um die wahre Länge einer Strecke (PQ) zu finden, die durch PQ und P'Q' gegeben ist (Fig. 527), ziehe man OMQ'P' und MNPQ, so liegt (M) in П1, (N) auf (2) und es ist (MN) #(PQ). Das Spurendreieck ABC der durch M gelegten Bildebene П in den Koordinatenebenen ist dadurch bestimmt, daß seine Seiten AB, BC, CA

resp. senkrecht zu z, x, y liegen und die erste AB durch M geht. MC ist die Bildspur der Ebene (MNO); wir legen letztere um MC in die Bildebene um und erhalten die wahre Länge von (P als Umlegung MN° von MN. Die Umlegung 0° von O liegt auf der Senkrechten zu MC durch O und, da (COM) = R ist. zugleich auf dem Kreise über dem Durchmesser CM; N° liegt auf CO° und NN° ist parallel zu 00°. Statt dieses Verfahrens kann

x

man auch eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems anwenden. Man ziehe PR P'Q, so daß (R) auf (QQ') liegt, und

851. Das aus einem Punkte (P) auf eine Ebene E gefällte Lot (PQ) wird folgendermaßen dargestellt (Fig. 528). Sei ABC das Spurendreieck der Bildebene und (DEF) das Spurendreieck der Ebene E, also DE = e1, DF = e2, EF=e,, so ist GH die Bildspur von E (G= AB × DE, H= BCX EF) und PQ liegt senkrecht zu GH. Ferner ist (PQ) 1 e, also P'Q nach 849 bestimmbar. Schneidet aber P'Q' das Spurbild e, in J und y in K und liegt I auf e, so, daß KL||z, so ist JL das Bild der Schnittlinie von E mit der ersten projizierenden Ebene von PQ und enthält Q.

852. Die Umlegung einer Ebene E um ihre Bildspur in die Bildebene (Fig. 529). Das Spurendreieck (DEF) der Ebene E bestimmt mit dem Spurendreieck ABC der Bildebene die Spurlinie von E in П, welche die Schnittpunkte der gleichnamigen Spurbilder. z. B. G = AB × DE, H = BC × EF enthält. Die Bildspur CJ der normal zu e1 durch z gelegten Ebene ist rechtwinklig zu e, und diese Ebene (COJ) schneidet aus E eine erste Falllinie (FK) aus.

Zieht man HL || FK, so stellt GLH einen in E gelegenen rechten

Winkel dar; die Um

legung Lo von Lin die Bildebene (um GH) liegt daher auf einem über dem Durchmesser GH konstruierten Halbkreise und auf dem aus L auf GH gefällten Lote; GL°= e1° ist die Umlegung der Spurlinie (e1). Auf ihr bestimmt man die Umlegung Eo von (E) durch die Beziehung EE || LL° und damit e, als

0

Hiernach

kann die wahre Ge- y

stalt ebener Figuren bestimmt werden,

denn das Bild einer solchen ebenen Figur ist affin zu ihrer Umlegung in die Bildebene; die Bildspur der betreffenden Ebene ist die Affinitätsachse, das Bild irgend eines ihrer Punkte und seine Umlegung bestimmen einen Affinitätsstrahl (|| LL).

853. Um den Winkel zweier Geraden zu bestimmen, stelle man ihre Parallelen (g) und (h) durch den Ursprung (0) dar (Fig. 530), bestimme mit

Hilfe des Spurendreiecks

ལ

Fig. 529.

Fig. 530.

ABC ihre Spurpunkte in der Bildebene G und H und lege um ihre Verbindungslinie e GH den Ursprung und damit den gesuchten

=

Winkel 4 LGOH in die Bildebene um (J= g' × AB, G=g× CJ; Khx AB, Hhx CK). hx CK). Die Linie e treffe die Seite BC des Spurendreiecks in I und ein über dem Durchmesser BC geschlagener Halbkreis die (zu BC normale) Linie x in O, so ist LO, die Umlegung der Strecke (LO) um BC. Zieht man aber 00° normal zu e und macht LO° LO, so ist 0° der um e umgelegte Ursprung und folglich GOH = q der gesuchte Winkel in wahrer Größe. Man kann 0° auch dadurch finden, daß man 00° e zieht und (0°) gleich der Hypotenuse eines Dreiecks mit den Katheten (0 − e) und (0) macht.

