rechte Projektion bezogen. Das Ganze, die Raumfigur mit ihrem Grundriß, wird der schiefen Projektion unterworfen. Die Bildebene lassen wir mit der Aufrißebene П, zusammenfaller. Den Grundriß denken wir uns durch seine Umlegung in die Bildebene П2 gegeben. Die Geraden, welche auf den Ebenen П, M und П resp. senkrecht stehen, bezeichnen wir, wie früher, als erste, zweite und dritte projizierende Strahlen; zum Unterschiede von ihnen nennen wir die schiefprojizierenden Strahlen kurz Sehstrahlen.

2

Wählen wir in der vertikalen Bildebene П, den Ursprung 0, ziehen die positive -Achse horizontal nach rechts und denken uns die positive y- und z-Achse nach vorn, bezw. nach oben gerichtet, so ist die Lage des Koordinatensystems gegen die Bildebene bestimmt. Die Richtung der Sehstrahlen legen wir fest, indem

ལ

Fig. 497.

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wir von einem gegebenen Punkte der Grundrißebene П, den Bildpunkt angeben. Ersteren wählen wir etwa auf der y-Achse und markieren ihn (umgelegt um x) als 0,; letzteren nehmen wir als 0, derart an, daß das Bild y = 00, der y-Achse gegen r und z geneigt ist. 0, und 0, sind die Spurpunkte eines Sehstrahles o in П, und П. Es sei noch 0, der Grundriß des Punktes 02 und die Umlegung

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von 0, um y; dann ist o' 0,0 der Grundriß des Sehstrahles o, ferner o"

des Grundrisses, o" =

=

2

2

00, sein Aufriß, o, = 0,0, das Bild 0,0° die Umlegung um o" und folglich ∞ = 40,0,0

die Neigung der Sehstrahlen gegen die Bildebene. Die Größe

00 cotg = 00,

giebt für jede Normale zur Bildebene (y-Koordinate) das Verhältnis ihres Bildes zu ihrer wahren Länge an. Meist wird > 45° angenommen; dann ist cotg <1 und heißt das Verkürzungsverhältnis. Das Dreieck 000, oder irgend ein zu ihm ähnliches

und ähnlich gelegenes heißt (nach v. Peschka) ein Projektionsdreieck. Die schiefe Projektion ist bestimmt durch Angabe der Projektionsachse a und irgend eines Projektionsdreieckes (z. B. 00102).

Das Verkürzungsverhältnis cotg o wählt man gern gleich einer rationalen Zahl, etwa 1/2, 13, 2/3, u. s. f., um aus der Zeichnung eines Objektes leicht die Maße seiner in der y-Richtung verlaufenden Kanten entnehmen zu können. Außerdem sucht man die Konstruktion durch passende Wahl des Projektionsdreieckes zu vereinfachen, dessen eine Seite (00) stets rechtwinklig zur x-Achse liegt. Sehr bequeme Konstruktionen ergeben sich, wenn man in dem Dreieck 000, die bei 0, 0, 0, liegenden Winkel, resp. gleich 60o, 30°, 90° macht; dabei ist cotg w Die unter den Namen ,,Kavalierperspektive" und ,,Vogel- oder Militärperspektive" bekannten Arten der schiefen Projektion benutzen meist die ebenfalls bequeme Annahme: 45°, cotg = 1, 40,00 ∞ = = 45. Bei ersterer denkt man sich die Bildebene vertikal, bei letzterer horizontal; man trägt also an die Aufrisse, resp. Grundrisse der darzustellenden Punkte ihre bezüglichen Tafelabstände selbst in vorgeschriebener Richtung an.

Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen in

schiefer Projektion (vergl. 35—55).

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8

8

In

819. Ein Punkt P wird durch sein Bild P und das Bild P seines Grundrisses P' bestimmt; die Punkte P, und P' liegen in einer zur x-Achse senkrechten Geraden. der That: die Strecke PP, das Bild des ersten Tafelabstandes P'P, ist diesem gleich und parallel, folglich senkrecht zu r; die aus P und Р' auf П1⁄2 gefällten Lote PP" und P'P, haben gleiche und zu y, (oder 00) parallele Bilder PP" und PP. Demnach findet man aus P und P zuerst P, auf der x-Achse, dann P" als vierte Ecke des Parallelogramms PPPP" und schließlich P' auf der Vertikalen P'P, indem man P'P' parallel zu der Seite 0,0, des Projektionsdreieckes zieht. Sind umgekehrt P', P" und damit P gegeben, so ergiebt sich zuerst P als Schnittpunkt der Parallelen zu 0,0, und 00, durch P' resp. P und hierauf P als vierte Ecke des Parallelogramms P"PPP (Fig. 497).

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8

x

820. Eine Gerade g wird durch ihr Bild g, und das Bild g ihres Grundrisses g' bestimmt; die Geraden g, und g, können willkürlich angenommen werden (bis auf eine Ausnahme, siehe unten). Die Ebene der Sehstrahlen durch g, schneidet П, in g'; die Ebenen, welche durch g' senkrecht zu П, und durch g, parallel zum Sehstrahl gelegt sind, schneiden sich in der Geraden g.

