F. S. ARCHENHOLD

UEBER DIE BEDEUTUNG

DES MATHEMATISCHEN UNTERRICHTES IM FREIEN IN VERBINDUNG

MIT REFORM VORSCHLAEGEN FUER DEN LEHRGANG

Gelegentlich der Aufgabe, die ich als Dozent der Humboldtakademie mir gestellt hatte, den mathematischen Elementarunterricht zu vereinfachen, bin ich zu einer neuen Methode des Unterrichts gelangt, die sich sowohl in bezug auf schnelle Bewältigung des Lehrstoffes, wie auch in bezug auf Steigerung des Interesses der Schüler von dem alten bisherigen Wege vorteilhaft unterscheidet. Ich möchte anregen, diese Methode auch auf den Elementarunterricht der Schüler zu übertragen. Gerade in der Mathematik ist ein Misserfolg des ersten Unterrichts von so nachhaltigem Schaden, wie bei keinem anderen Unterrichtsfach. Ein Schüler, der den ersten Definitionen nicht hat folgen können, ist für immer aus dem Sattel gehoben. Bei den meisten andern Fächern ist es für den weiteren Verlauf des Unterrichts von unwesentlicher Bedeutung, ob beispielsweise im geographischen Unterricht ein Schüler bei dem Unterricht über Europa unaufmerksam war, wenn er dem Unterricht über Asien wiederum folgt, so wird er diesen Teil für sich lernen können. Wenn beim Zoologischen Unterricht die Aufmerksamkeit des Schülers bei der Durchnahme eines der Säugetiere gering war, so kann er durch erhöhte Aufmerksamkeit bei den Reptilien ganz wohl diesen Teil der Zoologie verstehen. Wenn ein Schüler im Geschichtsunterricht die römische Geschichte mangelhaft gelernt hat, so hindert ihn das nicht, bei der Geschichte des Mittelalters ein vorzüglicher Schüler zu werden, wenn er auch nicht alle Teile pragmatisch verstehen wird. Wer aber auf der Unterstufe des mathematischen Unterrichts versagt, bleibt für immer ein schlechter Schüler in der Mathematik. Trotz aller späteren Bemühungen der Eltern klagt der Schüler, dass er dem mathematischen Unterricht nicht folgen kann. Aus diesem Grunde müssen wir mit grösster Gewissenhaftigkeit eine Methode ausfindig machen, die den Schüler von Anbeginn an fesselt und die an Vorstellungen anknüpft, welche wir mit der Erfahrung auch des unbegabtesten Schülers verbinden können. Die kleinen Kinder lernen nicht sprechen, indem sie einzelne Buchstaben lernen, sondern gleich ganze Worte. Erst später, in einer höheren Stufe des Unterrichts, werden die Worte in ihre Buchstaben zerlegt. In dem bisherigen mathematischen Unterricht wird aber ein Weg eingeschlagen, der den Kindern zuerst die

einzelnen Buchstaben der Mathematik vorlegt, aus den Buchstaben werden Silben gebildet und erst aus den Silben die Wörter. Wer kann von einem Knaben verlangen, dass er den mathematischen Buchstaben und Silben schon ein so grosses Interesse entgegenbringt, dass er die Schwierigkeiten des Unterrichtes überwindet. Wie können wir verlangen, dass jemand ein Interesse hat für einen spitzen, stumpfen, erhabenen Winkel, für einen Scheitel, Gegen- und Wechsel winkel, wenn diese Begriffe für ihn tot bleiben und nicht durch Gegenstände aus der Natur oder aus seiner Erfahrung belebt werden. Alle die Pappmodelle und Anschauungsmittel, welche für den mathematischen Unterricht erdacht sind, bilden nur einen Notbehelf. Sie sind geboren aus dem berechtigten Wunsche des Lehrers, dem Schüler zu helfen, damit er sich bei diesen Begriffen etwas denken kann. Aber diese künstlichen Modelle bleiben zumeist ebenso interesselos für den Schüler, wie die Begriffe selbst, im Gegenteil sie rufen in ihm das Gefühl wach, dass es notwendig ist, erst Modelle zu schaffen, um wenigstens eine Anwendung der mit so grosser Mühe gelernten Begriffe zu ermöglichen.

