=

Bildebene bestimmt. Der Schnittpunkt O der Höhenlinien 4, BB1, CC, des Dreiecks ABC ist das Bild des Ursprungs; schneidet ferner CC, den über dem Durchmesser AB konstruierten Kreis in 0,, so ist 0, eine Umlegung von (0) in die Bildebene um AB (L 40 B R). Trifft die Parallele zu AB durch O den Kreis um C durch 0 in 0°, so ist 0°0 der Abstand des Ursprungs von der Bildebene. Um das Achsenkreuz abzubilden, trage man auf 04, 0B, 0°C die Strecken 0, OY, OZ° gleich k auf und projiziere sie senkrecht, bezw. parallel zu AB auf OA, OB, OC in die Bildstrecken OX, OY, OZ. Statt jeder dieser Strecken kann auch eine ihr gleiche in entgegengesetzter Richtung von 0 aus gezogen werden. Die Seiten des Spurendreiecks ABC liegen in denjenigen Quadranten der Koordinatenebenen, welche den die Strecke (0)0 enthaltenden Oktanten des Raumes begrenzen. Der Schnitt

Fig. 522.

punkt O seiner Höhenlinien liegt daher im Inneren des Dreiecks und seine Winkel sind spitz.

Sind die Richtungen OA, OB, OC der Achsenbilder gegeben, so ist das Spurendreieck der Form nach bestimmt. Zu seiner vollständigen Bestimmung, mithin auch zur Bestimmung der Lage des Koordinatensystems gegen die Bildebene, kann die Angabe des senkrechten Abstandes (O)O des Ursprung von der Bildebene dienen. Aber auch ohne die letztere Angabe können die drei Verkürzungsverhältnisse

nach dem Vorigen konstruiert werden (vergl. auch 147).

845. Sind andererseits die Verhältniszahlen l, m, n und damit k, folglich auch die Verkürzungsverhältnisse λ, u. gegeben, so kann man daraus die Abbildung des Achsenkreuzes konstruieren; der Punkt O und die Richtung eines Achsenbildes bleiben willkürlich. Die Konstruktion kann nach 148 erfolgen. Man bestimmt nämlich zuerst k gemäß der Relation 12+ m2 + n2 = 212. indem man aus und m als Katheten ein rechtwinkliges Dreieck

mit der Hypotenuse p, aus p und n als Katheten ein zweites mit. der Hypotenuse q, und mit letzterer noch ein drittes gleichschenkligrechtwinkliges Dreieck bildet, dessen Katheten die Länge k haben (Fig. 523). Die Wahl der Strecken l, m, n unterliegt, wegen der genannten Relation und weil jede einzelne von ihnen kleiner als k sein muß, einer Einschränkung: das Quadrat jeder einzelnen Strecke 1, m, n muß kleiner sein als die Summe der Quadrate der beiden anderen. Man denke sich (0) in der Bildebene П gelegen und zeichne die Strecke OZ

m

m

n

(etwa vertikal) mit der vorgeschriebenen Länge n. Durch OZ werde eine zur Bildebene senkrechte Ebene E gelegt; sie enthält (OZ). Ferner mögen die Strecken (OX) und (OY) um eine in O auf П senkrechte Gerade in die Ebene E hereingedreht werden. Legt man dann E um OZ in П um, so erscheinen die gedrehten Strecken (OX) und (O), sowie (OZ) in ihrer wahren Länge k, nämlich als drei Radien OL, OM, ON eines Kreises, deren senkrechte Projektionen auf den Durchmesser OZ die Längen OP=1, OQ = m, OZ = n haben. Projiziert man I und M parallel zu OZ auf den zu ON senkrechten Durchmesser in die Punkte R und S, so bilden diese nach der Wiederaufrichtung von E die senkrechten Projektionen von (X) und (1) auf E. Die gesuchten Bilder X und Y müssen daher auf den Geraden liegen, die durch R und S senkrecht zu OZ gezogen sind, zugleich aber auf den Kreisen um mit den Radien OP, resp. OQ. Hiernach sind sie konstruierbar. Man bemerkt, daß die Aufgabe, aus gegebenen Verhältniszahlen die Abbildung des Achsenkreuzes zu bestimmen, auch nach Annahme von OZ mehrere Lösungen zuläßt. Setzt man voraus, daß die Winkel XOY, YOZ, ZOX sämmtlich stumpf seien, so existieren zwei zu OZ symmetrisch liegende Bilder des Achsenkreuzes; jedem derselben entsprechen zwei zu П symmetrische Lagen des Achsenkreuzes, auch wenn der Ursprung in der Bildebene angenommen ist.