N

Fig. 531.

L

=

M

854. Wir wenden die axonometrische Projektionsmethode zuerst auf die Zeichnung von Krystallformen des tesseralen Systems an. Die Krystalle dieses Systems besitzen ein gleichschenklig-rechtwinkliges Achsenkreuz. Die Lage einer Krystallfläche denkt man sich durch die Verhältnisse der Abschnitte bestimmt, die sie auf den drei Achsen hervorbringt (indem man diese Abschnitte vom Ursprung 0 aus miẞt). Bei einem Rhombendodekaeder z. B. (Fig. 531) gelten die Verhältnisse 1:1:00, d. h. es schneidet jede Fläche zwei Achsen in gleicher Entfernung von O und die dritte Achse im Unendlichen. In den Koordinatenebenen laufen also die Spurlinien der (verlängerten) Seitenflächen parallel zu den Achsen (12), (34), (56) und in gleicher Entfernung von ihnen; sie schneiden sich paarweise in den Ecken dreier Quadrate nämlich in (L), (M), (N) und den zu ihnen symmetrischen Punkten. Die Ecken jedes solchen Quadrates liefern, mit den beiden Endpunkten der zu ihm senkrechten Achse verbunden, je 8 der 24 Kanten des Rhombendodekaëders. Dieses kann daher mit großer Leichtigkeit gezeichnet werden, sobald nur das Achsenkreuz abgebildet ist. Die gezogenen Kanten treffen sich zu dreien in 8 Ecken, während sie in den 6 Endpunkten der Achsen zu vieren zusammenstossen.

Es mag noch ein Vierundzwanzigflach (Trapezoëder) dargestellt werden, dessen Seitenflächen Achsenabschnitte machen, die sich wie 1:2:2 verhalten (Fig. 532). Sind X, X, Y, Y1, Z, Z, die Bilder der Endpunkte des vollständigen Achsenkreuzes, so halbiere man die von O bis zu ihnen reichenden Strecken. Je zwei auf

einer Achse liegende Halbierungspunkte sind mit den 4 Endpunkten der beiden anderen Achsen zu verbinden; man erhält so 24 Kanten des Trapezoëders. Außer den 6 auf den Achsen befindlichen Ecken. hat man jetzt noch 12 weitere als Schnittpunkte je zweier Kanten; es liegen nämlich in jeder Koordinatenebene 4, die wieder je mit

den beiden Endpunkten der zu ihr senkrechten Achse zu verbinden sind. In den bisher aufgeführten 18 Ecken stoßen je 4 Kanten zusammen. Die zuletzt gezogenen 24 Kanten schneiden sich aber noch zu dreien in 8 neuen Ecken.

855. Darstellung einer Kugel in axonometrischer Projektion mit Eigen- und Schlagschattengrenzen (Fig. 533). Die Kugel berühre die Koordinatenebene П, im Ursprung (0); durch ihr auf der z-Achse befindliches Centrum C werde die Bildebene gelegt. Die Abbildung des Achsenkreuzes samt dem Spurendreieck ABC sei gegeben. Ist O, die Umlegung von (0) um AC, so bildet CO, einen in der Bildebene liegenden Kugelradius und der um C durch O geschlagene Kreis u den (wahren und zugleich scheinbaren) Umriß der Kugel. - Bildet sich der Schatten von (C) auf TT, im Punkte Cab, so sind damit für den Lichtstrahl das Bild 1 = CC und das Grundrißbild ' OC gegeben; es sei noch L = 1× AB und I'l' × AB. Die Lichtgrenze (v) auf der Kugel ist derjenige Hauptkreis, dessen Ebene normal zum Lichtstrahl steht; sein

*