und passieren dann in stetigem Übergange alle Flächen der Schar. Da nun zwei konfokale Flächen sich entweder gar nicht, oder rechtwinklig durchschneiden, so ist klar, daß die zu benachbarten Flächen der Schar ebenfalls Ellipsoide sind, von denen das eine ganz innerhalb, das andere ganz außerhalb liegt. So kann man von einerseits zu immer größeren, andererseits zu immer kleineren konfokalen Ellipsoiden gelangen. Das kleinste dieser Ellipsoide erhält man, wenn eine seiner Achsen, nämlich die z-Achse, gleich Null wird; dann reduziert sich das Ellipsoid auf den von f eingeschlossenen Teil der ry-Ebene. Durch jeden Punkt des Raumes geht ein zu konfokales Ellipsoid. Alle konfokalen Ellipsoide schneiden die yz- und die rz-Ebene in der Gesamtheit aller konfokalen Ellipsen mit den Brennpunkten F1, G1 resp. F, G2, dagegen die ry-Ebene nur in denjenigen konfokalen Ellipsen, die größer als f, sind.

Geht man jetzt zu der zu f, benachbarten konfokalen Ellipse über, die kleiner als f ist, so sind ihre Scheitel in der zz- und yz-Ebene zugleich die Scheitel zweier Hyperbeln mit den Brennpunkten F, G, resp. F, G1, die ganz in der Nähe der r-Achse, resp. y-Achse verlaufen. Die konfokale Fläche ist jetzt ein einschaliges Hyperboloid, das beim Grenzübergang in den außerhalb f liegenden Teil der ry- Ebene übergeht. Läßt man die konfokale Ellipse in der ry-Ebene immer kleiner werden, so bleibt die zugehörige Fläche ein einschaliges Hyperboloid; seine in der rz- und yz-Ebene liegenden Hyperbeln besitzen Asymptoten, deren Neigungswinkel gegen die - resp. y-Achse immer größer werden. Schließlich geht die konfokale Ellipse in der xy-Ebene in die Strecke FG3 und das zugehörige, einschalige Hyperboloid in den zwischen den beiden Ästen der Hyperbel f2 liegenden Teil der zz-Ebene über. Durch jeden Punkt des Raumes geht ein zu konfokales, einschaliges Hyperboloid. Diese Flächen schneiden die xy-Ebene in den konfokalen Ellipsen, die kleiner als f, sind, die yz-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F, G, und die az-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F, G, die innerhalb f liegen.

Wählt man weiter die zu f benachbarte, konfokale Hyperbel, die f einschließt, so sind ihre Scheitel zugleich die Scheitel einer Hyperbel in der ry-Ebene mit den Brennpunkten F, G, die in der Nähe der x-Axe verläuft. Die zugehörige, konfokale Fläche ist ein zweischaliges Hyperboloid, das von der yz-Ebene nicht geschnitten wird. Der Grenzübergang führt die beiden Teile dieser Fläche in zwei Teile der zz-Ebene über, welche je von einem Aste der Hyperbel f2 eingeschlossen werden. Läßt man die Scheitel der

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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konfokalen Hyperbel in der xz-Ebene immer näher gegen den Mittelpunkt O rücken, so werden ihre Asymptoten mit der z-Achse einen immer größer werdenden Winkel einschließen, und gleiches wird auch für die Hyperbeln in der ry-Ebene eintreten. Die zugehörige Fläche bleibt hierbei immer ein zweischaliges Hyperboloid. Rücken die genannten Scheitel dem Punkte O unendlich nahe, so werden auch die Hyperbeln in der xz- und xy-Ebene zwei in der Nähe der z- resp. y-Achse verlaufende Äste besitzen. Die beiden Schalen des Hyperboloides nähern sich der yz-Ebene immer mehr und fallen in der Grenzlage mit ihr zusammen. Durch jeden Punkt des Raumes geht auch ein zu konfokales, zweischaliges Hyperboloid. Diese Flächen schneiden die yz-Ebene nicht, die ry-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F, G, und die rz-Ebene in den Hyperbeln mit den Brennpunkten F2, G2, die außerhalb f, liegen.

Die konfokalen Flächen 2. Grades sind von dreierlei Art, nämlich Ellipsoide, einschalige und zweischalige Hyperboloide; durch jeden Raumpunkt geht je eine Fläche von jeder Art. Eine jede Fläche wird von den konfokalen Flächen der gleichen Art überhaupt nicht, von den Flächen. der beiden andern Arten aber in ihren beiden Systemen von Krümmungslinien geschnitten.

