Abbildungen der Seite
PDF

24 J. J. Müller, Beobachtung, üb. D. Interferenz D. Lichtes etc.

absolute Verschiebungen herbeiführen. Dies scheint mir die Beobachtung der Fraunhofer'scben Interferenzen zweiter Classe zu leisten, wenn, unter Anwendung zweier Oeffnungen, die beiden Hälften des ebenen Wellenzuges in verschiedener Entfernung von den Oett'nungen identisch geschwächt werden. Mit Hülfe dieser neuen Methode und de« ihr verwandten Interferential-Refractois hoffe ich die wünschenswerthe Genauigkeit in den Messungen zu erzielen, welche den bisherigen Zahlen noch fehlt.

Leipzig, im Februar 1871.

M. W. Drobisch, Ueber Mittelgrössen und die Anwendbarkeil derselben auf die Berechnung des Steigens und Sinkens des Geldwerthes.

I.

Die von Cauchy in seinem Cours d'analyse algebrique (Preliminaires p. 17) aufgestellten und (Note II. p. 444 ff.) erwiesenen Formeln über die Mittel aus einer gegebenen Reihe von Grössen lassen sich sehr einfach auf folgende Weise ableiten , wobei sich noch zwei, wie es scheint, neue Formeln ergeben.

\. Ein Mittel aus einer Reihe von n Grössen Au A2, . . An heissl jede solche Grösse H, welche grösser als die kleinste und kleiner als die grösste unter ihnen ist. Diese Eigenschaft von H wird bezeichnet durch

H = M(Ai,A2,...An).

Hiernach ist also, wenn die Reihe der Grössen so geordnet ist, dass

Ai<A2<At . . . <A„,

H >At und <An.

Ob H blos grösser als A{, aber kleiner als alle übrigen Glieder der Reihe, oder ob es grösser als einige der kleinsten Glieder und kleiner als alle Übrigen ist, bleibt hierbei unbestimmt. Man wird aber ohne eine beschrankende Voraussetzung sagen können, dass H grösser sey als eine Anzahl k der Glieder der Reihe und kleiner als alle übrigen, wenn A- entweder die Einheit oder eine ganze positive Zahl bedeutet, die nicht grösser seyn darf als n— 1.

[ocr errors]

das harmonische Mittel aus den Grössen H,, a2, ... an, die Reciproke des arithmetischen Mittels aus den Grössen

—; wogegen die Reciproke des arithmetischen Mit

tels aus «|, n2, . . . a„ erhalten wird, wenn man in (?) »|, f/2,. • . «n = i setzt und 6,, b.2, . .. bn der Reihe nach mit Oj, n2). . . n„ vertauscht, was giebt

[ocr errors][ocr errors]

und woraus erhellt, dass die Reciproke des arithmetischen Mittels aus öj, «2j . . . a„ ein Mittel aus den Reciproken dieser Grössen ist.

Dieser Satz ist jedoch nur ein specieller Fall des allgemeinen, dass, wenn

H= M[AU A2, . . . AJ,

auch i-KÄ'i' — i)'

welcher Satz selbst wieder nur ein Corollar des Theorems [Cauchy p. i45), dass unter derselben Voraussetzung, wenn b eine beliebige positive oder negative Grösse, auch

fl*-jf(V, V, • • • V);

aber auch, unabhängig von diesem, unmittelbar daraus folgt, dass, wenn

Ai<A3<...<A„, folglich W>.4, und </<„,

[merged small][ocr errors]

,14 1

Und T > x > • • • > r ,sl

3. Sey zweitens

1 1 1

.4, = a,6', = a^, ... An = an6",

wo a(, aj, . . . an positive, bit bit . . . bn aber entweder positive oder negative, aber immer zeichengleiche Zahlgrössen bedeuten. Dann ist nach I) eine Anzahl k der Quotienten

H H H

1 J 1 a,»'' as**' aj"

grösser als 1, alle übrigen aber sind kleiner als 1. Dasselbe gilt aber auch noch von den Grössen, die man erhält, wenn man diese Quotienten der Reihe nach auf die Polenzen erhebt, deren Exponenten bezw. sind

a,&!, or262, . . . anbn,

wo o,, o2, . . . o, zeichengleiche Zahlgrössen bedeuten, wodurch sich also ergiebt

o,"«' oj"* ' ■ '" oft

Man kann dnher verlangen, dass // einen solchen Werth habe, für den das Product aus allen diesen Potenzen weder grösser noch kleiner als 1, sondern gleich 1 sey. Diess giebt unmittelbar

l j_ I i_

tt — (flj 'a2 '. . . a„ «j = M[al , <J2 ,...o„ ).

Sind hier at, a2, . . . or„ einander gleich, so wird

i i 1 L

II = (a1oJ...oB) = ,a2 ,o„ ).

Sind in (7) 6,, 6a, . . . bn sammtlich = 1, so wird

l

H = (a,. . . oB«»)n'+B^- ■-"» = M[aua^...an).
Sind Uberdiess ot, a2, . . . an einander gleich, so wird

ff = (oifl2.. .oB)" = M{aua2,. .. a„),
das geometrische Mittel.

4. Hiernach sind nun also die Formeln (t) und (7) hinreichend, um alle übrigen als specielle Fülle derselben aus ihnen abzuleiten. Dass zwischen den Formeln (1) bis (4) und denen unter (7) bis (10), von welchen (7) und (8) zu den Formeln Cauchi/s hinzugekommen sind, eine Analogie besteht, fällt in die Augen. Diess führt auf die Vermuthung, dass die eine Reihe dieser Formeln sich aus der andern wird ableiten lassen. Hierzu bedarf es nur der Zurückfuhrung einer der beiden Formeln (1) und (7) auf die andere; und diese ist einfach. Denn nach dem Salze,

« ZurückWeiter »