chung endlich ist auch periodisch, hat aber eine weit längere Periode als jene Ungleichheiten.

Ich komme jetzt auf einen alten Satz, gegen dessen Logik wohl Niemand etwas wird einwenden können. Dieser Satz sagt in Bezug auf jedes System von Gleichungen, also auch in Bezug auf das oben beschriebene, und hier in Betracht kommende System von linearischen Gleichungen: »Je grössere Verschiedenheiten die Coefficienten der Unbekannten, in Vergleichung mit einander, in den verschiedenen Gleichungen darbieten, desto grössere Sicherheit bietet dieses System von Gleichungen in der Bestimmung der Unbekannten, die es enthält, dar; und im Gegentheil, je geringere derartige Verschiedenheiten vorkommen, desto geringere Sicherheit gewährt diese Bestimmung.«<

Nun haben wir aber eben gesehen, dass die Coefficienten der Verbesserungen des Mondhalbmessers, der Variation und der parallactischen Ungleichheit in jeder Hälfte der Lunation, in den verschiedenen Punkten der Mondbahn, die grössten Verschiedenheiten von einander darbieten, und folglich lassen sich diese beiden Unbekannten aus dem oben beschriebenen System von linearischen Gleichungen mit Sicherheit bestimmen.

Diese Schlussfolge ist nun zwar das Entgegengesetzte der oben angeführten Newcomb'schen, aber ich hege dennoch die Hoffnung, dass Herr Newcomb in deren Ableitung keinen Verstoss gegen die Logik wird finden können.

Da nun der Coefficient des in Rede stehenden Factors, zufolge der vorhergehenden Darstellung des ersten Verfahrens, in seinen Haupttheilen der Summe der oben genannten Ungleichheiten, nebst der jährlichen Gleichung, entspricht, während der Factor, welcher die Verbesserung der in den Störungsrechnungen angewandten Sonnenparallaxe bestimmt, blos der parallactischen Gleichung nahezu folgt, so lässt sich jeder dieser beiden Factoren sicher bestimmen, und sie sind nur mit der Unsicherheit behaftet, die von den unvermeidlichen Beobachtungsfehlern herrührt, und womit jede unserer Bestimmungen von Daten, die in der Natur stattfinden, unabwendlich behaftet ist. Im gegenwärtigen Falle, wo das oben beschriebene zweite Verfahren sehr nahe denselben Werth des fraglichen Factors gegeben hat, lässt sich schliessen, dass die Beobachtungen selbst, und die grosse Anzahl derselben, die angewandt worden ist, hinreichende Genauigkeit besitzen, um ihrerseits die Genauigkeit,

die überhaupt durch die angewandten Gleichungen erreicht werden kann, nicht in Frage zu steilen.

Herr Newcomb, welcher in seinem Aufsatze die Logik in den Vordergrund stellt, schliesst denselben mit den Worten: >>The hypothesis (nemlich die von mir erklärte und hier besprochene Theorie der Figur des Mondes) is therefore devoid of logical foundation.« Nach den vorstehenden Auseinandersetzungen überlasse ich Jedem die Beurtheilung dieses absprechenden Ausspruchs.

Ich komme nun zu dem Eingangs erwähnten Aufsatze von Delaunay, dessen Erläuterung sich mit wenigen Worten geben lässt. Herr Delaunay referirt über den Aufsatz (von Newcomb, findet keine Veranlassung gegen dessen Inhalt Bedenken zu erheben, sondern meint vielmehr, ohne weitere Gründe hinzuzufügen, dass meine Theorie durch den Aufsatz von Newcomb sehr erschüttert (fortement ébranlée), wo nicht gar vollständig vernichtet (tout à fait anéantie) worden sei. »Schnell fertig ist man mit dem Wort.« Nun, da Herr Delaunay den eben wiederholten Satz blos ausgesprochen und gar keinen Versuch zu dessen Begründung unternommen hat, so brauche ich mich in Bezug darauf blos auf das Vorhergehende zu beziehen.

Im Uebrigen vergleicht Herr Delaunay den Mondkörper mit dem Erdkörper, spricht sich dahin aus, dass dort dieselben Umstände stattfinden müssen wie hier, nimmt an, dass der Mond durch allmäliche Erkaltung vom flüssigen Zustande in den festen übergegangen sei, und kommt endlich auf den Schluss, dass »la surface du globe s'éloigne fort >>>peu de la surface de niveau que les eaux déterminent.<< Herr Delaunay scheint zur Zeit, wo er diesen Aufsatz schrieb, ganz vergessen zu haben, was zwei mit Recht hoch berühmte frühere Mitglieder der Academie, von welcher er jetzt ein Mitglied ist, Lagrange und Laplace, in Bezug auf die Figur des Mondes ermittelt haben. So sagt Laplace unter anderm nach der Entwickelung der Theorie des Mondkörpers in der Mec. cél. Livre V, pag. 370 (der alten Ausgabe) »d'où il suit que la lune n'est pas >>homogène, ou qu'elle est éloignée d'avoir la figure qu' elle pren»drait, si elle était fluide« und eben daselbst pag. 372 »la lune >>n'a donc point la figure d' équilibre qu' elle aurait prise, si elle »avait été primitivement fluide.« Die Bezugnahme auf die Schrif

ten der eben genannten Gelehrten, Lagrange und Laplace, genügt vollständig, um dem Aufsatz des Herrn Delaunay seinen richtigen Platz anzuweisen.

