Meridiankreis nicht, so haben wir es mit der eigentlichen Ringfläche zu thun, im entgegengesetzten Falle aber mit der Wulstfläche. Halbiert man im ersten Falle den rotierenden Kreis durch einen zur Achse parallelen Durchmesser, so kehrt die eine Hälfte der Achse die konkave Seite zu, sie erzeugt bei der Rotation den elliptisch gekrümmten Teil der Fläche; die andere Hälfte kehrt der Achse die konvexe Seite zu und erzeugt den hyperbolisch gekrümmten Flächenteil. Beide Flächengebiete grenzen in zwei Kreisen, der parabolischen Kurve, aneinander (470, 471).

Wir wollen nun zunächst zeigen, daß es auf einer Ringfläche außer den beiden Systemen der Parallel- und Meridiankreise noch zwei weitere Kreissysteme giebt, so daß durch jeden Punkt der Fläche vier Kreise auf ihr gezogen werden können. Betrachten wir eine Ebene, die die Ringfläche in zwei Punkten berührt, so muß sie auf den Meridianebenen der beiden Punkte senkrecht stehen, was zu zwei Möglichkeiten führt. Entweder steht die Ebene auf der Rotationsachse senkrecht, dann berührt sie die Fläche längs eines Parallelkreises, dessen Radius offenbar gleich dem Abstande des rotierenden Kreismittelpunktes von der Achse ist; es giebt zwei solche Ebenen. Oder beide Berührungspunkte liegen in der nämlichen Meridianebene, ihre Verbindungslinie berührt also jeden der beiden in der Meridianebene liegenden Kreise; die gemeinte Tangentialebene steht dann in dieser Linie senkrecht zur Meridianebene.

537. Eine die Ringfläche doppelt berührende Ebene schneidet aus ihr zwei Kreise aus. Fig. 343 stellt eine Ringfläche mit vertikaler Achse dar; die Berührungspunkte J und K der Doppeltangentialebene E mögen in der zu П parallelen Meridianebene liegen, so daß also die Doppeltangentialebene auf П, senkrecht steht. Eine beliebige Horizontalebene schneidet aus der Ringfläche zwei Parallelkreiser, und r2 und aus E eine Hauptlinie h aus; die Kreise r, und r, treffen h in vier Punkten P1, P, resp. P, P3, die der Schnittkurve angehören. Ist H der Schnittpunkt von h mit der Ebene des Hauptmeridians k, und setzen wir PH = Y1, P2H = y2, P2H = y3, PH = y, so ist:

wo 2r den Durchmesser von k bedeutet. Zum Beweise benutzen wir noch den Mittelpunkt M der Ringfläche, den Mittelpunkt N von k, die senkrecht über M resp. N in der genannten Horizontalebene liegenden Punkte U und und die Schnittpunkte S und T von k mit r1 resp. 72. Es folgt dann einerseits aus der Figur:

(P1 U)2 — (HU)2 = (d + VS)2 — (HU), wo :d = NM ist,

Andererseits ist das Produkt der Potenzen des Punktes Hin Bezug auf die beiden Parallelkreise r, und r, gleich dem Produkt der

In Verbindung mit der ersten Gleichung kommt:
(y1- Y2)2= 4r2, oder y12 = 2r.

Die Punkte P1, P3, J und K gehören einem Kreise i an, denn es ist: HJ. HK = y, ys; sein Mittelpunkt liegt auf den Mittelsenkrechten der Sehnen JK und PP; d. h. in O, wenn MO M'O' = r = ΜΟ ist. Dieser Kreis ist durch J, K und seinen Mittelpunkt O bestimmt und ist demnach unabhängig von der Wahl der Geraden h und der Punkte P, und P, auf ihr. Daraus geht hervor, dass i den

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einen Teil der Schnittkurve der Ebene E mit der Ringfläche bildet; der zu i in Bezug auf die Hauptmeridianebene symmetrische Kreis j bildet den anderen Teil. Die Projektion des Kreises i ist eine Ellipse, deren große Achse 2d und deren kleine Achse = A'B′ = 2 MJ = 2√ď — 72 ist, und von der M' einen Brennpunkt darstellt; denn man hat: M'P1' + M'P' = M'S' + M'T' = 2d.

Die Ringfläche kann hiernach auch durch Rotation eines Kreises um eine gegen seine Ebene geneigte Achse erzeugt werden; die Projektion des Kreises auf eine zur Achse senkrechte Ebene liefert dann eine Ellipse,

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gegen П1 geneigt, dann wählen wir Пa, so daß der Umriß in П von zwei Kreisen und ihren gemeinsamen parallelen Tangenten gebildet wird. Der Umriß in П, kann dann, wie bei jeder Rotationsfläche, durch das Kugelverfahren gefunden werden. Ist nämlich B ein Punkt des Hauptmeridians

k

Fig. 344.

und trifft die zugehörige Normale die Achse a in J, so berührt die Kugel mit dem Mittelpunkte J und dem Radius JB die Fläche längs des Parallelkreises durch B. Der zu П parallele größte Kreis der

Kugel erscheint als ihr Umriß, er trifft den genannten Parallelkreis in zwei Punkten D und E, die dem gesuchten Umriss der Ringfläche angehören (J"D'' || x, J'D' = J'E' = J''B'"). Die Kugel mit dem Mittelpunkte K und dem Radius KC liefert analog die Punkte F und G (F"K" || x, K'F' = K'G' = K′′C'). Die Kreise mit den Mittelpunkten resp. K' berühren den Umriss u' in den Punkten D', E resp. F, G', die Geraden J'D', J'E, K'F', K'G' sind also Normalen der Kurve u'.

