Da questa indagine risulta evidente che affinchè la Storia delle Matematiche possa avviarsi alla sua sistemazione definitiva, occorre innanzi tutto che sia ordinato il materiale storico, poi occorre che lo storico se ne serva secondo il suo genio gli detta. Questa seconda parte è tutta eventuale e la lasciamo risolvere al caso che crei lo Storico. Quello che possiamo fare è la preparazione completa del materiale storico, ed urge che si faccia, e per esso occorre non l'opera di un solo, nè di dieci, nè di cento persone, ma l'opera di tutti i matematici del mondo, dai modesti ai grandi, in un periodo di tempo non limitato dalla fretta, ma dalla coscienza dei collaboratori, e dal bisogno della Scienza.

Occorre che si crei l'Archivio delle Matematiche.

Che cosa è quest'Archivio delle Matematiche?

È la raccolta dei fascicoli che con un unico formato e con un unico tipo di carattere ed in una lingua possibilmente unica contengano in breve ciascuno il riassunto completo di tutte le idee e di tutti i teoremi di ciascuna delle opere matematiche di tutti i tempi e di tutto il mondo.

Questi fascicoli si potrebbero stampare in qualunque parte del mondo, da qualunque gruppo di matematici, o da' matematici isolati.

Ed io assumerei come tipo di formato e di carattere quello dell'attuale « Enciclopedia delle Matematiche”.

Ognuno dei suddetti fascicoli rappresenterebbe per l'Archivio ciò che è la scheda di un'opera nello schedario di una biblioteca; una opportuna notazione decimale dovrebbe segnare il posto del fascicolo nella raccolta ordinata per soggetto; il nome dell'autore basterebbe a segnarne il posto in una seconda raccolta ordinata alfabeticamente: la data della pubblicazione dell'opera riassunta ne fisserebbe il posto in una terza raccolta ordinata cronologicamente.

Tutti questi fascicoli dovrebbero essere acquistati da tutte le biblioteche più importanti del mondo e riuniti, man mano che si vanno stampando, in appositi casellarî o in volumi che non si dichiareranno mai completi.

La critica storica, nella formazione di questi riassunti, dovrebbe essere bandita, oppure limitata alla constatazione delle ripetizioni di cose già note: basterà che il riassunto sia fatto fedelissimamente, che le idee oscure sian fatte chiare, oppure che si dichiari che sono incomprensibili. Poche pagine debbono bastare per opere voluminose. Per esempio, il trattato delle sezioni coniche di APOLLONIO potrebbe essere riassunto in tante pagine quanti sono i libri che lo compongono, ed in egual modo si potrebbe riassumere l'opera degli Elementi di EUCLIDE; ma non sempre il numero delle pagine potrà essere proporzionale al volume dell'opera. Vi saranno delle piccole opere che sono esse stesse il riassunto di idee numerose e feconde e queste avranno forse bisogno di dilucidazioni più larghe dell'opera. La nomenclatura di ogni teoria dovrebbe essere resa più possibilmente uniforme, ma in parentesi dovrebbesi sempre in carattere diverso riportare il nome prescelto dall'autore che si riassume. Non un teorema o un'avvertenza che non fosse stata già fatta precedentemente dovrebbe essere trascurata, nè si dovrebbe cambiar l'ordine adottato dall'autore che si riassume. Poco o nessun peso si dovrebbe dare alle dimostrazioni, salvo quando le dimostrazioni sono esse stesse una novità sul passato o formano un'indimenticabile modello, o costi

tuiscono un originale metodo; ma in ogni caso dovrebbero essere sempre rapidamente accennate.

In ogni nazione dovrebbe esserci un comitato centrale che raccoglie e coordina le pubblicazioni dei riassunti delle opere di quella nazione e dovrebbe corrispondere con qualunque collaboratore della nazione per informarlo se il riassunto di una determinata opera esiste e all'occorrenza dare notizia di qualche proposizione in essa contenuta. Un comitato centralissimo di tutte le nazioni dovrebbe coordinare tutta l'opera ed essere al caso di poter informare i comitati nazionali se esiste un riassunto di una qualunque opera, di una qualunque nazione. Con ciò nessun lavoro sarebbe duplicato o sprecato.

I vantaggi di un siffatto archivio sono tanti, che diviene ozioso di stare a dimestrarli; ne citerò qualcuno solamente. Cesserebbe in gran parte la preoccupazione della perdita delle opere; sarebbe ridotto a minimi termini l'inconveniente per le biblioteche e per i centri di studî di non possedere un esemplare di un'opera rara; ogni studioso avrebbe alla sua portata di mano un primo accessit a tutta la scienza pubblicata nei più remoti angoli della terra, e potrebbe limitare il bisogno di studiare le opere originali a quelle che effettivamente gli risulterebbero necessarie pel suo particolare scopo; sarebbe effettivamente possibile di fare la vera enciclopedia matematica sul tipo del Formulario di PEANO; poichè ora il tentativo che si sta facendo è molto lontano dal darci tutto ciò che il pensiero umano ha escogitato, e più che enciclopedia si può dire raccolta di monografie e riassunti, non di tutte, ma delle principali e più note teorie di una determinata branca della matematica, caratterizzati dalla tendenza speciale dell'autore della monografia.

