2. Offene schiefe Schraubenfläche (r> 0): α) p > r. M und N Knotenpunkte (Fig. 405). 1 M Fig. 419. P) p = r. (Abwickelbare Fläche) c zerfällt in den (Fig. 390). 7) p<r. Mund N isolierte Doppelpunkte (Fig. 419). Cyklische Schraubenflächen. 634. Die Schraubenfläche von kreisförmigem Normalschnitt (Fig. 420). Die Fläche entstehe durch rechtsgängige Verschraubung des anfänglich in П, gelegenen Kreises n vom Radius r um eine vertikale Achse a. Auf letzterer sei A der Spurpunkt in П, und 48 h, die reduzierte Ganghöhe. Die vom Mittelpunkte N des erzeugenden Kreises n beschriebene Schraubenlinie sei s. Die Punkte J und K seiner Peripherie, die von A resp. den größten und kleinsten Abstand haben, beschreiben die Schraubenlinien i und k, die den wahren Umriß für die erste Projektion zusammensetzen; letztere ist die Kehlschraubenlinie der Fläche. Die erste Projektion der Fläche besteht daher aus den koncentrischen Kreisen und k'. Den wahren Umriß für die zweite Projektion bestimmen wir nach 601 als geometrischen Ort der Endpunkte derjenigen Durchmesser des verschraubten Kreises n, die zur x-Achse parallel liegen. Er besteht demnach aus zwei mit s kongruenten Schraubenlinien f und g, die aus s hervorgehen, wenn man diese Linie parallel zur x-Achse nach links oder rechts um die Strecke r verschiebt. In Fig. 420 ist ein zwischen П, und einer dazu parallelen Ebene enthaltener Gang der Fläche dargestellt. Die Konstruktion der Lichtgrenze für Parallel beleuchtung erfolgt ebenfalls nach 601. Man hat nach Annahme eines Lichtstrahles (l'x l'x 45°) den. Pol L desselben in П, zu = x= suchen. Die durch ihn gezogene Vertikale bildet die Polachse und die Endpunkte der durch diese gezogenen Durchmesser des verschraubten Kreises n erzeugen die Lichtgrenze. Letztere besteht aus zwei Zweigen u und v. Man findet zuerst den Grundriß, indem man auf allen durch L gezogenen Strahlen von ihren Schnittpunkten mit dem Kreise s' aus nach beiden Seiten den Radius des Kreises n abträgt. Diese Grundrißkurve der Lichtgrenze hat den Pol L zum Doppelpunkt. Trifft der um L mit dem Radius r beschriebene Kreis den Kreis s' in reellen Punkten, so schneiden sich in L zwei reelle Kurvenzweige. Da ferner jeder durch den Doppelpunkt L gezogene Strahl im allgemeinen und höchstens vier weitere Punkte der Kurve trägt, so ist dieselbe von der 6. Ordnung. Sie wird wie die in 440 betrachtete Pascal'sche Linie, mit der sie ihrer Entstehungsweise nach verwandt ist als eine Konchoide bezeichnet. Ihre Form hängt wesentlich von der Lage des Poles L gegen die Kreise s', i und k' ab. Jedenfalls ist sie symmetrisch in Bezug auf den zu normalen Durchmesser des Kreises s' und berührt resp. k' in den auf diesem Durchmesser gelegenen Punkten. Fällt L auf s', so zerfällt die Kurve in den um L mit dem Radius =r beschriebenen Kreis und in eine Pascal'sche Konchoide (4. Ordnung). In unserer Figur besteht die Kurve aus den Zweigen u' und '; der innere Zweig u' zeigt den gestaltlichen Typus der Pascal'schen Schnecke und hat Z zum Knotenpunkt; der äußere v’ bildet ein Oval. Aus dem Grundriß leitet man leicht den Aufriß der Lichtgrenze ab, der aus zwei wellenförmig verlaufenden Zweigen u" und v" besteht. * * Der Grundrißschatten der Fläche wird von zwei Parallelkurven u und v einer Cykloide s begrenzt; sie bilden zusammen die Hüllkurve aller Lagen des Kreises n, wenn dessen Centrum N die Cykloides beschreibt. Letztere ist der Schatten der Schraubenlinie s und die successiven Lagen des Kreises n bilden die Schatten der Normalschnitte der Fläche. Einzelne Punkte der Kurven u und V* werden mittels der Schatten solcher Durchmesser der Normalschnitte bestimmt, welche die Polachse treffen; sie ergeben die Normalen der Cykloides, auf denen beiderseits die konstante Strecker abzutragen ist. Die Kurve u zeigt in jedem Gange zwei Spitzen U und V; die durch sie gehenden Lichtstrahlen berühren die Lichtgrenze u und von den Berührungspunkten U und gehen Grenzlinien des Schlagschattens der Fläche auf sich selbst aus. Dieser Schlagschatten kommt zum Teil auf der Außenseite der Schraubenfläche zustande, zum Teil liegt