in

Durch Drehung um a kann die Meridiankurve durch P in m übergeführt werden, dabei geht P in P, und die zugehörige Tangente to über; durch Zurückdrehen gewinnt man den Spurpunkt T1 (T1A = T',′′A′′) und damit die Spurlinien e und e2 der gesuchten Tangentialebene. Um Punkte der Schnittkurve s zu zeichnen, ziehe man irgend eine Horizontalebene, die E in einer Hauptlinie und die Fläche in einem Parallelkreise schneidet, in П, findet man dann direkt Punkte der Projektion der Schnittkurve, deren Aufriẞ dadurch ebenfalls bekannt ist. Die Projektionen von s berühren die bezüglichen Umrisse; der Punkt P ist ein Doppelpunkt von s. Die zu E senkrechte Meridianebene ist selbstverständlich Symmetrieebene von s, in ihr liegt der tiefste Punkt Q von s. Um Qauft zu bestimmen, bedenke man, daß er durch Drehung in Qo geht (QA (Q" — a′′)).

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to X m über

Auch die Meridianebenen kann man zum Aufsuchen der Punkte von s benutzen, indem man durch Drehung um a die Meridiankurve in die Lage m bringt und zugleich die Schnittlinie von Meridianebene und von E mitdreht; ihre Schnittpunkte mit m sind dann wieder zurückzudrehen. Diese Konstruktion läßt sich auch noch verwenden, wenn die Achse der Rotationsfläche nur zu П2 parallel ist, ohne zu П, senkrecht zu sein.

Um die Tangente von s im Punkte R zu zeichnen, bringen wir E mit der Tangentialebene im Punkte R unserer Fläche zum Schnitt, die ersten Spuren beider Ebenen schneiden sich im Spurpunkte U der gesuchten Tangente. Die erste Spur der Tangentialebene geht durch den Punkt auf R'A und ist zu R'A senkrecht, dabei ist V"A" = V ̧"A" und R."V" eine Tangente von m" (R"R" || x). Über die Tangenten im Doppelpunkte P von s vergl. 550.

532. Zur Konstruktion der Durchdringungskurve einer Rotationsfläche mit einer anderen Fläche läßt sich im allgemeinen nur das in 504 Gesagte wiederholen. Als Hilfsebenen wird man die Ebenen durch die Parallelkreise der Rotationsfläche wählen können. Diese Ebenen sind dann mit der zweiten Fläche zum Schnitte zu bringen. und diese Schnittkurven mit den bezüglichen Parallelkreisen zu schneiden. Die ebenen Schnittkurven brauchen dabei nicht in ihrer ganzen Ausdehnung gezeichnet zu werden, sondern nur in der Nähe des schneidenden Parallelkreises.

Die Aufgabe, die Durchdringungskurve zweier Rotationsflächen mit sich schneidenden Achsen zu zeichnen, läßt sich einfach lösen, wenn man die Ebene der beiden Axen als Hilfsprojektionsebene benutzt. Jede Kugelfläche um den Schnittpunkt

der beiden Achsen als Mittelpunkt schneidet beide Rotationsflächen in Parallelkreisen, deren Schnittpunkte der Durchdringung angehören. Die Parallelkreise projizieren sich auf die Ebene der beiden Achsen als Geraden; diese Ebene schneidet die beiden Flächen in Meridiankurven und die angenommene Kugel in einem größten Kreise; die Schnittpunkte dieser Kurven mit dem Kreise liegen aber auf jenen Parallelkreisen, die hiernach bestimmt sind. Die Durchdringungskurve ist zur Ebene der Achsen symmetrisch.

533. Eigen- und Schlagschatten einer Rotationsfläche, deren Achse senkrecht zum Grundrisse ist (Fig. 342). Die

zu П parallele Meridiankurve sei m, also m" der Umriß in П, der Umriss in П, wird von dem Kreise a' gebildet. Die Kreise b und c mögen die Fläche begrenzen, die wir uns hohl vorstellen wollen. Die Projektionen des Lichtstrahles seien und l'. Die Kurve u der Lichtgrenze auf der Fläche liegt symmetrisch zu der

