schnitte giebt; denn die Erzeugenden müssen auf diesen projektive Punktreihen ausschneiden. Jede Erzeugende einer Regelfläche 4. Grades wird aber von zwei anderen Erzeugenden getroffen (726); eine Ebene durch zwei Erzeugende muß entweder noch einen Kegelschnitt, oder eine Doppelgerade ausschneiden. Denn zwei getrennte Geraden können es nicht in allen solchen Ebenen sein, sonst würde die Fläche in zwei Hyperboloide zerfallen.

Es giebt nun in der That Regelflächen 4. Grades, die zwei Doppelgeraden besitzen, aber keinen Kegelschnitt enthalten. Da eine Ebene durch eine Erzeugende die Fläche noch in einer Kurve 3. Ordnung schneidet, so sehen wir, daß ihre Erzeugenden die gemeinsamen Sekanten einer ebenen Kurve 3. Ordnung und zweier sie schneidender Geraden sind; diese Geraden sind die Doppelgeraden der Fläche. Die Erzeugenden vermitteln zwischen den Punkten der Doppelgeraden eine zwei - zweideutige Beziehung (jedem Punkte der einen Geraden entsprechen immer zwei der anderen) und diese wird man bei einer näheren Untersuchung der Fläche zum Ausgangspunkte wählen. Wir haben bereits bei der projektiven Beziehung der Punkte einer Reihe auf die Punktepaare einer Involution einen Kegelschnitt zu Hilfe genommen, und wir wollen auch hier die Punkte der einen Doppelgeraden / den Punkten eines Kegelschnittes 1o projektiv zuordnen. Den Punkten der zweiten Doppelgeraden m entsprechen dann Punktepaare auf und durch die Projektivität zwischen und 70 auch Punktepaare auf 1o. Die Verbindungslinien dieser Punktepaare von 7o umhüllen eine Kurve mo, und wir lassen den Punktepaaren auf 1o den Berührungspunkt ihrer Verbindungslinie mit m° entsprechen. Es giebt nun immer zwei Punkte auf m, deren entsprechende Punktepaare auf 1, oder auf 1o, einen gegebenen Punkt enthalten. Da aber jedem Punkte von m ein Punkt von mo entspricht, so giebt es immer zwei Punkte auf mo, deren Tangenten durch einen gegebenen Punkt von 7° gehen, d. h. m ist ein Kegelschnitt.

Zwischen den Punkten der Kegelschnitte 7° und m° besteht eine zwei - zweideutige Beziehung; jedem Punkte von 7° entsprechen die beiden Punkte von mo, deren Tangenten durch ihn gehen, jedem Punkte von m° entsprechen die beiden Punkte von 1o, die auf seiner Tangente liegen. Bezieht man die Punkte von 1o und mo projektiv auf die Punkte der Doppelgeraden 7 resp. m, so erhält man auf ihnen eine zwei - zweideutige Beziehung und die Verbindungslinien entsprechender Punkte liegen auf einer Regelfläche 4. Grades.

Den vier Punkten auf 1o, die zugleich auf mo liegen, entsprechen

Punktepaare auf mo, deren Punkte zusammenfallen; den vier Punkten auf mo, deren Tangenten zugleich 10 berühren, entsprechen ebenfalls Punktepaare mit zusammenfallenden Punkten. Demgemäß giebt es auf jeder der beiden Doppelgeraden je vier Kuspidalpunkte, also im ganzen acht Torsallinien. Je nach der gegenseitigen Lage von 1o und mo ergeben sich verschiedene Realitätsverhältnisse der Kuspidalpunkte. Näher wollen wir auf diese Art von Regelflächen nicht eingehen, da sie weiterhin keine Anwendung finden.

758. Die Normalen flächen einer Fläche 2. Grades. Zieht man auf einer beliebigen Fläche eine Kurve und in ihren Punkten die Normalen der Fläche, so erhält man eine Regelfläche. die man als Normalenfläche bezeichnet. Es soll hier die Fläche 2. Grades zu Grunde gelegt werden und wir wollen die Normalenfläche für einen ihrer ebenen Schnitte konstruieren. Die Tangentialebenen in den Punkten einer solchen Schnittkurve umhüllen aber eine Kegelfläche 2. Ordnung, welche die Fläche 2. Grades längs derselben berührt, und die Normalen der Fläche 2. Grades in ihnen sind zugleich Normalen der Kegelfläche. Unsere Aufgabe deckt sich also mit der folgenden: Die Normalenfläche für einen ebenen Schnitt einer Kegelfläche 2. Ordnung zu konstruieren. Je nach der Lage des Schnittes gegen die Achse der Kegelfläche haben wir verschiedene Fälle zu unterscheiden, die uns zu den vorher aufgezählten Arten der Regelflächen 4. Grades führen werden.

