und QR bilden die Asymptoten der Hyperbel k; zu ihnen sind die Grundrisse beider Erzeugendenscharen parallel. 8 8 Es bleibt noch übrig, die zu den Richtungen von z resp. y. konjugierten Durchmesser der Parabeln und m zu bestimmen. Ersterer endigt in dem Scheitel L, von , letzterer in dem Punkte M von m. Nach 689 sind dann L, und M Punkte des scheinbaren Umrißes der Fläche, nämlich einer Parabel u, und zwar ist L, ihr Scheitel und ihre Achse ist parallel zu z. Hieraus ist sie nach 838 konstruierbar. In dem Berührungspunkte N, der Parabel n, mit u endigt ihr zur Richtung AJ konjugierter Durchmesser; denn in diesem Punkte ist die Tangente parallel zu den Bildern der Mantellinien des Cylinders, der das Paraboloid längs der Kurve n berührt; AJ ist aber eine solche Mantellinie, weil sie in der Tangentialebene ACD des Punktes A und in der Symmetrieebene П, beider Flächen liegt. Analog findet man den Berührungspunkt 0, von u, und o als Endpunkt des zur Richtung BJ konjugierten Durchmessers. 841. Wir erläutern das Verfahren der schiefen Projektion schließlich noch an dem Beispiele eines Rotationskörpers, der als architektonisches Glied an runden Postamenten öfter vorkommt. Die Rotationsachse a sei vertikal gestellt, die Bildebene П, durch sie gelegt und in dieser der Meridianschnitt des Körpers gegeben. Der Halbmeridian besteht aus den Strecken BC und OG (die beide a senkrecht schneiden), CD und FG (beide parallel zu a) und aus einem Kurvenbogen m, der seine konvexe Seite der Achse zukehrt (Fig. 520 u. 521). Um einfache Konstruktionen zu haben, setzen wir die Kurve m aus zwei Kreisbogen zusammen, die in E eine gemeinsame, zu a parallele Tangente haben, während ihre Tangenten in den Endpunkten D und F horizontal liegen. Die Centren der betreffenden Kreise seien M und N. Der darzustellende Körper besteht also aus drei Teilen, nämlich aus zwei cylindrisch begrenzten ebenen Platten und einem mittleren Teil, dessen Oberfläche hyperbolisch gekrümmt ist. Um letzteren handelt es sich hauptsächlich; wegen seiner Darstellung vergleiche man 533 und 534. Damit wir den Körper samt Eigenund Schlagschatten abbilden können, müssen noch die Richtungen der Sehstrahlen o und der Lichtstrahlen gegeben sein. Es seien etwa Grundriß und Aufriß derselben o', o" und l', l'bekannt, woraus man leicht ein Projektionsdreieck, sowie und konstruiert. Wie die cylindrischen Teile unseres Körpers abgebildet, wie ihre Eigenschattengrenzen und die Grenzen ihres Schlagschattens auf die Grundrißebene dargestellt werden, bedarf keiner Erklärung mehr (man vergl. 532). Der wahre Umriß u der konvex-konkaven Rotationsfläche, welche die Kurve m erzeugt, wird mittels des Kegelverfahrens ermittelt. Sei p der Parallelkreis durch den Punkt P der Meridiankurve m und p" sein in der Bildebene gelegener Durchmesser. Die zu P gehörige Tangente von m treffe die Achse a in S; so ist S die Spitze des Kegels, der unsere Fläche längs des Kreises p berührt und seine Umrißlinien treffen p in zwei Punkten, die dem Flächenumrißu angehören. Man findet sie als die Berührungspunkte der t MN p Fig. 520. 8 8 = Tangenten an p aus dem Punkte Q, in welchem der Sehstrahl durch S die Ebene des Parallelkreises p trifft. Jeder der fraglichen Punkte, z. B. U, liegt auf p und auf dem Kreise über dem Durchmesser QR, wo Rax p" ist; das Centrum sei T. Den Kreis p und die Punkte Q, T, U zeichnen wir um p" in die Bildebene umgelegt als po, Qo, To, U° und bestimmen U, als Bild von U in bekannter Weise; die zugehörige Tangente von u, geht durch S. Trägt man parallel zu a von U, die Strecke UU RO ab, so ist ein U Punkt des Grundrißbildes u von u. Man wiederholt dies Verfahren für mehrere Parallelkreise, um hinreichend viele Punkte von u, und u zu erhalten. Bezüglich der besonderen Punkte sei folgendes bemerkt. Für den vom Punkte E beschriebenen Kehlkreis k der Fläche geht ihr Tangentialkegel in einen Cylinder über; die Umriẞpunkte auf k liegen daher auf dem zur Horizontalprojektion o' des Sehstrahles o senkrechten Durchmesser; in den Bildern derselben sind die Tangenten des scheinbaren Umrisses parallel zu a. Es giebt einen höchsten und tiefsten Parallelkreis, der vom wahren Umriß berührt wird. Der Sehstrahl des Berührungspunktes tangiert den betr. Meridian und enthält die Spitze des Tangentialkegels, der dem betreffenden Parallelkreis zugehört. Wird also ein Sehstrahl o (durch S) um die Achse a bis in die Bildebene gedreht, so schneiden die zum gedrehten Sehstrahle o parallelen Tangenten des Hauptmeridians m die Achse in den Bildern und W, des höchsten und tiefsten Umrißpunktes. Die bezüglichen Tangenten von u, werden als Bilder der entsprechenden Parallelkreistangenten leicht bestimmt. B. 8 In den Schnittpunkten des Umrisses u mit dem Hauptmeridiane m steht