Ich kann diesen Aufsatz nicht schliessen ohne über die Mondtheorie im Allgemeinen etwas zu sagen. Die sogenannte analytische Entwickelung der Mondstörungen, oder die Darstellung derselben durch Reiben, die nach den Potenzen des Verhältnisses der mittleren Bewegungen des Mondes und der Erde fortschreiten, die von Mehreren, auch von Delaunay, versucht worden ist, muss als ein unlogisches Verfahren bezeichnet werden, da die Convergenz dieser Reihen nicht bewiesen ist, und nicht bewiesen werden kann. Dass wenigstens einige dieser Reihen divergiren, habe ich schon früher gezeigt, und in Folge dessen ist es mehr als wahrscheinlich, dass die übrigen Reihen, die von diesen divergirenden Reihen mit abhängen, zum Wenigsten Reiben sind, durch welche man nicht jede gewünschte Genauigkeit erhalten kann. Sollten diese Reihen in der That convergiren, so ist ihre Convergenz jedenfalls sehr schwach. Nun ist es aber bekannt, dass wenn man eine schwach convergirende Reihe bei einem Gliede abbricht, welches an sich klein ist, und welches ich das Ende nennen will, der Rest der Reihe viel grösser sein kann, wie dieses Endglied.

Bis jetzt giebt es nur zwei Verfahrungsarten zur Berechnung der Mondstörungen, die als logisch richtig bezeichnet werden können, nemlich die Methode der unbestimmten Coefficienten, ohne Auflösung der Nenner in Reihen, welche Laplace und Damoiseau angewandt haben, und die Methode der successiven Annäherungen der numerischen Werthe, die fortgesetzt werden muss, bis die Resultate zweier auf einander folgenden Annäherungen mit einander übereinstimmen, oder wenigstens nur unbedeutend von einander abweichen; es ist dieses das Verfahren, welches ich zuerst angegeben und angewandt habe. Das zweitgenannte Verfahren ist schon um deswillen dem erstgenannten vorzuziehen, weil man dabei jede überflüssige Combination vermeiden und sich stets durch Controlen der richtigen Ausführung der numerischen Rechnungen versichern kann. Dahingegen geräth man, bei der Anwendung der Methode der unbestimmten Coefficienten auf die Berechnung der Mondstörungen auf den unangenehmen Umstand, dass man nicht soglech die Wirkung

der verschiedenen Combinationen auf die Bestimmung der unbekannten Coefficienten beurtheilen kann, und daher Gefahr läuft, entweder Combinationen zuzuziehen, die sich schliesslich als unmerklich ausweisen, oder Combinationen wegzulassen, die merklichen Einfluss haben. Damoiseau's Entwickelungen bieten Beispiele beider Arten dar. Auch ist zu erwägen, dass diese Methode auf Gleichungen höherer Grade führt, die in einander verflochten sind, und deren schliessliche Auflösung nicht ohne Schwierigkeiten ist.

Die Bestimmung der Coefficienten derjenigen Mondstörungen, die kurzer Periode angehören, kann jetzt als abgemacht betrachtet werden, aber nicht ebenso verhält es sich in Bezug auf die Störungen von langen Perioden, in Bezug auf welche immerhin möglich ist, dass bis jetzt noch etwas unentdeckt geblieben ist, welches Veranlassung geben kann, dass die Epoche in den Mondtafeln, nach wie vor, von Zeit zu Zeit einer Verbesserung bedürfen wird. Ja es kann nicht einmal zu den Unmöglichkeiten gezählt werden, dass noch unbekannte Kräfte, oder solche, die sich jetzt noch der Möglichkeit der Berechnung entzogen haben, auf den Mond einwirken. Niemand weiss dieses bis jetzt! und Niemand kann das Gegentheil davon beweisen!

Ich habe mir zur Ermittelung der Ungleichheiten langer Periode in der Bewegung des Mondes die grösste Mühe gegeben; eine grosse Anzahl derjenigen Argumente untersucht, von welchen vermuthet werden konnte, dass sie nicht unmerkliche Coefficienten haben würden; ich habe diese Untersuchungen wiederholt zu verschiedenen Zeiten während der Bearbeitung der Mondtafeln aufgenommen, und eine Anzahl von Gliedern erhalten, deren Coefficienten nicht ganz unmerklich sind. Von diesen habe ich die ganz kleinen, die nur sehr geringe Wirkung ausüben können, weggelassen, die grösseren aber den Tafeln einverleibt. Anders kann Niemand es machen, und es muss abgewartet werden, ob es Jemand gelingt, etwas wesentlich Neues in dieser Beziehung zu finden. Bis jetzt hat von einer solchen Auffindung noch gar nichts verlautet.

Herr Newcomb hat vor einiger Zeit einen Aufsatz über die Störungen langer Periode veröffentlicht, aber in diesem Aufsatze ist kein Anknüpfungspunkt zu weiteren Entdeckungen in dieser Theorie zu finden.

0. Schlömilch, Ueber die stereometrischen Analoga zum Fagnano'schen Satze.

Für die Halbaxen a, b, c eines Ellipsoides möge die Rangordnung a>b>c gelten, ferner sei zur Abkürzung

die Complanation irgend eines Theiles der Ellipsoidfläche führt dann bekanntlich auf das Doppelintegral

dessen Grenzen von der Begrenzung des zu quadrirenden Flächenstückes abhängen. Durch den Umstand, dass schon das erste auf y bezügliche Integral einen Ellipsenbogen darstellt, hat sich Legendre {Traité des fonctions elliptiques, T. I, p. 350) von dem weiteren Gebrauche der rechtwinkligen Coordinaten x, y abschrecken lassen; führt man dagegen die Rechnung wirklich aus und benutzt hierbei das Additionstheorem für die elliptischen Integrale zweiter Art, so gelangt man zu dem Resultate, dass dem Fagnano'schen Satze für die Ellipse unendlich viele analoge Theoreme für das Ellipsoid entsprechen.