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Réciproque. Si deux triangles sont tels, que deux côtés du premier soient égaux à deux côtés du second, et qu'en méme temps le troisième côté du premier soit plus grand que le troisième côté du second, l'angle opposé à ce côté dans le premier triangle, sera plus grand que l'angle opposé à ce même côté dans le second triangle.

En effet, soient AB = DE, BC = EF, AC>DF, je dis que Fig. 3. l'angle B est plus grand que l'angle E. Car, si l'angle B était égal à l'angle E, les triangles ABC, DEF seraient égaux, et par conséquent AC serait égal à DF, ce qui est contre l'hypothèse. Si l'angle B était plus petit que l'angle E, AC serait plus petit que DF, en vertu de la directe, ce qui est encore contre l'hypothèse; donc l'angle B est plus grand que l'angle E. Donc, etc.

P R O POSITI ON IV.

Théorème. La ligne menée du sommet d'un triangle isoscèle au milieu de sa base, est perpendiculaire à cette base, et divise l'angle du sommet en deux parties égales. (Géom. Prop. XII, Schol.)

Réciproque. Si une ligne est perpendiculaire sur l'un des côtés d'un triangle, et qu'elle divise l'angle opposé en deux parties égales, elle passera par le milieu de la base, et le triangle sera isoscèle.

Soit AD cette perpendiculaire : d'après les conditions énon- Fig 4 cées, BDA = ADC, BAD = DAC; donc les deux triangles BAD, DAC sont égaux, comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun; donc DC = DB et BA= AC. Donc, etc. -

PRO POSITI ON V. * .

Théorème. Si d'un point situé horsd'une droite, on mène une perpendiculaire sur cette droite et différentes obliques à différens

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points de cette méme droite, la perpendiculaire sera plus courte que toute oblique. (Géom. Prop. XVI, Théor. 1°.) o Fig. 5. Réciproque. La plus courte des lignes que l'on puisse mener à une droite, d'un point situé hors de cette droite, est la perpendiculaire à cette droite. . - Soit AB la plus courte des lignes que l'on puisse mener du point A à la droite DE. Si AB n'était pas une perpendiculaire à DE, on pourrait en abaisser une telle que AC. On aurait, en vertu de la directe!, AC < AB, ce qui est contre l'hypothèse ; donc AB est perpendiculaire à DE. Donc, etc.

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Théorème. Deux obliques qui s'écartent également de la perpendiculaire, sont égales. (Ibid. Théor. 2°.) - Fig. 5. .. Réciproque. Deux obliques égales s'écartent également de la perpendiculaire. - - - - | Soient AC=AF et AB perpendiculaire à DE, je dis que CB = BF. La ligne par rapport à laquelle les écartemens BC, BF seront égaux, doit diviser également l'angle CAF. Si la perpendiculaire AB ne divise pas l'angle CAF en deux par, ties égales, soit AK la ligne qui opère cette division. Les angles AKC, AKF seraient égaux; donc la ligne AK serait perpendiculaire à DE. Donc ce ne peut être que par rapport à la perpendiculaire que les écartemens CB , CF seront égaux. Donc, etc. - - - - Corollaire. De là il suit que deux triangles rectangles qui ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle droit égal, sont égaux. Car on pourra toujours les concevoir disposés comnle

· le sont les triangles ABC, ABF · · · ·
- PRoPos 1T1oN vII.

Théorème. De deux obliques qui s'écartent inégalement de · la perpendiculaire, celle qui s'en écarte le plus sera la plus | longue. (Ibid. Théor. 3°.)

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- Réciproque. De deux obliques inégales, la plus longue s'écarte le plus de la perpendiculaire. . · · · · · · • Soient AB perpendiculaire à DE, et AG >AF, je dis que Fig. 5. l'on a BG > BF. Car si l'on pouvait avoir BG = BF, on aurait AG = AF, ce qui est contre l'hypothèse. Si l'on avait BG < BF, on conclurait AG<AF, ce qui est encore contre l'hypothèse ; donc BG > BF.Donc, etc. PRO POsITIoN V III. • - * , Théorème. Une droite perpendiculaire sur le milieu d'une autre, a tous ses points à égales distances des deux extrémités de celle-ci. (Géom. Proposit. XVII, 1°.). « 3 -· Réciproque. Si une droite a deux de ses points également distans des deux extrémités d'une autre droite, elle est perpendiculaire sur le milieu de celle-ci. · Car cette droite a deux de ses points communs avec la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une ligne. Donc, etc. .