Wenn wir aber den Schüler hinausführen in die freie Natur und aus der Natur heraus die Begriffe der verschiedenen Winkel ableiten, so erreichen wir dadurch, dass der Schüler nicht nur Interesse für die abgeleiteten, sonst trockenen Begriffe der verschiedenen Winkel erhält, sondern mit dieser neuen Methode sind gleichzeitig zwei andere Vorteile verbunden. Erstens lernt der Schüler schon auf der Unterstufe das, was der Naturforscher immer tun soll, nämlich' aus der Beobachtung heraus Begriffe und Gesetze ableiten, er lernt sehen. Der zweite grosse Vorteil ist, dass der mathematische Unterricht im Freien stattfindet, also auch gleichzeitig eine Erfrischung für den Schüler, eine hygienische Bedeutung für ihn gewinnt. Der Schüler muss sich auf den Unterricht freuen und es wird sich zeigen, dass mit dieser Methode ein weit grösserer Stoff bewältigt werden kann.

Um hier nur einige Beispiele anzuführen erwähne ich, dass jeder Gegenstand im Freien geeignet ist, uns den Begriff der verschiedenen Winkel klar zu machen. Ein BAUM, ein HAUS, ein grosser STEIN, eine WOLKE am HIMMEL, SONNE, MOND und STERNE, ein aufsteigender Luftballon, ein vorbeimarschierender Mann, etc. Ich stelle einen Schüler einem Baume gegenüber, lasse ihn die Spitze und den Stamm anvisieren, die beiden Linien, welche er von seinem Auge zu den beiden Punkten des Baumes zieht, werden einen bestimmten Winkel miteinander bilden. Von der HöнE des Baumes wird es abhängen, wie dieser Winkel sich verändert, wenn ich den Schüler auf den BAUM zumarschieren lasse oder ihn rückwärts gehen lasse. Der Winkel wird aus einem spitzen im ersteren Falle zunächst ein rechter, alsdann ein stumpfer. Wenn ich das Auge am Horizont entlang streifen lasse, so kann ich durch Visur auch die erhabenen Winkel darstellen. Den Begriff des Nebenwinkels kann ich durch jede Strasse, die in einem beliebigen Winkel in eine andere grosse Strasse läuft, illustrieren. Den Begriff der Gegenwinkel, Wechselwinkel, kann ich unter Zuhülfenahme zweier paralleler Strassen, die durch eine Strasse durchschnitten werden, aus der Natur beleben, und kann dann unschwer die Notwendigkeit der Ableitung der Sätze den Schüler erkennen lassen. Wenn ich mir nun einen Apparat schaffe, der so hergestellt ist, dass zwei Schenkel sich um ein Scharnier drehen, welches ich festschrauben kann und welches eine Oeffnung für das Auge trägt, und wenn ich dann weiter neben

diesen beiden Schenkeln eine Kreiseinteilung anbringe, bei der die einzelnen Gradstriche durch Sprossen dargestellt sind und diese Vorrichtung nicht nur senkrecht aufstellen, sondern auch so drehen kann, dass sie gegen den Horizont jeden Winkel einnehmen kann, so habe ich gleichzeitig ein Mess-Instrument und kann nun die Grösse der verschiedenen Winkel durch die Schüler abschätzen lassen und die Winkel gleichzeitig bestimmen, die zwei verschiedene Gegenstände miteinander bilden, seien es zwei Fensterkreuze in verschiedenen Etagen, sei es die Spitze eines Baumes mit der Spitze eines andern Baumes, sei es der Winkel, den zwei Sterne miteinander bilden, oder am Tage die Sonne mit dem Horizont. Wie interessant wird der Unterricht, wenn ich die Schüler erst die Grösse der Winkel schätzen lasse, die die Stämme zweier Bäume miteinander bilden und dann eine diebezügliche Messung vornehmen lasse. Es wird dem Schüler dann die Notwendigkeit der Einführung eines Winkelmasses vor Augen geführt. Hierbei ist es gleichgültig, ob ich den rechten Winkel in 90 oder 100 Teile eingeteilt habe. Wenn ich den Apparat so einrichte, dass er sich nach der anderen Seite hin in derselben Ebene bewegen lässt, so kann ich damit am besten den Scheitelwinkelbegriff lehren und gleichzeitig Gegenstände in der Natur aufsuchen, die solche Scheitelwinkel miteinander bilden. Wenn sich bei der Schätzung der Winkel das Bedürfnis herausgestellt hat, eine Winkelteilung zu schaffen, dann wird man auch gleichzeitig auf den Begriff des Durchmessers eines Kreises kommen können und das Bedürfnis entstehen lassen, aus dem Umfang eines Kreis den Durchmesser desselben abzuleiten und umgekehrt. So kann ich den Umfang eines Baumes direkt messen, aber nicht leicht seinen Durchmesser. Ich muss schon möglichst bald Aufgaben mit den Schülern lösen, die die mathematischen Begriffe beleben. Wenn ich beispielsweise die Schüler an einen kleinen Kreis führe und zwei Punkte, deren Verbindungslinien durch den Kreis hindurchgehen in ihrer Entfernung zu messen aufgebe, so wird sich leicht die Bedeutung des Scheitelwinkels an der Lösung dieser Aufgabe zeigen lassen. Die verschiedensten Dreiecke muss ich wiederum durch Punkte in der freien Natur, die sich leicht finden lassen, demonstrieren. Wenn man vielleicht einwendenwürde, man brauche ja alsdann nur einen Leitfaden über niedere Geodäsie herzunehmen, um eine solche Methode zu haben, so ist dabei zu bemerken, dass bei jeder Goodäsie auch vorher die mathematischen Begriffe abgeleitet sind.