809. Die Projektionen der Krümmungslinien eines Ellipsoides auf seine Symetrie ebenen. Seien k und 7 zwei Krümmungslinien des Ellipsoides, von denen die erste auf einem einschaligen Hyperboloid , die zweite auf einem zweischaligen Hyperboloid X liegen mag. Die Kurven k und 7 sind als Schnittlinien zweier Flächen 2. Grades von der 4. Ord., ihre Projektionen auf die Symmetrieebenen sind Kegelschnitte, deren Punkte die Projektionen von je zwei Kurvenpunkten darstellen. Es fragt sich nun, in welcher Beziehung die Projektionen aller Krümmungslinien auf eine Symmetrieebene zu einander stehen, und wir werden sehen, daß sie eine Kegelschnittschar mit vier gemeinsamen, reellen oder imagi nären Tangenten bilden (362).

Wir wollen die Hauptschnitte des Ellipsoides in den Ebenen zy, yz, zx mit 83, S1, S2 respektive bezeichnen, dann schneiden sich s und der Fokalkegelschnitt f, in den vier reellen Kreis-, oder Nabelpunkten K1, K, K, K1 der Fläche (Fig. 492). In einem Kreispunkte. etwa K, sind je zwei konjugierte Tangenten zu einander normal. zwei derartige Tangenten seien u und v, und w sei die zugehörige Normale des Ellipsoides. Der Ebene vw wird durch die Fläche Y

ein Pol U auf u und der Ebene uw durch die gleiche Fläche ein Pol auf zugeordnet. Die Flächen und bestimmen einen Flächenbüschel, dem auch drei Cylinder mit zu den Achsen parallelen Mantellinien zugehören. Nach 678 müssen sich die Polarebenen von U, resp. V in Bezug auf alle Flächen des Büschels in v, resp. u schneiden. Denn die Polarebenen von U in Bezug auf und schneiden sich in v, die erstere muß nämlich durch die zu K1U = u konjugierte Tangente gehen und die letztere ist vw. Demnach gehen auch die Polarebenen von U, resp. V in Bezug auf die drei Cylinder durch v, resp. u und sind den bezüglichen Mantellinien parallel. Mit anderen Worten: die Projektionen von u und v- und überhaupt von je zwei rechtwinkligen Tangenten in den Kreispunkten sind konjugierte Polaren der entsprechenden Projektionen der Krümmungslinie k und jeder anderen Krümmungslinie. Zu den Krümmungslinien gehören als spezielle Fälle auch die Ellipsen S1, S2, S3, wir erhalten deshalb die folgenden Resultate. Die Krümmungslinien projizieren sich auf die ry-Ebene als Kegelschnitte, die in jedem der beiden Punkte K1""(= K ̧”) und K,”(= K ̧”) die gleiche Involution konjugierter (harmonischer) Polaren bestimmen wie s 83 (356). Diese Kegelschnitte bilden demnach eine Schar, sie berühren. alle die vier Tangenten, die man von K," und K," an s, legen kann und die paarweise konjugiert imaginär sind. Auf die yz-Ebene projizieren sich die Krümmungslinien als Kegelschnitte einer Schar, die alle die vier imaginären Tangenten aus K' und K, an s berühren. Die Projektionen der Krümmungslinien auf die az-Ebene berühren die vier reellen Geraden, die s, in den Punkten K1, K1tangieren. Die Projektionen u", v" der konjugierten Polaren fallen nämlich hier zusammen, da die Ebene uvaz ist, sie bilden also eine Tangente für die Projektionen aller Krümmungslinien. Ohne näher darauf einzugehen, soll noch erwähnt werden, daß ganz analoge Resultate für die imaginären Kreispunkte des Ellipsoides gelten, die als Schnittpunkte von s, und f, resp. von s, und f, definiert werden.

810. Die Konstruktion der Projektionen der Krümmungslinien soll nun durchgeführt werden (Fig. 492). Sind OX, OY, OZ die drei Halbaxen des Ellipsoides, so zeichne man zunächst seine Hauptschnitte s1, $2, $, und deren Brennpunkte F1, G1, F2, G2, F3, G3 (YF OX, u. s. w.). Die Fokalhyperbel f2 besitzt die Scheitelpunkte F, G, und die Brennpunkte F, G, ihre Asymptoten gehen also durch die Berührungspunkte der Tangenten, die man von F an den Kreis mit dem Durchmesser F, G, legen kann. Die Fokal