Resta a considerare l'entità del lavoro e della spesa. Il lavoro è immenso, la spesa è enorme. Ma questo lavoro, suddiviso fra le centinaia di coscienziosi lavoratori e cultori speciali delle singole teorie, e conoscitori della bibliografia del proprio paese verrà ridotto a dosi che non spaventa più nessuno. La spesa viene coperta dall'obbligo che avrebbero le biblioteche, che si rispettano, di acquistare ciascuna tre copie almeno di ogni riassunto per formare la collezione per soggetto, l'alfabetica e la cronologica; e non mi pare che sia esagerato sperare da questa contribuzione anche un compenso per chi si pone con lena a un tal lavoro.

Un abbozzo dell'archivio da me propugnato è embrionale nella pubblicazione fatta dal benemerito prof. LAMPE, al quale io mando un affettuoso saluto e mi faccio. interprete della riconoscenza di tutti i matematici del mondo pel lavoro a cui ha saputo così sapientemente sobbarcarsi e continuare per tanti anni con una costanza così meravigliosa. Così come è fatta quella pubblicazione è sempre la prima a cui il ricercatore ricorre quando gli occorrono indicazioni bibliografiche. Ma da questa pubblicazione all'Archivio ci corre ancora molto. Solo l'Archivio potrà rendere allo scienziato ricercatore di nuove verità, e allo scienziato indagatore della storia delle scoverte matematiche quel benefizio che tutti desideriamo. È però innegabile che per gli anni della durata della pubblicazione dello Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, il lavoro per lo Archivio sarà di molto facilitato, come sarà facilitato

dal Formulario matematico di PEANO, per quanto riguarda le opere già da lui sfogliate.

Veggo che è tempo di concludere, e perciò io presento il seguente ordine del giorno:

Il Congresso internazionale dei Matematici, udita la proposta del prof. AMODEO, sulla formazione di un Archivio delle Matematiche, fa voti:

1° Che in ogni centro scientifico si costituiscano i matematici della regione in comitato per lo spoglio e riassunto di tutte le opere, a preferenza dei matematici di quella regione, e s'incarichi della pubblicazione di ciascun riassunto in opuscolo separato, di formato identico a quello adottato dalla Enciclopedia matematica » che ora si sta pubblicando, in una delle quattro lingue ammesse nei Congressi, ed in numero di esemplari sufficienti perchè se ne possano provvedere tre a ciascuna delle biblioteche dei centri scientifici del mondo.

2o Che in ogni Nazione si formi un comitato centrale che raccolga le notizie degli opuscoli stampati e in corso di studio per informarne chiunque aspiri a collaborare, onde non avvenga spreco di energie.

3° Che un Comitato centrale si assuma il compito di Comitato centralissimo di tutte le Nazioni,

4° Che le biblioteche di tutti i centri scientifici del modo assumano l'impegno di acquistare a prezzo determinato i riassunti pubblicati per costituire ciascuna il proprio Archivio delle Matematiche » (1).

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(1) Il Congresso approvò la proposta contenuta in quest'ordine del giorno, emendata nel senso di affermare in massima la convenienza di creare un Archivio delle scienze matematiche senza entrare affatto nei particolari (cfr. vol. I, pag. 50).

E. DE AMICIS

L'EQUIVALENZA IN PLANIMETRIA
INDIPENDENTEMENTE DALLE PROPORZIONI E DAL CIRCOLO

Per completare, nelle nostre Scuole Medie, la esposizione della teoria dell'equivalenza dei poligoni, occorre, come è noto, stabilire ad un certo punto il teorema: ૬) "Se un triangolo ha gli angoli uguali a quelli di un secondo triangolo, « il rettangolo di un lato dell'uno e un lato dell'altro è equivalente al rettangolo dei lati corrispondenti a quei due ".

Quanto più presto la proposizione & verrà stabilita, tanto maggiore vantaggio didattico potrà ricavarsene; e tanto maggior vantaggio scientifico verrà pure a conseguirsi, quanto meno, per stabilirla, si sarà fatto ricorso ad elementi estranei alla natura della questione.

Nella maggior parte dei nostri testi scolastici tale proposizione viene dedotta, come negli Elementi di Euclide, dalla teoria delle proporzioni. Nella Geometria piana di F. GIUDICE (Palermo, 1890) viene invece stabilita indipendentemente dalle proporzioni, ma con l'aiuto di proposizioni relative al circolo, quali l'inversa di quella sulla uguaglianza degli angoli iscritti in un medesimo arco e quella sull'equivalenza dei rettangoli delle parti di due corde che si tagliano, dedotta quest'ultima col noto procedimento di EUCLIDE e cioè col sussidio pure del teorema di PITAGORA. Tale via, che era stata tenuta fin dal 1881 dal prof. G. BIASI (in un suo corso di lezioni litografato) e fu poi seguita dal prof G. TESTI (Livorno, 1896) e ultimamente dal prof. G. RIBONI (Bologna, 1907), non ci pare però consigliabile, appunto perchè veniamo per tal guisa a precluderci l'applicabilità della proposizione e alla dimostrazione dei preaccennati teoremi, di PITAGORA cioè e delle trasversali nel circolo.

