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schneiden sich diese in Gegenpunkten P und Q der Kugel, welche zugleich der Lichtgrenze auf der Schraubenfläche angehören.

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Die Ebene von e steht senkrecht zur Tangente der Schraubenlinie s, die vom Kugelcentrum M beschrieben wird, die Ebene von w normal zum Lichtstrahl 7. Hieraus kann ihre Schnittlinie, d. i. der Durch

messer PQ in Grund- und Aufriß gefunden werden. Die Konstruktion nimmt man zweckmäßig an einer Hilfskugel vor, die mit dem gegebenen Radius r um irgend einen Punkt R des Raumes beschrieben ist, und überträgt dann die Resultate in die Hauptfigur (in Fig. 422 ist RR = h angenommen). Die Konstruktion läßt sich aber noch bedeutend vereinfachen, indem man den Pol Z des Lichtstrahles in П, benützt (599). Sind nämlich P und Q die Grundrisse der gesuchten Lichtgrenzpunkte, so gehen (nach 600) ihre Verbindungslinien P'L und QL mit dem Pole L resp. durch die Pole der Tangenten des erzeugenden Kreises e in P und Q. Da aber diese parallel sind, haben sie einerlei Pol und die Linien PL und QL fallen zusammen in den durch L gezogenen Durchmesser der Ellipse c', die den Grundriß von e bildet. Alle diese Ellipsen sind kongruent und gehen auseinander durch Drehung um den Achsenspurpunkt A hervor. Wir zeichnen eine derselben c' mit dem Centrum N' auf s' und denken uns eine zweite um M' beschrieben, deren Durchmesser P'Q durch L geht. Wird letztere durch Drehung um A mit c vereinigt, so geht der mitgedrehte Durchmesser nunmehr durch denjenigen Punkt J des um A durch L gelegten Kreises i, der bei der erwähnten Drehung aus L hervorgeht. Hierdurch ist auch die Länge P'Q' bestimmt. Man teilt zweckmäßig die Kreise i und s', von L und N' anfangend, in dieselbe Anzahl gleicher Teile; sind dann J und M' entsprechende Teilpunkte, so ziehe man JN und LM und trage auf der zweiten Linie den auf der ersten gefundenen Halbmesser der Ellipse c' von M' aus bis nach P' und Q' ab. Man erhält so Punkte des Grundrisses der Lichtgrenze. Um Punkte ihres Aufrisses zu bestimmen, benützen wir die Hilfskugel mit dem Centrum R. Die Ebene ihres Lichtgrenzkreises w habe e, zur ersten Spurlinie; liegt parallel zu PQ der gleichbezeichnete Kugeldurchmesser, so findet man seinen ersten Spurpunkt D1, aus ihm aber nach Größe und Richtung den Aufriß P"Q", der in die Hauptfigur zu übertragen ist. Das Ergebnis dieser Konstruktionen ist folgendes. Die Lichtgrenze auf der Schlangenrohrfläche besteht aus zwei Kurvenzweigen u und v. Die Grundrisse u und v' sind geschlossen; der innere Zweig u berührt den inneren Umrißkreis der Fläche in den Endpunkten des zu l' normalen Durchmessers, hat den Pol L zum Knotenpunkt und zeigt den gestaltlichen Typus der Pascal'schen Schnecke; der äußere Zweig v bildet ein Oval und berührt den äußeren Umrißkreis in den Endpunkten des zu normalen Durchmessers, der für beide Zweige Symmetrieachse ist. Im Aufriß berühren die beiden Zweige u" und " der Lichtgrenze in jedem Gange

die Umriẞkurven je zweimal in Punkten, die den Durchschnitten von u und mit den ersten Projektionen jener Umrisse entsprechen.

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Der Grundrißschatten der Schraubenlinie s ist eine verschlungene Cykloides, von der ein im Punkte N beginnender, in O, endigender Gang gezeichnet ist. Der Grundrißschatten der Schraubenfläche wird einesteils begrenzt durch die Schatten e und d der beiden als Berandung eines Ganges auftretenden erzeugenden Kreise c und d mit den Mittelpunkten N und O, andernteils durch zwei