er auf der hohlen Innenseite. Der zuletzt erwähnte Teil kommt nicht in Betracht, wenn der von der Fläche umschlossene Raum von einem Schraubenkörper erfüllt ist, wie hier angenommen werden mag. In der Figur * * bildet die Spitze U den Schatten eines Punktes U, der dem obersten Normalschnitt o angehört. Die von U ausgehende Grenzlinie UW des außen sichtbaren Schlagschattens rührt von dem Kreise o her und wird aus den Überschneidungen von o mit den Grundrißschatten tiefer liegender Normalschnittkreise mittels rückwärts gezogener Lichtstrahlen konstruiert. Die Linie UW überschreitet die Kehlschraubenlinie k in einem Punkte X, welchem im Grundrisse ein Berührungspunkt X' mit dem Kreise k' entspricht; sie endigt auf u mit einer zum Lichtstrahl parallelen Tangente; ihr Grundriß bildet überdies eine Schleife. 635. Die Schlangenrohrfläche (Serpentine) entsteht als Hüllfläche einer verschraubten Kugel. Der Radius dieser Kugel K sei r, der Abstand ihres Centrums M von der vertikal gestellten Schraubenachse a sei d> r. Die Verschraubung sei rechtsgängig und h, die reduzierte Ganghöhe. Die vom Punkte M beschriebene Schraubenlinie wird durch s bezeichnet (Fig. 421); ihre Projektionen sind in П1 ein um den Achsenspurpunkt A mit dem Radius d beschriebener Kreis s' und in П, eine Sinuslinie s". Eine Normalebene der Schraubenlinie s, durch den Punkt M gelegt, schneidet auf der um M beschriebenen Kugel ihren Berührungskreis c mit der Schraubenfläche aus. Dieser bildet die J" la" A" B" Fig. 421. u" Charakteristik der Hüllfläche (596) und kann als erzeugende Kurve derselben dienen. Wir stellen einen Gang der Fläche dar, der == zwischen den parallelen Ebenen zweier erzeugender Kreise enthalten sein mag und legen die Aufrißebene П, senkrecht zu diesen beiden Ebenen, die Grundrißebene П, aber durch den tiefsten Punkt B des unteren Kreises. Die beiden Endkreise der Fläche projizieren sich in П als die Geraden B"F" und E"J", die in den Endpunkten N” und O' der Sinuslinie s" auf dieser normal stehen. Die Grundrisse fallen in eine Ellipse zusammen, deren Centrum N'O' dem Kreise s' angehört; ihre kleine Achse ist B'F' E'J', ihre große Achse geht durch und hat die Länge 2r. Die Grundrisse aller erzeugender. Kreise sind kongruente Ellipsen, weil ihre Ebenen gegen П, einerlei Neigung haben. Der Umriß der ersten Projektion unserer Fläche wird von den beiden Kreisen und k' gebildet, die um A mit den Radien. dr resp. dr beschrieben sind. Die zugehörigen wahren Umrisse, i und k, sind Schraubenlinien und speziell ist k die Kehllinie. Der Umriß der zweiten Projektion umhüllt die Aufrisse der von der Fläche umhüllten Kugeln und besteht daher aus zwei Parallelkurven u" und " der Sinuslinie s", die erhalten werden, wenn man auf den Normalen von s" nach beiden Seiten die Strecke r abträgt. In jedem Gange zeigen die beiden (kongruenten) Kurven u" und v" je zwei Spitzen (C", D" und G", HI"), in denen sie auf die Evolute der Sinuslinie s" auftreffen. Die erste Projektion der wahren Umrisse u und besteht aus zwei herzförmigen, geschlossenen Zweigen u' und ', die sich gegenseitig auf der Linie AA" kreuzen und beide den zur -Achse parallelen Durchmesser des Kreises s' zur Symmetrieachse haben. Sie berühren die Kreise und k' in ihren Schnittpunkten mit dieser Geraden. Man findet beliebig viele Punkte der Kurven u' und ' auf folgendem Wege. Sei Mein Punkt der Schraubenlinie s und PQ der zum Aufriß parallele Durchmesser des um M beschriebenen erzeugenden Kreises, so liegen P" und Q" auf dem Umriß der zweiten Projektion und P"Q" ist eine Normale von s". Die erste Projektion P'Q' desselben Durchmessers ist parallel zur -Achse durch den Punkt M' von s' zu ziehen und endigt resp. auf den Kurven u' und v'. 636. Ist eine Schlangenrohrfläche nach dem Vorausgeschickten in Grund- und Aufriß dargestellt, so soll jetzt die Konstruktion der Lichtgrenze auf ihr, des Schlagschattens auf der Grundrißebene und auf der Fläche selbst hinzugefügt werden (Fig. 422). Sucht man auf jeder der Fläche einbeschriebenen Kugel den Lichtgrenzkreis w und den erzeugenden Kreis c (die Charakteristik), so |