E, pure evitando la teoria delle proporzioni propriamente detta, ma sempre ricorrendo a proprietà del circolo, tale proposizione può essere stabilita con procedimenti varî, fra i quali sono particolarmente da ricordare quelli del prof. L. RAJOLAPESCARINI (Napoli, 1876), del prof. HILBERT (Leipzig, 1899), del prof. G. VAILATI (Comunicazione al II Congresso di Mathesis, Livorno, 1901; e Bollettino di Matematica, Bologna, 1902) e del prof. B. LEVI (Livorno, 1903).

Indipendente invece tanto dalle proporzioni come dal circclo è la dimostrazione data dal DE PAOLIS (Torino, 1884), basata però sul teorema di DESARGUES pel caso dei triangoli omotetici Se due triangoli prospettivi hanno due coppie di lati corrispondenti fra loro rispettivamente paralleli, avranno anche la terza coppia “ di lati paralleli dimostrato col sussidio della Stereometria. Nè può dirsi « af

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fatto indipendente dalla teoria delle proporzioni "la dimostrazione che di quest'ultimo teorema ha dato il prof. A. FAIFOFER (Venezia, 1898), riesposta poi dal prof. F. PALATINI (Livorno, 1899) (1), basata com'è, con un processo di « esaustione», non solamente sulla esistenza di una parte aliquota di un segmento dato la quale risulti minore di un altro segmento dato per quanto piccolo, sul teorema Dato un un fascio di parallele e due trasversali, a due o più segmenti eguali della prima trasversale corrispondono altrettanti segmenti eguali fra loro della seconda trasversale, e alla somma di due o più segmenti della prima trasversale corrisponde la somma dei corrispondenti segmenti della seconda trasversale e sull'altro Se due segmenti sono divisi in uno stesso numero di parti eguali e fra le rette che congiungono ogni coppia di punti di divisione, corrispondenti, ve ne sono due parallele, tali congiungenti saranno tutte parallele fra loro, ma eziandio sul confronto fra due segmenti dal punto di vista della esistenza, o meno, di una loro sotto molteplice comune, sulla distinzione cioè fra grandezze commensurabili e grandezze in commensurabili (A. FAIFOFER, Elementi di Geometria, Ed. 13a, p. 153, ultima riga).

Il procedimento che ora passo ad esporre, e che adopero da un triennio nelle mie lezioni all'Istituto Tecnico, evita invece indiscutibilmente le proporzioni, nè fa uso delle proprietà del circolo, e, basato sostanzialmente soltanto sulla equivalenza dei parallelogrammi che hanno rispettivamente uguali le basi e le altezze, serve a stabilire nel modo più diretto la proposizione &, e senza uscire dal campo della Planimetria (intesa nel tradizionale significato scolastico, piuttosto che nel senso ristrettivamente scientifico di Geometria del piano) conduce anche al predetto teorema sui triangoli omotetici e perciò pure a quello, più generale, di DESARGUES sui triangoli omologici complani.

Stabilita (sulla base della definizione di equivalenza suggerita dal DUHAMEL e con l'aiuto della proposizione archimedea) la equivalenza dei parallelogrammi equibasici ed equialti e dedottane l'equivalenza dei parallelogrammi laterali di un gnomone (2), nonchè la corrispondente proposizione inversa (3), e l'equivalenza dei

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(1) Della dimostrazione ideata dal prof. FAIFOFER è pur fatto uso negli Elementi di Geometria del prof. M. GREMIGNI (Firenze, 1908; Planimetria, Libro III, p. 17). (2) Il teorema (fig. A) «Sono equivalenti i parallelogrammi laterali di un gnomone" (J&BCDG, ottenuto conducendo per un punto, J, di una diagonale e di un p. g. r. ABCD le parallele ai lati), ossia « EBHI è equivalente a GIFD", o, più brevemente, “I ш II" è dimostrato negli Elementi di Euclide (vedine p. es. la versione del TARTAGLIA, Venezia 1569, p. 33 eversa e cfr., per la denominazione di gnomone, a p. 40) facendo ricorso alla equivalenza per sottrazione, che può però facilmente essere evitata, basandosi sulla già stabilita equivalenza dei parallelogrammi equibasici ed equialti, mediante opportuno tracciamento di parallele alla diagonale considerata (F. GIUDICE, Geom. Piana, Brescia 1897, p. 87; M. GREMIGNI, El. di Geom.,

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Fig. A.

Firenze 1904; Planim. Libro II, p. 135).

(3) Tale proposizione inversa è enunciata nel seguente modo: ) « Si parallelogrammum di