Meridianebene, die dem Lichtstrahle parallel ist. Um nun auf einer beliebigen Meridiankurve n, deren Grundriss die Gerade n' bildet, die Punkte von u zu bestimmen, legen wir durch eine Ebene senkrecht zur Meridianebene, die sie in NC schneidet (I'N'n' und LN || П1). Nach 527 werden die Berührungspunkte der Tangenten von n, die zu NC parallel laufen, der Kurve u angehören. Durch Drehung der Ebene von n in die Ebene des Hauptmeridians, geht n in m und NC in NC über (N"B" = N'C); sind dann P" und Q" zwei Punkte auf m", deren Tangenten zu N."C" parallel sind, so erhält man durch Zurückdrehen der genannten Ebene zwei Punkte P und Q von u (PC = P"D", Q'C = Q′′E", P ̧,"P" || x || Q."Q"). Eine genügende Anzahl von Punkten von u gewinnt man leicht durch wiederholte Anwendung des geschilderten Verfahrens (Cylinderverfahren); dabei liefert die obengenannte Symmetrie von u zu jedem Punkte einen zweiten, z. B. P und R (P′C = R′C, ▲ P'CL' = ▲ RCL'). Die Schnittpunkte von u und m erscheinen als Berührungspunkte von u" und m", daselbst sind die gemeinsamen Tangenten zu l' parallel. Der höchste und tiefste Punkt der Kurve u liegen in der Symmetrieebene; sie gehören den beiden Parallelkreisen an, die m in Punkten treffen, deren Tangenten zu LC parallel sind (L"B" = L'C). Die Punkte von u in der zur Symmetrieebene senkrechten Meridianebene liegen auf dem Kreise a, dessen Projektion a' den scheinbaren Umriẞ bildet, so daß sich u' und a' in diesen Punkten berühren.

Auch auf einem beliebigen Parallelkreise, etwa d, findet man leicht die beiden Punkte von u, indem man das Kegelverfahren anwendet (vergl. 527). Trifft d die Meridiankurve m in Po und trifft die Tangente von m in P, die Achse in S, so ist S der Scheitel und d die Basiskurve eines Rotationskegels, dessen Lichtgrenze durch die nämlichen Punkte P und R von d geht wie u. Wir ziehen also durch S einen Lichtstrahl, der die Ebene von d in 7 schneidet, die Tangenten von T an d liefern die gesuchten Punkte P und R and (S''T'' || '', T' auf 1, TP und TR' tangieren ď).

Ist P."U"P"S", so ist der Punkt U der Rotationsachse der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius P"U", die unsere Fläche längs des Kreises d berührt. Da die Punkte der Lichtgrenze nur von den zugehörigen Tangentialebenen abhängen, die Kugel und die Rotationsfläche aber längs des gemeinsamen Kreises d gleiche Tangentialebenen aufweisen, so schneiden die Lichtgrenzen beider Flächen den Kreis in den nämlichen beiden Punkten P und R. Die Lichtgrenze der Kugel bildet aber einen grössten Kreis, dessen Ebene zu senkrecht ist; diese Ebene trifft also d in den gesuchten

Punkten; sie liegen demnach auf der Schnittlinie jener Ebene mit der Ebene von d (U''V" l', U'V' = CV' || x, PRII, V' auf PR'). Dies ist das Kugelverfahren.

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534. Die Schlagschattengrenze u unserer Fläche auf die Horizontalebene bestimmt sich punktweise aus den Projektionen der Punkte von u. Läßt man eine Anzahl von Parallelkreisen Schatten werfen, so erscheint u als gemeinsame Hüllkurve derselben. Die Berührungspunkte eines Schattenkreises d mit u, und die Tangenten in diesen Punkten ergeben sich nach dem vorher Gesagten leicht. Ist nämlich & die Spitze des Kegels, der die Rotationsfläche längs d berührt, so sind die Tangenten aus S an d die gesuchten Tangenten und ihre Berührungspunkte zugleich die von d und u. Auf der Fläche freilich schneiden sich u und die als Lichtgrenze des genannten Kegels auftretenden Mantellinien; aber eine solche Mantellinie und die bezügliche Tangente von u liegen in einer zum Lichtstrahle parallelen Ebene, ihre Schatten decken sich also. Es decken sich demnach auch der Schatten der Tangente in einem Punkte von u mit dem Schatten der Tangente an den Parallelkreis durch diesen Punkt. Somit ist die Tangente in einem Punkte von u, etwa R1, parallel zur Tangente von d in R', oder senkrecht zu CR.

