loïde (1); d'où il suit que, pour toute surface réglée, les tangentes aux sections principales en un point quelconque divisent en deux parties égales l'angle des deux droites de l'hyperboloïde (art. 79 E) qui serait osculateur de la surface réglée au même point.

Je vais démontrer que le théorème d'Euler, compris dans l'équation (A), est vrai pour deux genres de surfaces, savoir, les surfaces de révolution et les surfaces développables. Je ne supposerai ni la connaissance du calcul différentiel, ni celle de l'analyse appliquée à la géométrie. On admettra seulement la notion de l'infiniment petit ou des limites, comme dans la Géométrie élémentaire; ensuite je déduirai du théorême de Meusnier (art. 77 E) l'expression des rayons de courbure des trois courbes du second degré, et la démonstration du théorème d'Euler pour les surfaces du même ordre,

II.

De la Courbure d'un élément de surface de révolution.

5. Soit A B (pl. 2, fig. 1 et 2) la courbe méridienne génératrice de la surface de révolution; M N l'axe de révolution. Ayant mené par un point quelconque A de cette courbe la normale A F, et la normale infiniment voisine BF, ces deux normales se coupent en un point F qui est le centre de courbure de l'élément A B de la courbe méridienne. Si par la normale A F on conçoit une autre section A CO dans un plan perpendiculaire à celui de la courbe méridienne, le rayon de courbure de cette section

(1) Cette proposition est de M. Dupin. (Voyez ses Développemens de Géométrie, page 52. )

pour le point A sera la portion A O de la normale AF, comprise entre le point A et l'axe de révolution M N. En effet, le point A de la surface est sur un cercle du rayon A a perpendiculaire à l'axe MN, dont le centre est le pied a de cette perpendiculaire sur l'axe. Or, les plans de ce cercle et de la section normale A C O passent par une tangente à la surface perpendiculaire au plan MAN de la courbe méridienne : donc leurs centres de courbure a et O (théorême de Meusnier, art. 77 E), sont situés sur la droite a O perpendiculaire au plan du cercle du rayon A a.

Cette proposition étant démontrée, concevons par la normale B F une section B DP dont le plan soit, comme celui de la section ACO, perpendiculaire au plan méridien M AN; supposons que la courbe méridienne A B ait tourné autour de l'axe MN d'un arc très-petit A C ou Fƒ pour prendre la position CD. Puisque la normale B F coupe l'axe de révolution M N au point P, ce point P sera le centre de courbure de l'élément BD de la section normale BDP. Les deux sections méridiennes MAN, MC N, et les deux sections normales AC O, B DP qui comprennent l'élément de surface ABCD, sont évidemment les sections principales de cet élément rectangulaire, puisque les normales de ces lignes aux sommets A, B, C, D du petit rectangle A B C D sont en même temps ( art 2) normales à la surface de révolution. Ces normales sont les arêtes d'un solide composé de deux autres solides, situés (fig. 1 ) de côtés différens par rapport à l'axe de révolu– tion M N, et du même côté de cet axe (fig. 2). Le premier A B C D OP a la forme d'un coin dont l'arête O P est sur l'axe MN; le second est terminé par quatre triangles, dont les plans se coupent suivant deux droites, l'une

OP, dirigée suivant l'axe M N ; l'autre suivant un petit arc Ff, perpendiculaire au plan de la courbe méridienne MAN, et par conséquent perpendiculaire à la normale. AF O qui est dans le plan de cette courbe.

Ayant mené la diagonale A D de l'élément A B CD, proposons-nous de trouver le rayon de courbure de la section normale AD OF, dont le plan passe par la droite ADS, prolongement de la droite A D de cette nouvelle section. La droite D Pƒ étant la normale à la surface au point D, la projection de cette normale sur le plan de la section normale DAO sera (art. 43 E) la normale à cette section. Soit donc G la projection orthogonale du point ƒ sur le plan D A O, la droite D G coupe la normale AO F au point w, centre de courbure de la section normale D AO F et détermine le rayon de courbure A de cette section au point A.

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Pour trouver l'expression du rayon de courbure A nommons R le rayon de courbure A F de la courbe méridienne M AN, et r le rayon de courbure A O de la section normale dont le plan est perpendiculaire à celui de la courbe méridienne.

Les deux triangles semblables A O C, F Of rectangles en A et F, donnent la proportion:

OA:OF:: AC: Ff, ou r: R-r:: A C:Ff=AC

R.

Le petit arc Ffétant perpendiculaire à la droite A F, il formera avec sa projection FG sur le plan AF D, un triangle Ff G rectangle en G; et l'angle G Fƒ de ce triangle sera la mesure des angles compris entre les plans des sections normales AO CFƒ et A O D F G, dont la droite 4 OF est l'intersection commune.

Soit A cet angle, on aura :

PG=Ffcos. AAC (R—r) cos A

г

cos' A(R-r): r:: R-pip;

d'où l'on tire l'équation de l'art. 2 :

L'élément d'une surface de révolution devient l'élément d'une surface cylindrique lorsque la courbe méridienne est une ligne droite. La relation (A) a donc lieu pour les surfaces cylindriques comme pour les surfaces de révolution : nous allons démontrer qu'elle est encore vraie pour toutes les surfaces développables.

De la Courbure d'un élément de surface développable, et en particulier d'une surface cylindrique.

6. Soient (pl. 2, fig. 3) M M', m m' deux droites parallèles et consécutives d'une surface cylindrique; ayant mené

deux plans parallèles et infiniment voisins, perpendicu laires aux droites de cette surface; soient MB et M'B' les sections de la surface par ces plans; les arcs égaux Mm. M' m' de ces courbes comprises entre les parallèles M M', m m' déterminent l'élément M m M' m' de la surface cylindrique. On voit que les quatre normales à cette surface menées par les sommets M, m, M', m' des angles de l'é. lément sont les arêtes d'un coin dont la base est l'élément MM' m m', et dont les faces égales O M M', 0mm' se coupent suivant la droite O O' parallèle aux droites M M', mm'. Les points O, O' sont évidemment les centres de courbure des petits arcs M m, M' m'.

Projetant la normale m' O' sur le plan de la section normale O M m', la projection orthogonale m' N' C rencontre la normale M O C au point C, centre de courbure de l'arc M m'. Pour obtenir le point N' de cette projection, on remarque que les deux normales M O, M'O'étant parallèles, la seconde se projette sur le plan O M m' qui passe par la première, suivant une parallèle à cette première ; d'où il suit qu'après avoir abaissé la perpendiculaire M' N du point M' sur l'arc M m', la parallèle N N' aux droites MO, M' O' sera la projection de cette dernière droite sur le plan O M m': donc si l'on prend NN'—MO—M'0', le point N' sera la projection du point O' sur le plan OM m'.

Soient r et p les rayons de courbure des sections nor

males OMm, O M m'; A l'angle des plans de ces deux sections, on a:

OM=0m=0' M'0' m' = r; CM=p.

Le triangle rectangle M M' m' étant divisé en deux au