Fig. 523.

M

Sodann kann jede Achsenrichtung in die entgegengesetzte verwandelt werden und endlich kann das Achsenkreuz sich selbst parallel in der Richtung senkrecht zu П verschoben werden, ohne daß sich hierbei seine Abbildung oder die eines mit ihm verbundenen Objektes ändert.

846. Wird ein Gegenstand nach gegebenen Maßen gezeichnet, so empfiehlt es sich, Maßstäbe zu bilden, nach denen die Bildlängen der in den Achsenrichtungen verlaufenden Strecken leicht bestimmt werden können. Als natürlichen Maßstab bezeichnen wir den, der bei der Messung angewendet wurde. Als Maßstab des Bildes bezeichnen wir den, welcher zur Messung der in der

k

B

By

n

A

Br

B

m

A

B3

B

B

b

Bildebene selbst gelegenen Figuren angewendet wird und dessen Einheiten die gleichbenannten Einheiten des natürlichen Maßstabes bedeuten (gleichviel ob man sich das Objekt in seiner wahren Größe. oder verkleinert, oder vergrößert der Projektion unterworfen denkt). Aus dem Maßstab des Bildes leitet man die Verkürzungsmaßstäbe für die Achsen (oder kurz die Achsenmaßstäbe) ab. deren Einheiten die in der betreffenden Achsenrichtung am Objekte gemessener Einheiten darstellen. Aus der Abbildung des Achsenkreuzes entnimmt man die Bildlängen 1, m, n einer und derselben auf den drei Achsen aufgetragenen Strecke k und zeichnet k, l, m, a als Parallelen zwischen den Schenkeln eines spitzen Winkels, etwa als AB, A,B,, A,B,, A,B, zwischen den Schenkeln des 40B. Trägt man dann von A aus auf der Geraden AB die Teile des Bildmaßstabes auf, so projizieren sich dieselben aus dem Centrum 0 in die entsprechenden Teile der Achsenmaßstäbe für x, y, z (Fig. 524).

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Fig. 524.

Ein anderes Verfahren zur Messung der Bildstrecken bedient sich eines sogenannten Sinusmaßstabes. Trägt man nämlich an die Linie OA die Winkel AOB1, 4ОВ, AOВ, an, deren Sinus:

sich wie l:m: n verhalten, so kann man die Bildlänge einer zur Achse (x), (y) oder (z) parallelen Strecke leicht bestimmen, indem man ihre Länge (im Maßstabe des Bildes) auf OB1, OB, oder OB, von 0 aus aufträgt und von ihrem Endpunkt das Lot auf OA fällt, welches die gesuchte Bildlänge hat. Ist z. B. OP auf OB, die wahre Länge einer in der (x)-Richtung laufenden Strecke, so ist PQL OA die Länge ihres Bildes. Man hat nicht nötig, PQ wirklich zu ziehen, sondern findet PQ als Radius des um P gelegten und OA in Q berührenden Kreises durch Probieren mit dem Handzirkel.