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Théorème. Tout point situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite, est inégalement distant des deux extrémités de cette droite. | ( Ibid. 2°.) - · Réciproque. Si un point est inégalement distant des deux ertrémités d'une droite, il est situé hors de la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite.. · Car, s'il était sur cette perpendiculaire, il serait également distant des deux extrémités de la droite. Donc, etc.

- PR O POSITION X.

Théorème. Deux triangles rectangles sont égaux, lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun. (Géom. Prop.XVIII.)

Réciproque. Si deux triangles sont égaux, comme ayant deux côtés égaux chacun à chacun, ils sont rectangles.

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Car s'ils ne l'étaient pas, il s'ensuivrait que deux triangles obliquangles ayant deux, côtés égaux chacun à chacun, seraient égaux, et on sait que, pour ces triangles, on n'a pas ce caractère d'égalité. Donc, etc.

PROPOSITION XI.

Théorème. Dans un triangle équilatéral, tous les angles sont égaux. (Géom. Prop. XX, Cor. V.)

Réciproque. Si dans un triangle les trois angles sont égaux, ce triangle est équilatéral.

En effet, puisque C = A, on a AB= BC (Géom. Proposit. XIII.); de même, à cause de B = C, on a AC=AB ; donc AB= BC = AC. Donc, etc.

PROPOSITION XII.

Théorème. Langle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux intérièurs opposés.(Géom. Prop. XX, Cor.VI.)

Réciproque. Si un angle situé hors d'un triangle, a pour côté l'un de ceux du triangle, et s'il vaut la somme des deux angles intérieurs, l'un adjacent, l'autre opposé à ce côté, il aura pour second côté le prolongement du côté adjacent à l'un des angles et opposé à l'autre, c'est-à-dire qu'il sera extérieur au triangle.

Car, la somme ACB + B + A étant égale à deux angles droits, il en est de même de la somme BCD + BCA; donc la ligne ACD est droite. Donc, etc.

PROPOSITION XIII.

Théorème. Deux parallèles sont partout également distantes. (Géom. Prop. XXVII.)

Réciproque. Si deux lignes sont partout également distantes, elles sont parallèles.

Car, soient AB, CD deux lignes partout également distantes, c'est-à-dire, soit PQ = RS, PQ et RS étant deux Fig. s. perpendiculaires abaissées de deux points quelconques P et R de AB sur CD : menons la ligne QR ; les triangles PQR, QRS sont égaux ; donc l'angle PRQ = RQS; donc les droites AB, CD sont parallèles. Donc, etc.

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Théorème. Les côtés et les angles opposés d'un parallélogramme, sont égaux. (Géom. Prop. XXIX, Théor.)

Réciproque. Si, dans un quadrilatère, les côtés et les angles opposés sont égaux, cette figure est un parallélogramme.

1° Les côtés opposés étant égaux, les deux triangles CDB, BDA sont égaux; donc les angles CBD et BDA sont égaux, et BC est parallèle à DA; on démontrerait de même que AB et DC sont parallèles. \ ,

2° Soit ABCD un quadrilatère dans lequel on ait l'angle A=C, et l'angle B=D; on aura conséquemment A--B=C-+-D. Fig. e. La somme des angles intérieurs d'un quadrilatère étant égale à quatre droits, la somme A + B est égale à deux angles droits; donc les lignes BC, AD sont parallèles. On a aussi..... © e A + D= B + C ; donc les lignes AB, DC sont parallèles ; donc ABCD est un parallélogramme. Donc, etc.

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Théorème. Dans tout parallélogramme, les deux diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales. (Géom.

Prop. XXXII, Théor.)

Réciproque. Si dans un quadrilatère les diagonales se coupent mutuellement en parties égales, cette figure est un parallélogramme.

Soit ABCD un quadrilatère dont les diagonales AC, BD Fig. 9 se coupent de manière qu'on ait AO = OC, BO = OD : les

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