OZ, während sich OY und OZ zu einander verhalten, wie die zu OY und OZ parallelen Durchmesser von l.

691. Von einem Ellipsoide seien drei konjugierte Durchmesser durch ihre Projektionen auf eine Ebene gegeben, es soll sein scheinbarer Umriß in dieser Ebene gezeichnet werden. Ist O die orthogonale oder schiefe Projektion des Mittelpunktes und sind OX, O'Y', O'Z' die entsprechenden Projektionen der konjugierten Halbmesser unseres Ellipsoides (Fig. 446), so ge

hört die Ellipse i mit den Halbmessern OX und OY der Fläche an. Die Tangentialebenen in den Punkten dieser Kurve sind dem Durchmesser OZ parallel, sie umhüllen einen Cylinder, der die Fläche längs der Kurve i berührt. Der scheinbare Umriß dieses Cylinders wird von den beiden Tangenten von gebildet, die zu O'Z' parallel laufen; ihre Berührungspunkte A, B liegen auf dem zu O'Z konjugierten Durchmesser von i. Man findet diese Punkte A und B',

0

indem man 'O senkrecht zu O'X' zieht und gleich O'X' macht, dann ist der Kreis i mit dem Mittelpunkt 0, und dem Radius 0,Y zu affin, die gemeinsame Tangente t von und i, ist die Affinitätsaxe. Ist nun J= t× O'Z′ und ist KOJO (K auf t), so ist 'Ơ der zu O'Z konjugierte Durchmesser, wenn A'O' durch K geht und AA' 00' ist (4=0Kxi). Die Punkte A' und B' gehören aber auch dem scheinbaren Umriß u' der Fläche an, denn in den Punkten A und B haben Ellipsoid und Cylinder eine gemeinsame zur Projektionsrichtung parallele Tangentialebene; u' und berühren sich in A und B', die gemeinsamen Tangenten sind zu O'Z parallel. In gleicher Weise kann man die Berührungspunkte von u mit den beiden Ellipsen bestimmen, für die O'X' und O'Z resp. O'Y' und O'Z konjugierte Halbmesser sind. Damit sind dann sechs Punkte des Umrisses u bekannt, der sich daraus zeichnen läßt.

Die Konstruktion wird einfacher, wenn man zu dem Durchmesser A'B' von u direkt den konjugierten Durchmesser C'D' aufsucht, der mit O'Z' zusammenfällt. Der konjugierte Durchmesser

zu AB bezüglich der Schnittkurve i ist EF (E。 = i。 × JO。, E'E。 || 0′0。), OA, OE und OZ sind drei konjugierte Halbmesser des Ellipsoides. OE und OZ sind konjugierte Halbmesser einer Schnittellipse k, die sich als gerade Linie projiziert, da O'E' und O'Z' sich decken. Projiziert sich aber eine Ellipse als Stück einer Geraden, und sind O'E' und O'Z die Projektionen zweier konjugierter Halbmesser, so bestimmen sich die End- oder Umrißpunkte C, D der Projektion aus: (OC)2=(Ơ D) = (O E)? +(OZ), oder mit anderen Worten: O'C' = O'D' ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten O'E' und O'Z′ (Z'G = O′E', Z'GLOE, O'G = O'D').

=

Mo

Den soeben erwähnten Satz beweisen wir in der folgenden Form. In Fig. 447 seien OZ und OF konjugierte Halbmesser einer Ellipse k, a sei eine beliebige Gerade in der Ebene der Ellipse und 00' die Richtung, in der wir k auf a projicieren. Der zur Projektionsrichtung parallele Halbmesser von k sei OM, der dazu konjugierte Durchmesser CD. Projizieren wir nun die Punkte Z und F zunächst in der Richtung 00′ auf CD nach Z und F1, so ist: (OC)2 = (OD)2 = (OZ1)2 + (OF1)2. Denn der Kreis k mit dem Durchmesser CD ist zu k affin, sein Radius OM, (LCD) ist affin zu OM; ebenso sind ZZ und FF affin zu ZZ, und FF1, wenn Z und F, auf k liegen, die Radien FO, ZO aufeinander senkrecht stehen, und ZZ1 || FF, 1 CD ist. Daraus folgt aber die Kongruenz der Dreiecke OZZ, und F ̧OF1 und aus: (OC)2= (OZ)2=(0%1)2+(Z,Z)2 die obige Relation. Projiziert man die Punkte C, D, Z, F, in der Richtung 00' weiter auf a nach C', D', Z', F", so gilt die Relation auch für diese Projektionen und damit ist der obige Satz bewiesen.

