System von linearischen Gleichungen, von welchem eben die Rede war, habe ich in jeder Gleichung auch das Glied, welches den allgemeinen Factor der Ungleichheiten enthält, den das eben angeführte Theorem verlangt, mit aufgenommen, und dessen numerischen Werth zugleich mit den numerischen Werthen der übrigen Unbekannten, oder deren Verbesserungen, durch die Methode der kleinsten Quadrate bestimmt. Ich meine, dass Niemand in diesem Verfahren etwas Unlogisches wird finden können. Auch selbst den Umstand, dass ich, wie man aus meinen früheren Veröffentlichungen weiss, bei der Berechnung der Unbekannten die eben erwähnten Bedingungsgleichungen in Gruppen getheilt habe, kann Niemand, der mit der Praxis bekannt ist, mir zum Vorwurf machen, da er so häufig angewandt wird, und angewandt werden muss, um die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ausführbar zu machen. Das erklärte Verfahren habe ich auf zwei von einander ganz unabhängige Beobachtungsreihen angewandt, nemlich auf die Greenwicher und die Dorpater Beobachtungsreihe, und jede dieser beiden Reihen hat für den in Rede stehenden Factor nahe gleiche Werthe gegeben. Ich bin noch weiter gegangen. In Bezug auf diesen Factor lassen sich die Einzelnheiten der Rechnung auf verschiedene Arten variiren, und um die möglichste Sicherheit in die Bestimmung desselben zu legen, habe ich mir die Mühe nicht verdriessen lassen, diese Bestimmung auf verschiedene Arten auszuführen. Jedes Mal habe ich diesen Factor grösser als Eins erhalten, wenn gleich der absolute Werth desselben, wie nicht anders erwartet werden konnte, aus den verschiedenen Bestimmungen desselben etwas verschieden ausfiel. Ich sage hiemit nichts Neues, da ich dieses schon vor dem Erscheinen der Mondtafeln öffentlich (in den Monthly Notices der R. A. S.) ausgesprochen habe. Auf diese Umstände gestützt, darf ich im Gegensatze zu den Herren Newcomb und Delaunay behaupten, dass ich den Unterschied zwischen dem Mittelpunkt der Figur des Mondes und dessen Schwerpunkt logisch begründet habe. Dieser Satz kann nicht durch blose Meinungsäusserungen umgestossen werden, sondern könnte nur dadurch bekämpft werden, dass man aus genaueren Beobachtungen, als die, welche mir zu Gebote standen, ein anderes Resultat gefunden hätte. Herr Newcomb spricht in seinem Aufsatze von der Evection, führt an, dass das Hauptglied dieser Ungleichheit mit der ersten Potenz der Excentricität der Mondbahn multiplicirt ist, und meint, dass ich dieses übersehen habe. Er benutzt diese Meinung zur Lobeserhebung der sogenannten analytischen Entwickelung der Mondstörungen, die von Einigen versucht worden ist, von welcher ich aber schon vor Jahren nachgewiesen habe, dass sie zum Theil auf divergirende, und im Uebrigen auf solche Reihen führt, die in dieser Beziehung zweifelhaft sind. Mein Verfahren hingegen, welches auf schnell convergirende Reihen führt, setzt er jenem nach. Es kommt mir vor, als wolle sich diese Ansicht des Herrn Newcomb nicht recht mit der Logik vertragen. In Bezug auf die Evection ist das Folgende hier zu bemerken. Wenn man die Elemente einer Planetenbahn verbessert, so betrachtet man das Differential der Mittelpunktsgleichung in Bezug auf die Excentricität als den Coefficienten der Verbesserung dieser, und bei den Planeten ist dieses auch in der Regel ausreichend, nur bei dem Neptun könnte eine Ausnahme nöthig werden. Bei der Verbesserung der Mondelemente ist dieses aber unzureichend, es muss vielmehr auch das Differential der Evection, wegen des beträchtlichen Werthes des Coefficienten derselben, in Bezug auf die Excentricität der Mondbahn mit in Betracht gezogen werden. Es reicht hiebei aus, den Quotienten des jedesmaligen Betrages der Evection durch diese Excentricität den Werthen des obengenannten Differentials der Mittelpunktsgleichung hinzuzufügen. So habe ich es gemacht, und ebenso haben es Andere auch schon früher gemacht; die Unterlassung dieser Hinzufügung würde die aus der Rechnung hervorgehende Verbesserung der Excentricität der Mondbahn wesentlich unrichtig machen. Ich habe dieses auch schon im Art. 15 meiner oben angezogenen Abhandlung über die Figur des Mondes durch die Worte angedeutet: »En vérité, pour compléter les expressions (25), il faut encore ajouter des termes dé– pendants de quelques inégalités lunaires, et du mouvement du périgée et du noeud, mais ici je ne parle pas de ces inégalités, je dirige seulement l'attention aux expressions (24), qu' on n'a pas considérées jusqu'à présent.