3.

Zunächst erkennen wir, daß der Richtungskegel der Normalenfläche von der 2. Ordnung ist. Ist nämlich der gegebene Kegel, S sein Scheitel, c seine Schnittkurve mit der Ebene П, so finden wir den Normalkegel N mit dem Scheitel S und seine Schnittkurven mit П, in folgender Weise. Ist P,P,P. oder kurz (P) eine Punktreihe auf c, so schneiden die zugehörigen Tangenten auf zwei festen Tangenten von e projektive Punktreihen aus, etwa (4) und (B). Indem wir sie mit S verbinden, erhalten wir zwei projektive Strahlbüschel (a) und (b); indem wir ferner auf jedem dieser Strahlen in S eine Normalebene errichten, gelangen wir zu zwei projektiven Ebenenbüscheln (A) und (B). Ihre entsprechenden Ebenen schneiden sich in den Mantellinien (9) des Normalkegels N. der somit von der 2. Ordnung ist, und diese treffen П, in den Punkten (Q) des Kegelschnittes n. Dabei ist die Punktreihe (P auf e projektiv bezogen auf die Punktreihe (Q) auf n und auf die Mantellinien (7) des Normalkegels (oder Polarkegels, 106).

Zieht man durch jeden Punkt der Punktreihe (P) auf e eine

Gerade parallel zu der entsprechenden Mantellinie q des Normalkegels - (P) und (g) sind projektiv, so erhält man die Normalenfläche. Die Normalenfläche ist vom 4. Grade, denn ihre Erzeugenden sind die Verbindungslinien entsprechender Punkte zweier projektiver Punktreihen, die auf dem Kegelschnitte e und dem unendlich fernen Kegelschnitte von N. liegen.

759. Untersuchen wir zuerst die Normalenfläche für den Fall, daß c ein beliebiger Schnitt des Kegels ist. In

с

3

Fig. 473.

Fig. 473 ist e in der Ebene ПT, angenommen, die Ebenen ПT, und П sind senkrecht zu П, durch die Achsen AB und ED von c gelegt; als Kurve c ist eine Ellipse gewählt. In der Figur sind die Ebenen П, und ПT, zuerst parallel mit sich selbst verschoben und dann um ihre Spuren r resp. y in die Horizontalebene umgelegt, um die Verhältnisse übersichtlicher zu gestalten. Die Tangenten von S'an c berühren c in J und K; die Erzeugenden in TT, sind die Normalen und k in den Punkten J und K von c; die Erzeugenden

a und b in П, gehen durch A und B und stehen auf S" A resp. S"B senkrecht; die Erzeugenden e und d in П, gehen durch E und D und stehen auf S""E resp. SD senkrecht.

Die Normalenfläche besitzt eine Doppelkurve von der 3. Ordnung. ihre Kegelschnitte liegen in Ebenen, die eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen (753). Die Ebenen durch die Kegelschnitte der Normalenfläche, zu denen auch die unendlich ferne Ebene gehört. schneiden jede von ihnen in den Tangenten einer Parabel. So umhüllen die ersten, zweiten und dritten Spurlinien dieser Ebenen je eine Parabel P1, På und P3. Die Parabel p1 hat die Achsen von c und die Erzeugenden i und k zu Tangenten, denn die ersteren sind die Spuren von П und П, die letzteren sind die in П1 liegenden Erzeugenden, durch welche außer П1 noch je eine weitere Kegelschnittebene hindurchgeht. Die Parabel p2 berührt die Geraden a und b, x und z, denn a und b sind Erzeugende, r und z die Spuren von П1 und П; analog berührt die Parabel p, die Geraden d und e, y und z.

P2

Die gemeinsamen Tangenten von c und p, sind die ersten Spurlinien solcher Ebenen, die zwei unendlich nahe Erzeugende der Fläche enthalten; die Erzeugenden durch ihre Berührungspunkte mit c sind die Torsallinien. Im vorliegenden Falle existieren nur zwei reelle Torsallinien, sie sind jedoch nicht in die Figur eingetragen.