Dem soeben geschilderten Verfahren, das bei allen Rotationsflächen anwendbar bleibt, läßt sich speziell bei der Ringfläche die folgende Betrachtung zur Gewinnung des Umrisses gegenüberstellen. Die Normalen der Ringfläche in den Punkten eines Meridiankreises gehen durch dessen Mittelpunkt, der horizontale Durchmesser dieses Kreises trägt also seine beiden, dem Umrisse angehörigen Punkte, da die zugehörigen Tangentialebenen zu П, senkrecht stehen. Der bei der Rotation um die Achse beschriebene Bahnkreis c des Mittelpunktes O von k wird von allen Normalen der Ringfläche getroffen, und zwar steht c auf den Normalen senkrecht. Da sich aber ein rechter Winkel mit einem zu П1 parallelen Schenkel wieder als rechter Winkel projiziert, so projiziert sich der horizontale Durchmesser jedes Meridiankreises auf П, als Normale der Ellipse c'. Trägt man auf allen Normalen der Ellipse c' nach beiden Seiten die Strecker gleich dem Radius von k auf, so erhält man den Umriss u'.

u' besteht aus zwei getrennten Teilen, die ebenso wie c' vierfach symmetrisch sind; man nennt u eine zu c' parallele oder äquidistante Kurve. Eine Kurve und eine zugehörige äquidistante Kurve haben dasselbe Normalensystem und somit die gleiche Evolute; umgekehrt sind alle zu der gleichen Kurve gehörigen Evolventen parallele Kurven, sie werden von den Punkten einer Geraden beschrieben, die auf jener Kurve ohne zu gleiten abrollt. Die Evolute d der Ellipse c' besitzt den vier Scheitelpunkten von c' entsprechend vier Spitzen in den zugehörigen Krümmungsmittelpunkten (449). In der Figur ist nur einer der vier symmetrischen Teile von d verzeichnet, er endigt in den Spitzen S und S. Wo die Evolvente u auf die Evolute d auftrifft, besitzt sie eine Spitze und steht auf d senkrecht, so z. B. in H'; dieser Punkt bestimmt sich auf der Evolute, indem man den Kurvenbogen II'S, von d gleich S,T' SO'—r macht. Aus Hergiebt sich einfach der Punkt H auf der Fläche.

=

539. Die Lichtgrenze auf der Ringfläche kann ebenfalls vorteilhaft durch das Kugelverfahren gefunden werden (Fig. 344). Sind und l' die

Projektionen eines Lichtstrahles, so bestimme man zunächst seine Projection " auf eine zu a senkrechte Ebene E ihre zweite Spurlinie sei e und drehe diese um die zu e, parallele Gerade der Hauptmeridianebene parallel zu П, so erhält man l (L=1x E, L'L。 1 e2, L′′L ̧ = (L' - a')). Betrachtet man nun die Kugel mit dem Mittelpunkte Kund dem Radius KC, so bildet ihr größter Kreis in einer zu senkrechten Ebene die Lichtgrenze auf ihr, und die Schnittpunkte dieser Ebene mit dem Parallelkreise durch C sind Punkte der Lichtgrenze auf der Ringfläche. Die Ebene der Lichtgrenze auf der Kugel schneidet die Hauptmeridianebene in einer zu

senkrechten Geraden KN, und die Ebene des Parallelkreises in einer zu " senkrechten Geraden durch N; letztere enthält die gesuchten Punkte. Durch Paralleldrehen dieser Ebene zu П2 geht der Parallelkreis in über und die Gerade wird senkrecht zu l (N"PoQ); dreht man die Schnittpunkte P, Qo von Gerade und Kreis wieder zurück, so sind P", Q" die Aufrisse der gesuchten Punkte, deren Grundrisse daraus folgen ((P'a') = P ̧P", (Q′ − a) = 22). In der Figur ist die Lichtgrenze nicht eingezeichnet.

Der Schlagschatten der Ringfläche auf die Horizontalebene ist hiernach punktweise zu bestimmen, indem man die Punkte der Lichtgrenze Schatten werfen läßt. Über die Form dieses Schlagschattens läßt sich folgendes bemerken. Der Schatten der Ringfläche auf eine zur Lichtrichtung senkrechte Ebene ist eine äquidistante Kurve zu der Schattenellipse des Bahnkreises e von O; es gelten dafür die gleichen Gründe wie bei u'. Der Schatten der Ringfläche auf eine beliebige Ebene ist also eine affine Kurve zu jener äquidistanten Kurve.

540. Eigen- und Schlagschatten einer Ringfläche mit vertikaler Achse (Fig. 345). Jede Kugel, die einen Meridiankreis der Ringfläche zum größten Kreise hat, berührt sie längs desselben, so daß die Ringfläche als Hüllfläche eines Systems von gleichen Kugeln erscheint, deren Mittelpunkte auf einem Kreise liegen. Nun wähle man eine Kugel K, deren Mittelpunkt M mit dem der Ringfläche zusammenfällt und deren Radius dem der Meridiane gleich ist. Eine beliebige Meridianebene schneidet alsdann Kugel und Ringfläche in drei gleichen Kreisen, deren Mittelpunkte M, B und C sein mögen (MB = MCd, CMB a). Durch Verschiebung des Kugelkreises in seiner Ebene in einer zur Achse a senkrechten Richtung um die Strecke d nach der einen oder anderen Seite hin geht derselbe in die bezüglichen Kreise auf der Ringfläche über. Nennen wir zwei Punkte, die hierbei zur Deckung kommen, kurz homologe

ROHN u. PAPPERITZ. II.

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