=

YG3

=

3

3 3

1 2

ellipse f besitzt die Scheitelpunkte F, G, und die Brennpunkte F3, G. In den vier reellen Kreispunkten K1, .., K schneiden sich f und s2, es ist also: K, G2- K1F2 = 2.0F, und K, G2+ K1F2 = 2·0X, folglich: K1G2 GX und K,F, FX. Die Kreispunkte sind auch als Endpunkte der beiden Durchmesser definiert, die die Mittelpunkte der beiden Systeme von Kreisschnitten auf dem Ellipsoide

=

3

=

tragen, und können auch im Anschluß an diese Definition konstruiert werden (671). Die Tangenten von s2 in den Punkten K1, . ., K mögen a paarweise in A und A, und z paarweise in B und B, treffen. Alle Krümmungslinien schneiden s, und außerdem entweder s oder s, in je vier Punkten. Sei k eine Krümmungslinie, seien ferner P1 ihre Schnittpunkte mit s, und Q1, .., Q4, diejenigen mit Die Projektion k" von k auf die rz-Ebene ist eine dem Parallelogramm ABA, B1 eingeschriebene Ellipse mit den Axen Q,"Q'

4

$2

=

3

2

27

3

4

(auf x) und R12 (auf z). Ist Q," gegeben, so kann man R1 nach 413 finden; auf den Tangenten von k" in Q" und Q," werden nämlich durch die Tangente AB Strecken abgeschnitten, deren Produkt (OR)2 ist. Zur Bestimmung der Punkte P1,. ., P, dient folgende Überlegung. Die Ellipsen s, und k" bestimmen einen Büschel, dem auch die Geradenpaare P1P, PP ̧ und P1P ̧‚ Ð ̧Ð ̧ angehören. Dieser Büschel schneidet die Gerade AB in einer Involution, deren. Doppelpunkte die Berührungspunkte K1 und L1 der Kurven 82 und k" sind (366). Demnach werden die Schnittpunkte von AB mit P1P ̧ und PP durch K, und L1 harmonisch getrennt und gleiches gilt für ihre Projektionen auf die x-Achse; das führt zu der Relation: OL".OK,"" = (OP"). Da aber LL," die Polare von A in Bezug auf k" ist, gilt die weitere Relation: OL".O4 = (02"). Aus beiden folgt: (OP ̧""')2: (OQ,"')2 = OK,"": OA. Schneidet aber der Halbkreis über AK" die z-Achse in C, so ist: (K," C): (AC)2 = OK," : OA, also findet man OP" durch die Beziehung: OP"":0Q" = K,"C: AC. Trägt man mithin CEOQ," auf Cd auf und zieht durch E eine Parallele zu r, so schneidet sie auf CK," eine Strecke CH = OP" ab. Ganz analog ergiebt sich P' auf z aus der Relation: OP1': OR1 K'D: BD, wenn der Halbkreis über dem Durchmesser BK die x-Achse in D schneidet.

2

2

3

=

3

Qs

Die Projektion k"" auf die xy-Ebene ist eine Hyperbel mit der reellen Achse P1"P", die s, in den vier Punkten Q1, schneidet. Da nach der vorigen Nummer k"" und s, im Punkte K die gleiche Involution konjugierter Polaren aufweisen, ist k"" hierdurch und durch seine reelle Achse bestimmt. Um k"" zu zeichnen, verwandeln wir k"" und s, durch affine Veränderung in zwei Kurven mit den gemeinsamen Brennpunkten K," und K". Zu diesem Zwecke zeichnen wir zunächst irgend zwei konjugierte Polaren durch K". Nun ist aber die in A auf x errichtete Normale a die Polare von K1" in Bezug auf s; demnach sind K1"U und K ̧”U1 konjugiert, wenn YU || x und U1 = K1""Y × a ist. Macht man (4)2 : (AV1)2 = AU.AU1, so sind auch K," und K,"", konjugiert (und auf a), beide Geraden liegen aber symmetrisch zu x. Trägt man weiter AW = AW1 = AK,"" auf a auf, so ist K,"WK,"W, und beide Geraden sind ebenfalls zu x symmetrisch. Jetzt nehmen wir mit der Involution der konjugierten Polaren durch K," eine affine Veränderung vor, für welcher die Affinitätsachse und V, W ein Paar affiner Punkte sind. Dann geht dieselbe in eine Involutiou rechtwinkliger Strahlen über, denn sie enthält die beiden Strahlenpaare r mit ihrer Normalen und K,"W, K"W (250); zugleich gehen s, und k""' in Kurven

ᎪᎳ .

1

1

1

=