<< Hier ist also allerdings etwas übersehen worden, aber nicht von mir, sondern von Herrn Newcomb, sein Haupteinwand gegen meine Logik fällt hiemit von selbst vollständig weg. Man bekommt auf die oben beschriebene Art schon von selbst den scheinbaren Werth, der Evection, und diese trennt sich von den Coefficienten des in Rede stehenden Factors von selbst ab; aber wenn man hieraus schliessen wollte, dass die Entfernung des Mittelpunkts der Figur des Mondes von dessen Schwerpunkt keine Wirkung auf die Evection ausübe, oder dass die theoretische Evection mit der beobachteten übereinstimme, so würde man einen grossen Fehler begehen. Sei e die wirklich stattfindende Excentricität der Mondbahn, so müssen alle Störungsglieder mit dieser Excentricität berechnet werden. Wenn also k den von den grossen Halbachsen und den mittleren Bewegungen des Mondes und der Erde abhängigen Theil des Hauptgliedes der Evection, und k', k", etc. die analogen kleineren Glieder, so wie e' die Excentricität der Erdbahn, und y den Sinus der halben Neigung der Mondbahn bezeichnen, dann bekommt der theoretische Werth der Evection den Ausdruck e (k +e2k' +e'2k" +y2k''' + etc.). Nennt man hierauf p den Factor der Ungleichheiten des Mondes, welcher durch die Entfernung des Mittelpunkts der Figur vom Schwerpunkt veranlasst wird, so ist der scheinbare, oder der durch die Beobachtungen sich darstellende Werth der Evection = pe (k +e2k' +e'2k" +y2k''' + etc.). Diese Werthe sind einander also nicht gleich, sondern verhalten sich zu einander wie 4 p, und ebenso verhält es sich mit allen Ungleichheiten der Mondbewegung.*) Die im Vorhergehenden beschriebenen Rechnungen bestimmen neben den andern nur durch Beobachtungen bestimmbaren Grössen, auch p und pe, womit schon alles erlangt ist, wessen man bedarf. Ich habe mich aber nicht damit begnügt, sondern, wie schon oben angeführt ist, die Bestimmung von p auch auf andere Arten ausgeführt. Meine zweite Bestimmung von p beruht auf den folgenden Grundsätzen. Nachdem, wie eben erklärt wurde, p und pe erhalten worden sind, kann man aus diesen Werthen e selbst berechnen. Dies vorausgesetzt, habe ich den so erhaltenen *) Dieser Aufsatz war schon längst niedergeschrieben, als ich Nachricht von einem neuen Aufsatze des Herrn Newcomb bekam, in welchem er auf den Schluss kommt: »>The theoretical evection will agree with that of observation, nothwithstanding a separation of the centers of gravity and figure of the moon.« Herr Newcomb hat also in der That den Fehler begangen, den ich oben supponirt habe, ohne zu ahnen, dass ihn irgend Jemand begehen könnte. Werth von e in die Evection substituirt, und die Wirkung dieser Substitution auf die schon gegebenen Unterschiede zwischen den Beobachtungen und den vorhergehenden Berechnungen berücksichtigt. In den auf diese Weise entstehenden neuen Bedingungsgleichungen muss selbstverständlich der Werth der Evection dem bisherigen Werthe des Coefficienten von p hinzugefügt werden, und die Auflösung dieser neuen Gleichungen gab eine zweite Bestimmung von p und pe, die sehr nahe mit der vorher erhaltenen übereinstimmte. Wenn man dieses Verfahren näher überlegt, so wird man finden, dass in dem Falle, in welchem die Anzahl der vorhandenen Gleichungen dieselbe ist, wie die Anzahl der unbekannten, daraus zu bestimmenden Grössen, diese beiden Bestimmungen auf identische Werthe der Unbekannten führen müssen. In dem Falle