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C*

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Kurven u und die zusammen die Hüllkurve der Schatten der verschraubten Kugel bilden. Die Ellipsen c, und d sind kongruent und ihre Achsen parallel; man bestimmt sie als affine Kurven zu c' aus konjugierten Durchmessern. Hat man ferner für die Hilfskugel mit dem Centrum R den Grundrißschatten als die Ellipse w konstruiert (476) und denkt man sich eine mit w kongruente Ellipse so bewegt, daß ihr Centrum die Cykloides beschreibt, während ihre große Achse beständig die Richtung von l' behält, so bilden u und zusammen die Hüllkurve aller ihrer Lagen. Einzelne Punkte v * findet man als Schatten der vorher bestimmten Lichtgrenzpunkte, wie P und Q. Die Kurven u und zeigen den gestaltlichen Typus der Parallelkurven der verschlungenen Cykloide; erstere hat in jedem Gange zwei Spitzen, letztere ist verschlungen. Durch die Spitzen von u führen Lichtstrahlen, welche die Lichtgrenze u berühren, U* und in jedem solchen Berührungspunkte beginnt die Grenzlinie eines Schlagschattens der Fläche auf sich selbst. In unserer Figur wird nur ein solcher Schatten sichtbar, während ein zweiter, im Inneren der Fläche gelegen, nicht zur Erscheinung kommt. Der äußere Schatten wird einerseits durch die Linie UV begrenzt, die in dem der Spitze U, entsprechenden Punkte U tangential von u ausgeht und auf in dem Punkte Vendigt, der dem Schnittpunkte von u und entspricht. Andererseits bildet die Grenze die Linie XX, deren Endpunkte auf u und v aus den Kreuzungspunkten I und Y von v mit u, und ermittelt werden. Um die Kurven. UV und XY mit genügender Sicherheit zeichnen zu können, müssen noch einige Zwischenpunkte derselben konstruiert werden. Zu diesem Ende hat man von geeigneten erzeugenden Kreisen der Fläche Grund- und Aufriß, sowie den Grundrißschatten zu suchen, was am leichtesten mit Benutzung konjugierter Durchmesserpaare der betreffenden Ellipsen geschieht. Da die gesuchten Kurven Schatten der Linien u und bilden, so hat man aus den Schnittpunkten von u und mit den Grundrißschatten der erzeugenden Kreise Lichtstrahlen rückwärts bis zu diesen selbst zu verfolgen.

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v*

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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Schrauben.

637. Eine allseitig begrenzte ebene Fläche erzeugt bei einer Verschraubung um eine zu ihr senkrechte Achse einen Körper, der Schraube heißt. Wir nehmen an, daß der erzeugende Querschnitt der Schraube von einer geschlossenen sich selbst nicht schneidenden Linie umgrenzt sei. Zu jeder Schraube gehört eine Schraubenmutter; es ist dies ein Körper mit einem schraubenförmigen Hohlraume, den die zugehörige Schraube ausfüllt, so daß Schraubenmutter und Schraube von der nämlichen Schraubenfläche begrenzt werden. Die Schraube kann in der Schraubenmutter eine Schraubenbewegung ausführen, indem die Oberflächen beider Körper aufeinander gleiten. Die Einteilung der Schrauben erfolgt nach den geometrischen Eigenschaften dieser Gleitflächen. Der Schraubenkörper selbst wird im Gegensatz zur Schraubenmutter öfters als Schraubenspindel bezeichnet.

Die technisch verwendeten Schrauben besitzen meist einen massiven Kern, der von einem um ihre Achse beschriebenen Rotationscylinder begrenzt wird. Der außerhalb des Kernes befindliche Teil des Schraubenkörpers heißt das Gewinde. Zur Charakterisierung der Schraube genügt die Angabe eines Meridianschnittes, dessen Höhe in der Achsenrichtung der Ganghöhe h gleich ist: er werde begrenzt auf einer Seite von der Achse a, unten und oben von zwei Radien des Kerncylinders und auf der anderen Seite von dem sog. Schraubenprofil. Die gebräuchlichsten Profile sind geradlinig und werden von gleichschenkligen Dreiecken oder von Rechtecken gebildet, deren Grundlinien auf der Kernmantellinie liegend sich in gleichen Abständen folgen (bei Dreiecken können die Grundlinien unmittelbar aneinander stoßen). Schrauben mit dreieckigem Gewindeschnitt heißen scharfgängig, mit rechteckigem flachgängig. Enthält das Profil auf eine Ganghöhe h mehrere Dreiecke oder Rechtecke, so sagt man, die Schraube habe mehrfaches Gewinde.

638. Darstellung einer flachgängigen Schraube mit Eigen- und Schlagschattengrenzen (Fig. 423). Die Schraubenspindel habe einen quadratischen Gewindeschnitt, die Entfernung der Gewindegänge voneinander sei der Quadratseite gleich; ferner sei der Spindel ein sechsseitiger prismatischer Schraubenkopf aufgesetzt. Wir legen die Grundrißebene normal zur Schraubenachse. Das Gewinde wird von dem Kerncylinder, von einem koaxialen

Rotationscylinder und zwei geschlossenen geraden Regelschraubenflächen begrenzt, deren Durchschnitte mit den Cylinderflächen die Gewindekanten bilden. Letztere werden im Grundriß durch die Kreise i und k, im Aufriß durch Sinuslinien dargestellt; in der zweiten Projektion sind die Umrißlinien der Cylinder hinzuzufügen, soweit sie auf dem Gewinde liegen, resp. sichtbar sind; endlich

Fig. 423.

zeichne man noch die Kanten des Schraubenkopfes und konstruiere von allen den genannten Linien die Grundrißschatten unter der Annahme paralleler Lichtstrahlen (l', "). Der Grundrißschatten ist über die x-Achse fortgesetzt. Allenthalben sind nur die in der betreffenden Projektionsrichtung sichtbar werdenden Elemente verzeichnet. Diese Konstruktionen bedürfen nach dem Vorausgegangenen keiner Erläuterung mehr.

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