achse a enthält und auf dem Grundriß o jedes Sehstrahles o senkrecht steht. Man findet die ersten Spurpunkte B und C der fraglichen Mantellinien als Endigungen des zu o' senkrechten Durchmessers von k. Zieht man durch B und C Parallelen zu o', bestimmen diese auf der r-Achse Punkte der scheinbaren Umriẞlinien des Cylinders. Letztere stehen senkrecht zu dieser Achse und berühren die Ellipse k, in den Punkten B und C; die Durchmesser BC und BC von k, resp. k sind affin. BC, und der zu x senkrechte Durchmesser von k, sind konjugiert.

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18

8

8

8

18

8

Um den Schnitt des Cylinders mit einer durch die Linien e, und e, bestimmten Ebene E darzustellen, ziehe man durch A parallel zu e1, das Grundrißbild g, einer in E gelegenen Streichlinie g, welche die Cylinderachse a im Mittelpunkte M der Schnittellipse trifft. Man findet G2 aus Ggxx, hierdurch 9. || 9, und dann Mg, X a.. Sei F der Fußpunkt des aus 4 auf e gefällten Lotes und F1, auf e1, sein Bild, so ist 4F1 = f das Grundrißbild einer Falllinie in E, die durch M geht, und MF, ihr Bild. Die Linien f und g sind die Achsen der Schnittellipse, f, und 9. konjugierte Durchmesser ihres Bildes; ihre Endpunkte werden mit Hilfe des Grundrisses gewonnen. Die wahre Gestalt der Schnittkurve erhält man durch ihre Umlegung in die Bildebene Bei der Ausführung fällt man zuerst von M das Lot MM" auf П1⁄2 (im Bilde MM") und zieht durch M" die Normale zu ez; ihr Schnittpunkt M° mit einem über dem Durchmesser FG, geschlagenen Kreise bildet die Umlegung von M (L F2M°G2 wenn Fund G, die auf e, gelegenen Spurpunkte von fund g bedeuten. Zwischen der umgelegten Ellipse und ihrer schiefen Projektion besteht Affinität: die Achse ist es, M° und M, sind ein Paar affiner Punkte. Diese Angaben genügen zur Durchführung der Konstruktion.

um €2.

2

R),

Um Eigen- und Schlagschatten des Cylinders für Parallelbeleuchtung zu bestimmen, denke man sich einen (etwa die Cylinderachse treffenden) Lichtstrahl durch sein Bild und das Bild seines Grundrisses gegeben. Die Lichtgrenze auf dem Cylinder besteht aus zwei Mantellinien, deren Bilder das Bild k des Grundkreises in den Endpunkten des zu konjugierten Durchmessers treffen; die Bilder der Schattengrenzen im Grundriß sind die in diesen Punkten an k, gezogenen Tangenten, also parallel zu ', u. s. f. Die Schattenkonstruktion ist in die Figur nicht eingetragen.

833. Darstellung eines geraden Kreis kegels, dessen Grundkreis in П, liegt (Fig. 512). Die Abbildung des Grund

kreises k (Centrum 4) wird genau wie bei der vorigen Aufgabe erhalten. Der wahre Umriß des Kegels für die schiefe Projektion besteht aus den beiden Mantellinien, die in der Polarebene des durch die Spitze S gezogenen Sehstrahles o liegen. Sei S, der erste Spurpunkt desselben; die ersten Spurpunkte B und C jener Mantellinien findet man dann auf der Polare von S in Bezug auf k. Er S1

8

Fig. 512.

entspricht dem Bilde S, der Spitze ebenso durch Affinität wie A dem Punkte 4. Zieht man die Linien SB und SC, welche den Kreis k berühren, so schneiden sie auf der z-Achse Punkte der scheinbaren Umriẞlinien des Kegels aus. Letztere berühren das Bild k, des Grundkreises in den zu B, C affinen Punkten B, C.

Zur Bestimmung der Eigen- und Schlagschattengrenzen werde durch die Spitze S des Kegels ein Lichtstrahl gezogen und sein Spurpunkt in П, durch S, sowie dessen Bild durch S, bezeichnet.

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8 8

8

Die für als Polstrahl des Kegels bestimmte Polarebene enthält die Mantellinien SD und SE, aus denen die Lichtgrenze auf dem Kegel besteht. Die Sehne DE der Ellipse k bildet also die Polare des Punktes S, und die Tangenten SD, SE, begrenzen im Bilde den Grundrißschatten. In der Figur erscheint derselbe an der r-Achse gebrochen und im Aufriß fortgesetzt. Die Vertikale durch den Punkt xx trifft 7 in dem Schatten S* der Spitze S auf П. Die Konstruktion gilt gleichmäßig für parallele oder centrale Beleuchtung; im Falle der letzteren verbindet der Lichtstrahl den leuchtenden Punkt L mit der Spitze S.

834. Um in schiefer Projektion die Abbildung einer auf der Grundrißebene П, liegenden Kugel mit ihren Eigen

und Schlagschattengrenzen (für parallele Lichtstrahlen) zu erhalten, denkt man sich am einfachsten die Bildebene П, durch den Kugelmittelpunkt M gelegt (Fig. 513). In dieser ziehen wir zwei Durchmesser, den vertikalen AB und den horizontalen CD, und bilden den auf П, senkrechten Durchmesser EF als EF, ab. Die Kugel schneidet die Ebene П, in dem Hauptkreise m = ADBC und berührt П, in dem Punkte A. Die durch EF horizontal bezw. vertikal gelegten

ROHN u. PAPPERITZ. II.

