2 4 Fläche. Die Schnittpunkte h, X s oder N1 N sind reell und liegen auf l'"'; N,"N," ist eine reelle Achse von l' und 'N' eine reelle Achse von l' (NF von l' (NF1 = PX, N1G2 = PX, N1G1 = PX1). Die imaginären Punkte h2s liegen auf "; ihre reellen Projektionen S''', S," auf die x-Achse sind die Endpunkte einer reellen Achse von 7"" (OF2 : OX = OP: OS"); ihre imaginären Projektionen auf die z-Achse sind die Doppelpunkte einer Involution, deren Gleichpunkte T, T die Endpunkte der imaginären Achse von l' sind (OF2: OZ = OR: OT"). Die imaginären Punkte h, xs, liegen auf l'; ihre imaginären Projektionen auf die y-Achse bestimmen eine Involution mit den Gleichpunkten U'', U", welche die imaginäre Achse von "" begrenzen (OF: OYOQ: OU""); ihre imaginären Projektionen auf die z-Achse bestimmen eine Involution mit den Gleichpunkten ", ", welche die imaginäre Achse von " begrenzen (OF: OZ = OR : OV”). VIERZEHNTES KAPITEL. Schiefe und orthogonale axonometrische Projektion. Allgemeines. 814. Neben dem Grund- und Aufrißverfahren werden zur Darstellung räumlicher Gebilde zwei andere, ebenfalls auf der Parallelprojektion beruhende Methoden angewandt: die schiefe und die orthogonale axonometrische Projektion. Beide bedienen sich nur einer einzigen Bildebene und unterscheiden sich hierdurch wesentlich von unserer bisherigen Methode. Da nämlich ein geometrisches Gebilde durch eine Parallelprojektion noch nicht bestimmt wird, so müssen zum Ersatz für die fehlende zweite Projektion gewisse Angaben gemacht werden, die uns von dem ebenen Bilde des Objektes auf seine Gestalt, Größe und Lage zurückschließen lassen. Zu diesem Zwecke denkt man sich zumeist1 das Objekt auf ein Koordinatensystem bezogen, fixiert dessen 1 Die Benutzung eines Koordinatensystems kann vermieden und der oben angedeutete Zweck auf anderem Wege erreicht werden. Dies geschieht z. B. in der,,freien schiefen Projektion" (v. Peschka, 1877). Lage zur Bildebene und giebt außer der Abbildung des Gegenstandes die des Koordinatensystems oder hinreichender Bestimmungsstücke desselben an. Wir betrachten nur rechtwinklige Koordinatensysteme. Ein solches wird gebildet von drei zu einander senkrechten Ebenen П1, П, П, den Koordinatenebenen, nebst ihren ebenfalls zu einander rechtwinkligen Schnittlinien T1 X π1, y = π1 × π2, y = П1⁄2 × π3, 17 z= 19 2 3 = П2 × П, den Koordinatenachsen, und dem ihnen gemeinsamen Anfangspunkt oder Ursprung 0. Die drei Ebenen П, П, П werden wir, wie früher, als Grundriß-, Aufriß- und Seitenrißebene bezeichnen. Unter den Koordinaten x, y, z eines Punktes versteht man seine parallel zu den gleichbenannten Achsen genommenen und mit bestimmten Vorzeichen versehenen Abstände von den Koordinatenebenen (vergl. 42, 43, 44). Fügt man, vom Ursprung O beginnend, die Koordinaten eines Punktes in irgend einer Reihenfolge und in den gehörigen Richtungen aneinander, so entsteht ein Koordinatenzug, der in dem betreffenden Punkte selbst endigt. Ist nun die Parallelprojektion der drei Koordinatenachsen gegeben und für jede derselben das Verhältnis einer auf ihr abgetragenen Strecke zu ihrer Bildstrecke bekannt, so kann nach den Grundgesetzen der Parallelprojektion (vergl. 5, 6) jeder Koordinatenzug und folglich jeder durch seine Koordinaten gegebene Punkt abgebildet werden. Das Verfahren, die Parallelprojektion einer Raumfigur durch die der Koordinaten ihrer Punkte zu bestimmen, heißt Axonometrie. 