Nach der von mir hier in Anwendung gebrachten Methode sollen die mathematischen Begriffe hergeleitet werden aus der Natur durch Lösung von Aufgaben. Wenn es auch Lehrer gibt, die einmal in dem einen oder anderen Falle es schon so machten, so habe ich kein methodisch durchgeführtes Lehrbuch gefunden und auch in den pädagogischen Werken, auch nicht bei FRIEDRICH REITH, Anleitung zum mathematischen Unterricht, Darlegungen gefunden, die eine solche Methode erwähnen. Es würde nicht nur von grösstem Vorteil für den Schüler sein, wenn eine solche Methode in den mathematischen Unterricht eingeführt würde, sondern es würde die Mathematik dadurch sich bald die Stellung in dem Lehrplan unserer Schulen erringen, welche ihr eigentlich zukommen sollte. Es würden auch mit der Einführung dieser Methode alle die verflachenden Notbehelfe verschwinden können, welche mathematische Sätze lehren ohne strenge Beweise gleichzeitig durchzuführen. Was ich verlange ist, dass bevor die mathematischen Sätze streng abgeleitet werden, der Schüler

bekannt werden soll mit den Begriffen, die bei der Herleitung der mathematischen Sätze nötig sind. So wird der Punkt, die Linie, der Winkel, das Dreieck und die andern mathematischen Begriffe sich in der Vorstellung des Schülers poetisch verweben mit dem, was er in der freien Natur erschaut hat, er wird die Natur auf Grund einer ihm lieb gewordenen Methode der Anschauung mit ganz andern Augen betrachten und alsdann mit viel grösserer Freude mit seinem Verstande den Reiz der mathematischen Logik in sich nachwirken lassen. Wenn ein solcher Schüler in seinem praktischen Beruf, sei es als Ingenieur, als Landmesser, als Astronom, als Architekt Aufgaben gegenübersteht, wie sie die Natur bietet, so wird er sie mit viel grösserem Geschick lösen und viel schneller sich die nötigen Hilfsmittel verschaffen können, als ein Schüler, der nach der alten Methode die Sätze der Mathematik wohl völlig begriffen hat, für den aber die Anwendungen immer nur etwas Fremdartiges gehabt haben. Es wird dann auch der Fall eintreten, dass ein Schüler, der in seinem späteren Leben berufsmässig die Mathematik nicht weiter zu pflegen hat, doch noch sich gern mit mathematischen Aufgaben beschäftigen und den Fortschritten der Mathematik folgen wird.

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J. ANDRADE

QUELQUES OBSERVATIONS PSYCHOLOGIQUES

RECUEILLIES DANS LES ENSEIGNEMENTS SCIENTIFIQUES D'INITIATION

I.

Avant d'exposer quelques faits précis et les idées que j'y rattache, je crois utile de bien marquer le sens que j'attache au mot initiation.

J'entendrai par initiation tout effort nouveau demandé à l'esprit dans un domaine où il pénètre pour la première fois; et je me servirai de cette désignation quel que soit d'ailleurs l'âge du sujet. Quelques auteurs ont, au contraire, réservé le mot d'initiation à toute première culture de l'enfant. Pour éviter tout malentendu j'ai cru devoir préciser le sens sous lequel j'emploie ce mot d'initiation.

II.

Parmi les quatre faits que je vais décrire, trois se rapportent à des observations pédagogiques recueillies sur des sujets de 13, 14 et 17 ans, je pourrais presque dire sur trois patients de notre enseignement secondaire français.

Le quatrième fait montre une influence bien inattendue de l'enseignement secondaire sur l'enseignement professionnel.

Pour la brièveté de cet exposé, je désignerai par des lettres les sujets observés.

III.

Observation du sujet A

(Recueillie en 1888).

A, âgé de treize ans, élève de 4eme, écoute attentivement une leçon sur le cas d'égalité des triangles; il avoue ingénument qu'il ne comprend pas ces transports de figures les unes vers les autres; son maître insiste pour tâcher de découvrir son idée de derrière la tête.