25

8

8

=

Ebenen schneiden die Kugel in zwei weiteren Hauptkreisen n und k, deren Bilder als Ellipsen mit den konjugierten Durchmessern CD und EF, resp. AB und EF bestimmt werden. Der wahre Umriß der Kugel für die schiefe Projektion ist ein Hauptkreis a, dessen Ebene auf dem Sehstrahl o senkrecht steht; sein Bild oder der scheinbare Umriß ist eine Ellipse u, deren Achsen NO und PQ, direkt bestimmt werden können. Denn die Sehstrahlenebene durch EF schneidet П, senkrecht in EF, und enthält den Durchmesser PQ von u, dessen Bild auf die Gerade EF fällt; der zu PQ rechtwinklige Durchmesser NO von u liegt in der Bildebene П, und zwar rechtwinklig zu EF, also auch zum Bilde PQ, Legt man die gedachte Sehstrahlenebene um EF in П2 nieder, so fällt E mit N zusammen; o, NE, ist ein umgelegter Sehstrahl, die Umlegung Po von PQ ist rechtwinklig zu o, und PP. Für die gesuchte Halbachse der Ellipse u, gilt auch: MP, NE, denn die Dreiecke NE M und MPP sind kongruent, und folglich sind E und F die Brennpunkte von u̟. Die Umrißellipse u berührt die Bilder der drei Hauptschnitte k, m, n in je zwei diametral gegenüberliegenden Punkten, ihre Tangenten sind in diesen Punkten resp. parallel zu x, y, und z, da die geraden Kreiscylinder durch k, m, n die Kugel berühren und folglich Gleiches für ihre Umrisse gilt. Die Lichtgrenze auf der Kugel ist der Hauptkreis v. dessen Ebene senkrecht zur Lichtstrahlrichtung steht. Sein Bild, die Ellipse v, bestimmt man aus zwei konjugierten Durchmessern, denen rechtwinklige des Kreises v entsprechen. Wir ziehen einen Lichtstrahl / durch das Kugelcentrum M und bestimmen seinen Spurpunkt M in П,, sowie dessen Bild M. Zwei rechtwinklige Durchmesser, UT und XY, von v finden sich in der Bildebene selbst und in der senkrecht zu ihr durch 7 gelegten Ebene. U ist rechtwinklig zu 7". Legt man 7 um 7" nach 1o in die Bildebene um, so gelangt MX in die zu 10 rechtwinklige Lage MX (1° MM°, M"M° M‚"M und MM"). Man findet demnach MX, aus der Bemerkung, daß die betrachtete Figur sowohl zu ihrer Umlegung als auch zu ihrem Bilde affin liegt und zwar beide Male in Bezug auf die Achse "; es sind also auch Umlegung und Bild, z. B. M° und M, X° und Xaffin. Sind die konjugierten Durchmesser UV und XY von ɛ, bestimmt, so werden auch die Bilder der zugehörigen Grundrißschatten leicht gefunden (vergl. 830); sie bilden konjugierte Durchmesser der Ellipse, also des Bildes der Schlagschattengrenze in П. — Ein zweites Verfahren zur Darstellung der Eigenund Schlagschattengrenzen der Kugel geht von den rechtwinkligen

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*

Durchmessern GH und JK des Kreises v aus, von denen der erste in der horizontalen Diametralebene, der andere in der senkrecht zu ihr durch gelegten Ebene gefunden wird (JK). Der Grundriß AG' des Halbmessers MG ist senkrecht zu MA zu ziehen und ergiebt. sofort G, und G. Legt man ferner die Ebene JMM durch Drehung um AB in die Bildebene um, wobei M in MA auf x übergehen mag (AM = AM), so nimmt J die Lage J auf dem Kreise ADBC ein, für welche MJA MMA ist und das Bild J entspricht dem Punkte JA ebenso wie M dem Punkte MA durch Affinität in Bezug auf die Achse AB. Was die Bilder der Grundrißschatten der Durchmesser GH und JK betrifft, so ist G# G ̧H ̧ und JK liegt auf (JJ|| KK ||). Die Ellipsen v, und v sind perspektiv-affin; die Achse ist durch den Schnittpunkt JK × 1 parallel zu GH ̧ zu ziehen.

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835. Wir geben im folgenden Darstellungen der Flächen 2. Grades in schiefer Projektion, indem wir ihre Achsen, bezw. die in ihren Symmetrieebenen

gelegenen Hauptschnitte als bekannt voraussetzen (vergl. 666).

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Ein Ellipsoid sei durch seine Halbachsen OX, OY, OZ gegeben, von denen wir OX und OZ in der Bildebene selbst annehmen, während OY durch das Bild OY (nach Annahme eines bestimmten Verkürzungsverhältnisses) fixiert wird (Fig. 514). Es sind dann OY, und OZ, OZ und OX, OX und OY Paare konjugierter Durchmesser für drei Ellipsen l, m, n, welche die Hauptschnitte des Ellipsoides darstellen. Der wahre Umriß u des Ellipsoides liegt in der zur Sehstrahlrichtung konjugierten Diametralebene; der scheinbare Umriß u, ist ebenso wie die Ellipsen l, m, n, aus konjugierten Durchmessern bestimmt, die nach 691 gefunden werden. In den Endpunkten der zu x, y, und z konjugierten Durchmesser berührt die Ellipse u die Ellipsen 1, m, n, woraus die Berührungspunkte auf

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Fig. 514.