815. Die axonometrische Projektion eines gegebenen Objektes unterstützt die räumliche Vorstellung desselben in höherem Maße als eine Grund- und Aufrißzeichnung, und steht in Bezug auf Anschaulichkeit bei Gegenständen von geringer Ausdehnung der centralperspektiven Darstellung, welche unsere Gesichtseindrücke am vollkommensten wiedergiebt, nur wenig nach. Dabei ist sie leichter zu entwerfen, als eine Perspektive und gestattet eine einfachere Entnahme der Maße des Gegenstandes aus seiner Zeichnung. Sie eignet sich zur Darstellung solcher Raumfiguren, die (wie z. B. Krystallformen) mit Bezugnahme auf ein Koordinatensystem in einfacher Weise definierbar sind. Namentlich aber bildet die axonometrische Projektion das bequemste Verfahren beim Skizzieren von architektonischen Gegenständen, Maschinenelementen, wissenschaftlichen und technischen Apparaten, weil die Kanten solcher Objekte vorzugsweise nach drei aufeinander senkrechten Richtungen (nach der Breite, Höhe und Tiefe) verlaufen. Man findet sie darum in wissenschaftlichen und technischen Werken häufig für die erläuternden Textfiguren angewandt, und so ist sie auch in diesem Lehrbuche bereits an verschiedenen Stellen stillschweigend benützt worden, wo es sich darum handelte, räumliche Gebilde in Ermangelung von Modellen durch eine Zeichnung der Anschauung näher zu bringen. 816. Die axonometrische Projektion wird nach Annahme eines festen Koordinatensystems durch die Stellung der Bildebene zu diesem und die Richtung der projizierenden Strahlen bestimmt. Das allgemeinste Verfahren ergiebt sich, wenn man die projizierenden Strahlen gegen die Bildebene und beide gegen die Koordinatenachsen geneigt annimmt. In dieser Form wird aber die axonometrische Projektion nur selten angewandt. Der ihrer Einführung zu Grunde liegende Zweck, den ebenen Bildern der Objekte eine größere Anschaulichkeit zu geben, als es das Grund- und Aufrißverfahren vermag, wird schon durch speziellere Annahmen erreicht und unter ihnen zieht man natürlich diejenigen vor, welche möglichste Einfachheit der Konstruktion gewähren. Bei ihrer Auswahl hat man darauf zu achten, daß keine der wichtigeren. Kanten und Seitenflächen des darzustellenden Gegenstandes durch einen bloßen Punkt, resp. durch eine Gerade dargestellt werde. Demgemäß darf man die projizierenden Strahlen weder zu einer Koordinatenachse, noch zu einer Koordinatenebene parallel annehmen. Es sind vornehmlich zwei Verfahren, die den gestellten Anforderungen entsprechen und ausgedehntere Anwendung finden. a) Man wählt die Bildebene parallel zu einer Koordinatenebene oder läßt sie mit ihr zusammenfallen und führt eine schiefe Projektion aus. Dies bietet den Vorteil, daß zwei Koordinaten eines jeden Punktes sich in ihrer wahren Länge und Richtung abbilden. Die dritte Koordinate wird in einer schrägen Richtung und meist in einem bestimmten Verhältnis verkürzt dargestellt. Das nach diesem Verfahren entworfene Bild eines Objektes wirkt nur dann anschaulich, wenn man es aus großer Entfernung und annähernd in der Richtung der projizierenden Strahlen betrachtet. Seltener als diese Art der schiefen Projektion wird eine solche angewandt, bei welcher die Bildebene durch die vertikale Achse z (aber gegen und y geneigt) und dann am einfachsten rechtwinklig zur Sehstrahlenebene durch z gelegt ist. Dieses Verfahren, auf das wir nicht näher eingehen, gewährt weniger einfache Konstruk tionen. Die nach ihm entworfenen Bilder geben aber bei gerader Gegenüberstellung des Beschauers anschauliche Wirkung (mit Obersicht), ähnlich wie bei dem folgenden Verfahren. 