1

M

F

k

D

Z

D

Z' 0'

a

Fig. 447.

1

692. Wollen wir die gleiche Aufgabe wie für das Ellipsoid für das einschalige und zweischalige Hyperboloid lösen, so ist es vorteilhaft, die folgenden Betrachtungen über koncentrische, ähnliche Kegelschnitte vorauszuschicken. Fassen wir eine Involution ins Auge, sie ist durch ihren Mittelpunkt O und ein Punktepaar P, P, bestimmt; für jedes weitere Punktepaar Q, Q, gilt: OQ⋅0Q1 = OP.OP1. Dieses Produkt wollen wir die Potenz der Involution nennen, die positiv oder negativ sein kann, je nachdem die Punkte eines Paares auf der gleichen oder auf verschiedenen

ROHN u. PAPPERITZ. II.

14

Seiten von liegen. Ist die Potenz positiv, so besitzt die Involution zwei reelle Doppelpunkte, deren Abstände von O gleich der Wurzel aus der Potenz sind. Sind zwei Involutionen mit gemeinsamem Mittelpunkte auf der nämlichen Geraden gegeben, so sind sie ähnlich und ähnlich gelegen, wenn je zwei Punkte einander entsprechen, deren Abstände von O sich wie die Wurzeln aus den bezüglichen Potenzen verhalten. Jedem Punktepaar der einen Involution ist hierdurch ein Punktepaar der andern zugeordnet Haben die Involutionen beide reelle, oder beide keine reellen Doppelpunkte, d. h. haben ihre Potenzen gleiches Vorzeichen, so ist die gemeinte Zuordnung eine reelle, im entgegengesetzten Falle ist sie imaginär. Solche imaginäre Zuordnungen müssen wir in den Kreis unserer Betrachtungen aufnehmen.

1

Untersuchen wir jetzt die Kegelschnitte mit gemeinsamem Mittelpunkt 0, welche die gleiche Involution konjugierter Durchmesser aufweisen. Ein solcher Kegelschnitt ist durch einen seiner Punkte bestimmt, an seiner Stelle kann auch ein Paar harmonischer Pole P und P, auf einem Durchmesser gegeben sein. Sei e der Durchmesser durch PP1, d sein konjugierter, ferner a ein beliebiger Durchmesser und sein konjugierter, so sind Q und Q, auf a (Fig. 448) harmonische Pole, wenn P11d und PQb ist, da PQ, die Polare von P und PQ die von Q, ist. Es ergiebt sich so auf einem beliebigen Durchmesser a die Potenz 02.02, der Involution harmonischer Pole und damit die Länge des Durchmessers. falls seine Endpunkte reell sind. Ein zweiter Kegelschnitt mit der gleichen Involution konjugierter Durchmesser wie der erste wird dem Punkte P einen andern Punkt von e,

Fig. 448.

P

2

a

etwa P2, als harmonischen Pol zuordnen; für ihn sind Q. Q2 auf a harmonische Pole, wenn PQb und PQd ist. Aus der Figur ersieht man, daß OP1: OP2 = OQ, OQ, ist, was das Resultat ergiebt: Zwei Kegelschnitte mit der gleichen Involution konjugierter Durchmesser bestimmen auf jedem Durchmesser zwei Involutionen harmonischer Pole, deren Potenzen für alle Durchmesser in dem nämlichen Verhältnisse stehen, nämlich wie OP: OP. Daraus folgt allgemein, daß die Pole und Polaren des einen Kegelschnittes ähnlich und ähnlich gelegen sind zu den Polen und Polaren des

andern, und daß gleiches für die Punkte und Tangenten dieser Kurven stattfindet. Alle Kegelschnitte mit der nämlichen Involution konjugierter Durchmesser sind sind samt ihren Polarsystemen ähnlich und ähnlich gelegen.

Solche ähnliche und ähnlich liegende Kegelschnitte bildet jedes System von Parallelschnitten bei einer Fläche 2. Grades; verschiebt man ihre Ebenen parallel mit sich selbst, so daß ihre Mittelpunkte in den der Fläche rücken, so sind sie auch koncentrisch. Gerade dieses Beispiel zeigt uns aber, daß das Verhältnis entsprechender Strecken auch imaginär sein kann. Sind z. B. zwei Parallelschnitte eines Ellipsoides reell, so sind sie und ihre Polarsysteme in reeller Weise ähnlich und ähnlich gelegen, d. h. einem reellen Punkte entspricht dabei wieder ein reeller Punkt (vergl. 646); ebenso ist es falls beide Schnitte imaginär sind. Ist dagegen ein Schnitt reell und einer imaginär, so sind sie zwar noch ähnlich und ähnlich gelegen, aber einem reellen Punkte der einen Ebene entspricht ein imaginärer Punkt der andern,