847. Als Verhältniszahlen l, m, n nimmt man gern ganze Zahlen. Sind sie alle einander gleich, so heißt die Projektion isometrisch; sind zwei einander gleich, aber von der dritten verschieden, so heißt die Projektion dimetrisch (auch monodimetrisch); sind aber alle drei verschieden, so hat man eine trimetrische (oder anisometrische) Projektion. Die trimetrische ist den beiden anderen Projektionsarten vorzuziehen, weil bei jenen gelegentlich gewisse Symmetrieebenen eines Objektes sich als gerade

Linien projizieren, nämlich Halbierungsebenen der Winkel des Koordinatensystems und zu ihnen parallele Ebenen. Denkt man sich eine Koordinatenachse (z) vertikal, wie dies der gewöhnlichen Stellung der Objekte und des Beschauers entspricht, so ist es zweckmäßig, die Richtung der Sehstrahlen so zu wählen, daß die nach oben, vorn resp. rechts gekehrten Seiten der Koordinatenebenen П1, П2, П3 sichtbar werden. Die Bildebene П legt man senkrecht zu den Seh

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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strahlen (am einfachsten durch den Ursprung (0)). Axonometrische Bilder, bei denen die z-Koordinaten (Höhen) und -Koordinater (Breiten) nur wenig, die y-Koordinaten (Tiefen) aber verhältnismäßig stärker verkürzt sind, wirken am anschaulichsten.

Um die Wirkung der verschiedenen Projektionsarten einiger maßen beurteilen zu können, sind in Fig. 525 Abbildungen eines und desselben Würfels, bezw. eines und desselben regelmäßigen Oktaëders, dessen Achsen die Koordinatenachsen sind, zusammengestellt: a) in schiefer Projektion, b) in isometrischer, c) in dimetrischer, d) in trimetrischer orthogonaler Projektion. Der Anblick dieser Fi guren lehrt bereits, daß die trimetrische orthogonale (d) und demnächst die schiefe Projektion (a) die anschaulichsten Bilder geben. Letztere ruft leichter den Eindruck der Verzerrung hervor, well wir nicht gewöhnt sind, die Richtung unseres Blickes der schiefer Projektion anzupassen. Den Grad der Verzerrung erkennt man am Bilde einer Kugel, deren scheinbarer Umriß bei der orthogonalen Projektion kreisförmig, bei der schiefen dagegen elliptisch ausfällt.

848. Im folgenden setzen wir überall die Abbildung des gleichschenkligen Achsenkreuzes, bezw. das Spurendreieck, als gegeber.

voraus.

Die Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in axonometrischer Projektion vollzieht sich nach denselben Grundsätzen wie bei der schiefen Projektion (vergl. 819-822).

Ein Punkt (P) wird durch sein Bild P und das Bild seiner senkrechten Projektion auf eine Koordinatenebene, z. B. P', dargestellt. Ebenso wird eine Gerade (g) durch ihr Bild und das Bild g' ihres Grundrisses bestimmt. Zur Darstellung einer Ebene gehört die Angabe der Bilder zweier ihrer Spuren in den Koordinatenebenen. Über die vereinigte Lage von Punkten. Geraden, Ebenen, über ihre Verbindungs- und Schnittelemente und den Parallelismus ist nichts Neues zu sagen. Die hierauf bezüglichen Aufgaben werden analog dem früheren gelöst. Dagegen bedarf die Behandlung der Probleme, die sich auf die rechtwinklige Stellung von Geraden und Ebenen, auf die Bestimmung von Winkeln und Abständen und der wahren Gestalt ebener Figuren beziehen, noch einer kurzen Erörterung.

849. Zuerst ist die Aufgabe zu lösen: in einer Koordinatenebene aus einem gegebenen Punkte (P) auf eine gegebene Gerade (g) das Lot (7) zu fällen (Fig. 526). Der Punkt (P) und die Gerade (g) sollen durch ihre Bilder gegeben sein; sie mögen beispielsweise in П, liegen. A, B, C seien die Spurpunkte