760. Ist irgend eine Ebene durch zwei Erzeugende, dann müssen ihre Spurlinien s1, S2, S3, beziehentlich die drei Parabeln P1 P2 P3 berühren. Die Ebene Σ schneidet die Fläche noch in einem Kegelschnitte q, der offenbar die folgenden Punkte enthält: R = sq× a, T= s2 xb, U=s, xd, V=s3×e, X= s1xi und Y=s, xk. Nun gilt der Satz (338), daß die Tangenten einer Parabel auf zwei festen Tangenten derselben ähnliche Punktreihen ausschneiden. Demnach begrenzen die Tangenten a, b und z der Parabel P2 auf den Tangenten s2 und x je zwei Strecken, die in dem gleichen Verhältnisse stehen, d. h. es ist: RZ: ZT-AC: CB (Z=z × 89, C=z xxxy). Da aber AC CB ist, folgt RZ = ZT; ganz ebenso ergiebt sich UZ-ZV. Die Geraden RT und UV sind demnach zwei Durchmesser des Kegelschnittes q, dessen Mittelpunkt in Z liegt.

с

Nun schneiden die Erzeugenden der Fläche auf allen Kegelschnitten und insbesondere auf e und q projektive Punktreihen aus (752), so daß die Punkte A, B, D, E von c projektiv sind zu den Punkten R, T, U, V auf q. Alle zu DE parallelen Geraden

schneiden aber c in den Punktepaaren einer Involution, deren Doppelpunkte A und B sind und diese liegen zu jedem Punktepaar harmonisch. Demnach liegen die Punkte ABDE auf c und ebenso die Punkte RTUV auf q harmonisch. Folglich muß die Gerade UV durch den Schnittpunkt der Tangenten von q in R und T gehen, d. h. der Durchmesser UV ist parallel zu den Tangenten in den Endpunkten des Durchmessers RT, beide Durchmesser sind also konjugiert. Jede Ebene durch zwei Erzeugende schneidet die Normalenfläche in einem Kegelschnitte, der von den Vertikalebenen durch die Achsen des Kegelschnittes c in konjugierten Durchmessern geschnitten wird; ihre Endpunkte liegen auf den vier Erzeugenden durch die Scheitelpunkte von c. Mit anderen Worten: Die ersten Projektionen aller auf der Normalenfläche liegenden Kegelschnitte sind Kegelschnitte von der gleichen Art wie c, deren Achsen zugleich die Achsen von c sind. Denn je nachdem c vier, zwei, oder einen reellen Scheitel hat, also Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist, tritt Gleiches für alle Kegelschnitte der Fläche ein.

In der Figur ist als Ebene Σ durch zwei Erzeugende die Ebene durch gewählt, so daß b=s, wird. Die erste Spurs, geht durch B und berührt P1, sie schneidet c noch in F, so daß Σ die Erzeugende f durch F enthält (fc); die dritte Spur geht durch W=8X DE und berührt p. Es ist nur noch zu bemerken, was in diesem Falle aus T-s2 b wird, da ja s=b ist. Nun sind s2 und zwei Tangenten von P2; fallen sie zusammen, so wird ihr Schnittpunkt T zum Berührungspunkte von b mit P2. nur die erste Projektion q' verzeichnet.

Von q ist

Ferner ist die Schnittellipse r der Fläche mit der Ebene П, angegeben. Die Erzeugenden d und e treffen П, in den Endpunkten P und des vertikalen Durchmessers von r; auf den Erzeugenden a und b liegen die Endpunkte N und O des zu PQ konjugierten Durchmessers. Um N auf a zu bestimmen, müssen wir die zu a benachbarte Erzeugende mit П, zum Schnitt bringen; dieser Punkt unterscheidet sich nur unendlich wenig von N, so daß er an seine Stelle treten kann. Die erste Projektion N' liegt also auf der Achse AB und auf der Normalen in dem zu A benachbarten Punkte von c; N' und O' sind sonach die Krümmungsmittelpunkte für die Scheitel A und B der Ellipse c. Die Ellipser enthält auch die Punkte Lix AB und Mkx AB und G=fxb (G'=f ̃ × AB, GG'x).

=

Die scheinbaren Umrisse der Normalenfläche in П1, П1⁄2 und П

17

2