hingegen, welcher hier vorliegt, in welchem die Anzahl der Gleichungen grösser ist, als die der Unbekannten, verhält sich die Sache anders, hier kann man nur auf identische oder nahe identische Werthe kommen, wenn sich die betreffenden Unbekannten mit Sicherheit aus den gegebenen Gleichungen bestimmen lassen, und dieses wird desto mehr der Fall sein, je mehr die Anzahl der Gleichungen die der Unbekannten übersteigt. Noch grösser wird die Sicherheit, wenn, wie von mir geschehen ist, zwei von einander unabhängige Beobachtungsreihen angewandt werden. Man sieht hieraus, dass ich die Bestimmung des in Rede stehenden Factors nicht leicht genommen, sondern zur sicheren Bestimmung desselben mir alle erdenkliche Mühe gegeben habe. Der zuletzt erklärten Berechnungsart ist es zuzuschreiben, dass die in der Einleitung der Mondtafeln angegebene Evection der Anwendung des allgemeinen Factors mit unterliegt. Die grössten Ungleichheiten in der Mondbewegung sind ausser der Mittelpunktsgleichung und der Evection, die Variation, die jährliche Gleichung und die parallactische Gleichung. Diese drei Ungleichheiten sind alle in ihren Hauptgliedern von der Excentricität der Mondbahn unabhängig, und enthalten also nicht den Factor pe, sondern nur den Factor p; vermöge ihrer beträchtlichen Grösse sind sie für sich schon vollkommen geeignet, eine gute Bestimmung des fraglichen Factors zu gewähren. Hören wir, was Herr Newcomb darüber sagt. Es heisst in seinem Aufsatze wörtlich: »But the value of this perturbation (der Variation) has not been accurately determined from obser vation, because attaining its maxima and minima in the moon's octants, it is complicated with the moon's semidiameter and parallactic inequality.« Herr Newcomb wird gewiss behaupten, dass dieser Satz logisch richtig ist, aber ich muss gestehen, dass ich die Logik, die darin enthalten sein soll, nicht verstehen kann. Es ist mir unmöglich zu begreifen, dass eine solche Verbindung oder Abhängigkeit zwischen dem Mondhalbmesser und der parallactischen Gleichung in den Octanten des Mondes bestehen soll, die die genaue Bestimmung der Variation verhindert. Betrachten wir das oben beschriebene System von linearischen Gleichungen, und nehmen an, dass man ausser den übrigen Unbekannten, die es enthält, auch den Coefficienten der Variation durch dasselbe bestimmen wolle. In allen einzelnen Gleichungen dieses Systems von Gleichungen ist der Werth des Coefficienten der Verbesserung des Mondhalbmessers fast derselbe, und nur geringer Veränderung unterworfen, denn er ist der Aequatoreal - Horizontal - Parallaxe des Mondes proportional. Er ist von der Conjunction bis zur Opposition positiv, und von da bis zur nächsten Conjunction negativ. Der Coefficient der Verbesserung der Variation hingegen ist periodisch, er ist dem jedesmaligen Werthe dieser Ungleichheit selbst proportional, die von einem negativen Maximum bis zu einem positiven stetig wächst, und von da bis zum selbigen negativen Maximum wieder abnimmt. Von der Conjunction bis zur ersten Quadratur ist dieser Coefficient positiv, und von da an bis zur Opposition negativ, während durch diesen ganzen Zeitraum hindurch der Coefficient der Verbesserung des Mondhalbmessers positiv bleibt, und seinen Werth wenig ändert; in der zweiten Hälfte der Lunation wiederholen sich diese Unterschiede zwischen den beiden in Rede stehenden Coefficienten in entgegengesetzter Reihenfolge. Der Coefficient der Verbesserung der parallactischen Ungleichheit ist zwar, gleichwie der des Halbmessers, von der Conjunction bis zur Opposition positiv, und von da bis zur nächsten Conjunction negativ, allein er ist periodisch wie der der Variation, geht von einem negativen Maximum stetig bis zu einem positiven, von da wieder stetig bis zum negativen Maximum und so fort. Er bietet also schon in jeder Hälfte der Lunation die bedeutendsten Verschiedenheiten, sowohl von dem des Halbmessers als von dem der Variation dar. Die jährliche Glei |