die den Sehstrahl enthaltende Tangentialebene auf der Bildebene senkrecht und folglich ist die Tangente von m parallel zum Aufriß o"; hieraus werden die genannten Punkte gefunden. An vier Stellen wird der Umriß u von Sehstrahlen berührt, die Haupttangenten der Fläche bilden; den Berührungspunkten entsprechen Spitzen des scheinbaren Umrisses und beim Bilde u seines Grundrisses die Berührungspunkte der zu o, (also zu a) parallelen Tangenten. Diese Bemerkung dient zur Auffindung der vier Spitzen, falls genügend viele Punkte von u, und u bekannt sind. 8 8 8 8 v Um die Lichtgrenze v auf unserer Fläche zu finden, wenden wir wiederum das Kegelverfahren an, setzen aber an Stelle der Sehstrahlen o die Lichtstrahlen 7; im Prinzip wird hierdurch nichts geändert. Das Bild der Lichtgrenze berührt den scheinbaren Umriß u an zwei Stellen; die Berührungspunkte sind aus den Schnittpunkten von u ́ und v ́ abzuleiten (in der Figur ist nicht eingetragen). Sind hinreichende Punkte der Lichtgrenze v im Bilde und Grundrißbilde bestimmt, so findet man leicht die Bilder ihrer Schatten auf П, und damit die Schlagschattengrenze. Wir haben nur nötig, von den Grenzen des Schlagschattens des Körpers auf sich selbst zu sprechen. An die Lichtgrenze setzen sich in den Punkten, wo sie von Lichtstrahlen berührt wird, in der Richtung derselben Schlagschattengrenzen an. z. B. HJ; das Bild des Ansatzpunktes ist der Berührungspunkt von u, mit einer zu 1 parallelen Tangente. Der Endpunkt J auf dem von F beschriebenen Kreise entspricht dem Schnittpunkte J des Kreisschattens mit der Kurve ; die Schlagschattentangente in J ist zur Tangente von in parallel. Der untere Rand der cylindrischen Deckplatte wirft auf den mittleren Teil unseres Körpers Schatten; seine Begrenzung endigt in den Punkten von v, die den Überschneidungen von v mit dem Randschatten in П, entsprechen (K und K1) und besitzt daselbst zu 7 parallele Tangenten. Der höchste Punkt des Randschattens wird bestimmt, indem man die zum Lichtstrahl parallele Meridianebene in die Bildebene umdreht und den mitgedrehten Lichtstrahl durch den Randpunkt D1 mit dem Hauptmeridian schneidet; hierauf ist die der Rückwärtsdrehung entsprechende Konstruktion auszuführen. 8 * J * Das Verfahren der orthogonalen axonometrischen Projektion. 842. Die darzustellende räumliche Figur denken wir uns mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem verbunden und auf seine drei Ebenen П1, П, П, durch senkrechte Projektion bezogen. Das Ganze, die Raumfigur mit dem Koordinatensystem, projizieren wir senkrecht auf die Bildebene ПT, von der wir annehmen, daß sie keiner Koordinatenebene parallel sei. Welches die zweckmäßigste Lage des Koordinatensystems gegen das Objekt ist, entscheidet sich nach dessen geometrischen Eigenschaften. Man wird die Achsen den wichtigsten Linien des Objektes parallel legen und etwa vorhandene Symmetrieebenen als Koordinatenebenen benutzen. Bezüglich der Bezeichnungen mag für unser gegenwärtiges Verfahren folgendes verabredet werden. Wir werden die Elemente der Originalfigur und ihre axonometrischen Bilder mit den gleichen Buchstaben benennen. Zur Unterscheidung beider aber setzen wir die Symbole, die das Original betreffen in Klammern. Es bedeuten also z. B. P, P', P", P"" die Bilder eines Punktes und seiner drei senkrechten Projektionen auf TT,, П, П; der Originalpunkt heißt dagegen (P). Ebenso sollen g, g', g′′, g"" die Bilder einer Geraden und ihrer drei Risse, dagegen (g) die Gerade selbst bezeichnen, u. s. f. Die von Punkten des Originales nach ihren Bildern führenden Strahlen nennen wir wieder .Sehstrahlen. 843. Vom Ursprung (0) seien auf den Koordinatenachsen drei Strecken (OX), (OY), (OZ) von der gleichen Länge k abgetragen; sie bilden das Achsenkreuz und um dessen Abbildung handelt es sich zuerst. Die genannten Strecken, die drei Kanten eines Würfels bilden, erscheinen im Bilde verkürzt mit den Längen heißen die Verkürzungsverhältnisse und stellen für jede in der betreffenden Achsenrichtung gezogene Strecke das Verhältnis der Bildlänge zur wahren Länge dar. Sind a, ß, y die Neigungswinkel der Koordinatenachsen gegen die Bildebene, also auch gegen ihre Projektionen, so hat man: Die Zahlen l, m, n heißen die Verhältniszahlen; nach 148 erfüllen sie die Beziehung folgt. Die Spurpunkte A, B, C der Koordinatenachsen in der Bildebene bestimmen das Spuren dreieck ABC; seine Seiten sind die Spurlinien der Koordinatenebenen; die Bilder der Achsen verlaufen durch seine Ecken bezw. rechtwinklig zur gegenüberliegenden Seite und treffen sich im Bilde O des Ursprungs (O). 844. Ist das Spurendreieck ABC gegeben (Fig. 522) und wird hinzugefügt, auf welcher Seite der Bildebene der Ursprung (0) liegen soll, so ist die Lage des Koordinaten systems gegen die |