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Die Schatten der Parallelkreise berühren u in zwei zu symmetrischen Punkten. Für den tiefsten Punkt G von u (und ebenso für den höchsten) fallen diese Berührungspunkte zusammen; d. h. G ist ein Scheitelpunkt von u, und der Schatten des durch G gehenden Parallelkreises ist der zugehörige Krümmungskreis.

Der Schlagschatten u auf П, besitzt vier Spitzen, sie bilden nach 529 die Schatten derjenigen Punkte von u, deren Tangenten Haupttangenten der Rotationsfläche und dem Lichtstrahle parallel sind. Einen solchen Punkt findet man, indem man an u und u" Tangenten parallel resp. ' zieht; zu jedem Berührungspunkte, auf u etwa J', gehört senkrecht darüber liegend ein Punkt, auf u" etwa J", dessen Tangente zu l' parallel ist. Die Bestimmung der Punkte J' und J" kann nach 432 vorgenommen werden, sie müssen auf dem nämlichen Parallelkreise und auf einer Senkrechten zur x-Achse liegen, was als Kontrole benutzt werden kann. Die Tangente in einer Spitze von u, etwa J, ist senkrecht zu J'C.

Weitere Konstruktionen der Punkte von u mit zum Lichtstrahle parallelen Tangenten finden sich in 554.

In dem in der Figur dargestellten Falle besitzt u, zwei Doppelpunkte K und 0, und die beiden sie verbindenden Kurvenbogen. schließen ein beleuchtetes Stück von T, ein, das allerdings nicht

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sichtbar ist. Von den Punkten M und J auf u

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und ebenso von den dazu symmetrischen Punkten gehen Schlagschatten aus, die daselbst u berühren. Einzelne Randpunkte dieser Schatten gewinnt man, indem man die Schatten einzelner Parallelkreise auf П1 mit zum Schnitte bringt und von diesen Punkten in der Lichtstrahlrichtung bis zu den betreffenden Parallelkreisen auf der Fläche zurückgeht. Der von M ausgehende Schlagschatten u* liegt auf der Innenseite der Fläche, d. h. auf der der Achse zugewendeten Seite; die Projektion seiner Begrenzung berührt den Umriß a' und trifft u in K*, wo seine Tangente parallel ist (KK* || 7). Der von J ausgehende Schatten liegt auf der Außenseite der Fläche und trifft c in dem gleichen Punkte wie JM.

Den Schlagschatten b* des Randes b auf die Fläche findet man durch Aufsuchen des Schattens von b auf einzelne Parallelkreise; dabei benutzt man wieder die Schatten dieser Kreise und des Randes auf П1. Die Tangenten vou * in ihren Schnittpunkten mit u sind zu parallel. Der höchste Punkt des Schattens * liegt in der zum Lichtstrahl parallelen Meridianebene, ist also der Schatten des Punktes F auf die bez. Meridiankurve. Durch Drehung dieser Ebene parallel zu П rücken F und der gesuchte Schatten auf m und der sie verbindende Lichtstrahl wird parallel LC.

Die Konstruktion der Tangenten in einem beliebigen Punkte der Lichtgrenze wird in 551 gegeben.

535. Ist die Lichtgrenze auf einer Rotationsfläche bei centraler Beleuchtung zu suchen, so erleiden die behandelten Methoden, Kegel-, Kugel- und Cylinderverfahren, kleine, leicht einzusehende Abänderungen. Diese mögen kurz skizziert werden im Hinblicke auf Fig. 342, ohne die Konstructionen in einer neuen Figur wirklich durchzuführen. Auf einer Meridiankurve erhält man die Punkte der Lichtgrenze u, indem man von dem leuchtenden Punkte L ein Lot auf die Meridianebene fällt und von seinem Fußpunkte die Tangenten an die Meridiankurve zieht, was wiederum durch Drehen ihrer Ebene parallel zu П, geschieht.

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Die Punkte der Lichtgrenze u auf einem Parallelkreise ergeben sich nach dem Kegelverfahren, indem man die Spitze des Kegels auf seine Basisebene Schatten werfen läßt; die Berührungspunkte der von ihm an den Basiskreis gelegten Tangenten sind die gesuchten Punkte.

Die Ringfläche.

536. Rotiert ein Kreis um eine in seiner Ebene liegende Gerade, so entsteht die Ringfläche. Schneidet die Achse der Fläche den