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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18

8

2

Der Schnittpunkt G1 = 9, × 9, ist das Bild des ersten Spurpunktes G1; der Schnittpunkt G2 = 9 × x bildet den Grundriß des zweiten Spurpunktes; der zweite Spurpunkt G, selbst liegt auf 98 in der Vertikalen durch G (Fig. 498). Aus G1, leitet man G1" auf x und G1 ab (G1,G," || 0,0, G ̧”G1 1x, G1,G1 || 0,01) und erhält hieraus g' GG, und g" G,"G2. Man beachte, daß g und geine vertikale Ebene bestimmen, deren Spur in der Bildebene П, die Gerade GG ist. Umgekehrt kann man leicht aus dem Grundriß g' und Aufriß g" einer Geraden g oder aus den beiden Projektionen zweier ihrer Punkte die Bildgeraden g, und g, finden,

=

was keiner Erläuterung bedarf. Das Bild eines Sehstrahles o ist sein Spurpunkt 0, in der Bildebene, das Bild o seiner ersten Projektion ist senkrecht zur x-Achse. Das Bild einer (zu П1) senkrechten Geraden h ist rechtwinklig zur r-Achse; ihr Grundriß und sein Bild reduzieren sich auf die Punkte H, resp. H Sieht man von diesen beiden Spezialfällen ab und nimmt man eine der Geraden, oder i zur x-Achse rechtwinklig an, so muß die andere in demselben Punkte auf der r-Achse senkrecht stehen: denn die Sehstrahlenebene durch die eine Gerade steht dann senkrecht auf П, und enthält folglich auch die andere. Demnach folgt hieraus für die Gerade i nur, daß sie in einer bestimmten zum Sehstrahl und der z-Achse parallelen Ebene liegt; um i vollständig zu bestimmen, bedarf es weiterer Angaben (Spurpunkte).

$21. Eine Ebene E wird durch ihre Spurlinie e, in der Bildebene und das Bild e,, ihrer ersten Spurlinie e, dar

=

gestellt, die sich im Achsenschnittpunkte EEX x treffen (Fig. 499). Die Sehstrahlenebene durch els schneidet П, in e1 und hierauf ergiebt sich E als Verbindungsebene ee2. Enthält E die Richtung der Sehstrahlen, so

ལ

822. Die in 56-78 für orthogonale Projektion entwickelten Sätze über die vereinigte Lage von Punkten, Geraden und Ebenen, über ihre Verbindungs- und Schnittelemente und den Parallelismus können ohne Schwierigkeit auf den Fall der schiefen Projektion übertragen werden. Auch die Lösung der dort behandelten Aufgaben vollzieht man in unserem jetzigen Verfahren in analoger Weise, wie an einigen Beispielen gezeigt werden mag. Man hat dabei namentlich den folgenden Satz zu beachten: Das Bild einer ebenen Figur & ist zu dem Bilde ihres Grundrisses' affin und affingelegen. Die Affinitätsachse ist das Bild e, der ersten Spur e, der Ebene von ; die Affinitätsstrahlen sind rechtwinklig zur x-Achse. In der That sind und durch senkrechte Strahlen aufeinander und beide durch die Sehstrahlen auf &, und & resp. affin bezogen. Parallelen Geraden in der Originalfigur & entsprechen also Parallelen in ', die sie in Punkten von e, schneiden; die ihnen in &, resp. entsprechenden Geraden sind wiederum Parallelen und treffen. sich in Punkten der Linie el

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8

Um die Spurlinien einer durch drei Punkte A, B, C gegebenen Ebene E darzustellen, verbinde man die Bilder A, B, C, dieser Punkte und ebenso die Bilder A, B, C ihrer Grundrisse

paarweise durch gerade Linien a, b, c,, a, b, c, (Fig. 500). A1 = a, a ist das Bild des ersten Spurpunktes der Geraden a = BC, ihr zweiter Spurpunkt A, liegt auf a, senkrecht über

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axx, u. s. f. Die Spurlinie e verbindet die Punkte A, B, C die Linie e, die Punkte A1, B1, C. In der Figur ist das Bild der dritten Spur mitgezeichnet (vergl. 67).

Den Schnittpunkt P einer Geraden k mit der Ebene E = ABC bestimmt man in folgender Weise (vergl. 72). Schneidet die Vertikalebene kk' die Ebene E in der Geraden i, so fällt i mit k zusammen. Senkrecht über den Schnittpunkten von k, mit den Seiten des Dreieckes A B C findet man daher auf den homologen Seiten des Dreieckes ABC, Punkte der Geraden ¿, welche k in P trifft. P ist das Bild des gesuchten Punktes Pk x E; das Bild P seines Grundrisses liegt senkrecht darunter auf k'.

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Diese Beispiele mögen genügen.

823. Um in schiefer Projektion diejenigen Grundaufgaben zu lösen, die sich auf die rechtwinklige Stellung von Geraden und Ebenen, auf die Bestimmung von Abständen und Winkeln und der wahren Gestalt ebener Figuren beziehen, ist es nötig, auf das Verfahren der Umlegung in die Bildebene und der Drehung um eine Tafelparallele einzugehen (vergl. 79—103),