6) Man wählt die Bildebene gegen alle drei Koordinatenachsen geneigt und führt eine senkrechte Projektion aus. Diese unter ) und ) angeführten beiden Methoden bezeichnet man zumeist schlechthin als schiefe Projektion, bezw. als axonometrische Projektion; wir werden in der Folge beide Namen ebenfalls in dieser engeren Bedeutung gebrauchen. Ehe wir aber die beiden Methoden im einzelnen besprechen, wenden wir uns zum Beweise eines Satzes, der für die allgemeine axonometrische Projektion von grundlegender Bedeutung ist. 817. Trägt man vom Ursprung 0 aus auf jede der drei Koordinatenachsen x, y, z in positiver Richtung eine und dieselbe Strecke k, resp. bis zu den Punkten A, B, C ab, so entsteht eine Figur OABC, die wir als ein rechtwinklig-gleichschenkliges Achsenkreuz bezeichnen wollen. Von der Abbildung eines solchen Achsenkreuzes durch schiefe Projektion gilt der folgende Satz (Pohlke, 1860): Irgend drei in einer Ebene П aus einem Punkte 0, (in beliebiger Richtung und Länge) gezogene Strecken 0,4, OB, OC bilden die schiefe Parallelprojektion eines rechtwinklig-gleichschenkligen Achsenkreuzes OABC. 8 8 Man kann den Satz noch allgemeiner aussprechen, indem man die Annahme, daß die Strecken OA, OB, OC gleich lang und zu einander rechtwinklig sein sollen, fallen läßt: Die schiefe Parallel projektion eines gegebenen Tetraeders OABC auf eine Ebene П kann stets so bestimmt werden, daß das Bild 0,4BC einem gegebenen Viereck 0,4,B,C ähnlich wird. 0 8 8 Man definiere zuerst durch wechselseitige Zuordnung der Dreiecke ABC und A,B,C, zwischen den Figuren ihrer Ebenen eine Affinität im weiteren Sinne (vergl. 16). Durch diese entspricht dem gegebenen Punkte 0, der zweiten Ebene ein bestimmter Punkt O, der ersten, den man nach 18 konstruiert (D = 40 × B ̧Ñ... D= 401 × BC, BD: DC = BD: DC, 401:0,D = 40:0 ̧D). Der Strahl 00, giebt in Bezug auf das Tetraeder OABC die gesuchte Richtung der projizierenden Strahlen an. Man lege nämlich eine Hilfsebene П' normal zu 00, und bezeichne die senkrechte 1 0 Projektion von ОABC auf П' durch O'A'B'C'. Nach 120 ist es möglich, ein zu ABC, ähnliches Dreieck zu finden, dessen senkrechte Projektion auf П' mit A'B'C' übereinstimmt. 8 ABC, ein solches Dreieck, so genügt das zu ihm in Bezug auf П' symmetrisch gelegene der nämlichen Forderung und außerdem jedes Dreieck, das aus ihnen durch Parallelverschiebung in der zu ПT' senkrechten Richtung hervorgeht. In jeder dieser Lagen bildet das Dreieck A,B,C, zugleich eine schiefe Parallelprojektion von ABC. Entspricht aber in der Figur 04BC der Punkt 0, dem Punkte 0 durch die Ahnlichkeit mit 0,4,BC, so entspricht er auch durch die genannte Parallelprojektion dem Punkte 0, und folglich 0; denn die Figuren 04.BC und 0,ABC sind beide im weiteren Sinne affin zu 0,4,B.C.. bracht. Von den Punkten 0,, A., Bo, Co dürfen offenbar höchstens drei in gerader Linie und höchstens zwei vereinigt liegen. 8 8 8 Bs Fig. 496. Bo Co Hierdurch ist der Beweis er Um also eine axonometrische Parallelprojektion zu definieren, darf man in einer Ebene П die Bilder der Schenkel eines beliebig gegebenen Achsenkreuzes nach ihren Richtungen und Längenverhältnissen willkürlich annehmen. Hierdurch ist (in Bezug auf das Achsenkreuz) die Richtung der projizierenden Strahlen eindeutig, die Stellung der Bildebene П aber doppeldeutig bestimmt. Das Verfahren der schiefen Projektion. 818. Um eine räumliche Figur in schiefer Projektion darzustellen und zwar so, daß durch das Bild umgekehrt die Originalfigur bestimmt wird, denken wir uns das Original mit der Grundrißebene П, verbunden und auf diese durch senk |