693. In jeder Ebene werden durch eine Fläche 2. Grades die Punkte und Geraden einander zugeordnet, indem jedem Punkte die Gerade der Ebene entspricht, die auf seiner Polarebene liegt. Jeder Punkt und die ihm entsprechende Gerade sind Pol und Polare in Bezug auf die Schnittkurve der Ebene mit der Fläche, mag diese Kurve reell oder imaginär sein. Kennt man ein Paar konjugierter Durchmesser dieser Kurve und auf ihnen die Involutionen harmonischer Pole, so ist sie bestimmt. Diese Involutionen können durch ein beliebiges Punktepaar gegeben sein, da der Mittelpunkt der Kurve zugleich ihr Mittelpunkt ist, Wählt man dasjenige Punktepaar einer Involution, dessen Punkte vom Mittelpunkt gleichen Abstand haben, so fallen entweder beide Punkte zusammen und bilden einen der beiden reellen Doppelpunkte; dann wird der Durchmesser von zwei reellen Punkten der Kurve begrenzt und soll kurz reeller Durchmesser heißen. Oder es liegen die beiden Punkte auf verschiedenen Seiten des Mittelpunktes; dann trägt der Durchmesser keine reellen Kurvenpunkte und soll kurz imaginärer Durchmesser heißen; die beiden Punkte nennen wir die Gleichpunkte der Involution. In Fig. 449 seien a und b zwei konjugierte Durchmesser, und es sei 04, OA2, OB = OB2. Sind A12, B1B2 reelle Durchmesser, so ist die Kurve eine Ellipse durch ihre Endpunkte 4, 42, B1, B2. Sind 4,42, BB2 imaginäre Durchmesser, so ist die Kurve imaginär; 44, und ebenso BB sind harmonische Pole von ihr. Ein beliebiger reeller

=

Durchmesser CC2 jener Ellipse ist zugleich imaginärer Durchmesser dieser imaginären Kurve, d. h. CC2 sind harmonische Pole von ihr;

2

es folgt das unmittelbar aus dem, was über die Ähnlichkeit beider Kurven gesagt wurde.

Ist A12 ein reeller, B1B, ein imaginärer Durchmesser, so ist die Kurve eine a Hyperbel, die durch 1, Æ

geht und B1, B, zu harmo-
nischen Polen hat. Ihre
Asymptoten bilden die Dia-
gonalen eines Parallelo-
grammes
dessen
IKLM,
Seiten zu jenen Durchmessern

1

parallel sind und von ihnen halbiert werden. Denn die Asymptoten berühren die Hyperbel im Unendlichen, jeder Punkt einer Asymptote ist also harmonischer Pol zu ihrem unendlich fernen Punkte. Nun ist aber MB, die Polare von B1 und MA, die Polare von 41, also M der Pol von AB1, und somit sind M und der unendlich ferne Punkt von OM harmonische Pole. Ist 4,42 ein imaginärer, B1B2 ein reeller Durchmesser, so ist die Kurve eine Hyperbel, die durch B1, B2 geht und 4, 4, zu harmonischen Polen hat. Die Asymptoten dieser Hyperbel sind die nämlichen, wie bei der vorigen. Ein beliebiger reeller Durchmesser dieser Hyperbel mit den Endpunkten C1, C, ist ein imaginärer Durchmesser von jener Hyperbel, und C, C2 sind harmonische Pole von ihr.

694. Zu jedem Kegelschnitte gehört demnach ein anderer in der Weise, daß jeder reelle Durchmesser des einen ein imaginärer Durchmesser des anderen ist, und daß die Endpunkte jedes reellen Durchmessers des einen für den anderen Kegelschnitt harmonische Pole Gleichpunkte - sind. Dieses Resultat läßt sich ersichtlich direkt auf die Fläche 2. Grades übertragen. Sind XX, YY1, ZZ1 drei konjugierte reelle Durchmesser, so ist die zugehörige Fläche ein Ellipsoid; sind dagegen XX1, YY1, ZZ1 drei konjugierte imaginäre Durchmesser, so ist die zugehörige Fläche imaginär, die Gleichpunkte X, X, etc. sind harmonische Pole von ihr. Die Endpunkte eines jeden Durchmessers der ersten Fläche sind harmonische Pole, nämlich Gleichpunkte, der zweiten. Sind XX1, YY1, ZZ1 drei konjugierte Durchmesser, und sind die ersten beiden reell, der letzte imaginär, so ist die zugehörige Fläche ein einschaliges Hyper