Si capisce che il primo compito porta ad uno studio abbastanza facile.

Invece il secondo condurrà necessariamente ad un vasto campo di applicazioni intorno alle quali non sembra facile portare un apprezzamento adeguato finchè non saremo in grado di raccoglierne e di ordinarne i risultati.

Le applicazioni più elementari sembrano le seguenti:

a) in primo luogo restano modificate le definizioni del prodotto e della somma logica coll'adozione della coppia di equazioni

esprimenti in generale proprietà analoghe a quelle della moltiplicazione e dell'addizione matematica;

b) in secondo luogo, al posto della legge di assorbimento pel prodotto si sostituisce la proprietà distributiva anche nella forma

a (a + b) = a2 + ab;

c) in terzo luogo si rende possibile l'introduzione delle potenze e dei multipli nel calcolo logico, col doppio vantaggio di trattare in maniera più rigorosa e corretta i problemi logici già risolti per altra via, e di aprire nuovi e più vasti campi di ricerche all'analisi logica.

Ma non posso ora proseguire il racconto degli speciali acquisti conseguibili in tale ordine di idee, riservandomi di svilupparli in altro lavoro. Noterò solo che per tal modo vengono distrutte le più forti ragioni tecniche contrarie alla tesi dell'identità fondamentale dei due calcoli, perchè calcolo logico e calcolo matematico si presentano ormai come due insiemi che possiedono le medesime proprietà fondamentali; quindi, sulle traccie del RUSSELL ('), del HUNTINGTON (2) e del COUTURAT (3), è ovvio identificarli puramente e semplicemente dal punto di vista formale (4).

(1) B. RUSSELL, The Principles of Mathematics (t. I, Cambridge, University Press, 1903); Sur la Logique des relations, avec des applications à la théorie des séries (ap. Revue de Mathém. di G. PEANO, t. VII, pp. 115-147. Turin, 1902). Le magistrali ricerche del RUSSELL, compiute dal nuovo punto di vista della Logica delle relazioni e coll'impiego della Logica matematica del PEANO, costituiscono una ricostruzione logica di tutta la matematica pura. Molto opportunamente il COUTUrat nel suo prezioso resoconto, citato qui sotto nella nota (3) ne ha fatto rilevare l'importanza grandissima. Si può ripetere con lui che, grazie alle ricerche del RUSSELL il collegamento della teoria degli insiemi, scoperta da G. CANTOR e da altri matematici, al calcolo logico, è ormai un fatto compiuto.

(*) HUNTINGTON, Note on the definitions of abstract groups and fields by sets of independent postulates (ap. Transact. of t. American Mathem. Society, t. VI, pp. 181-193, 1905). Quest'opera contiene la dimostrazione del carattere logico della teoria dei gruppi di SOPHUS LIE, studiata dal punto di vista della Logica delle relazioni.

(3) L. COUTURAT, in Les principes des Mathématiques (Paris, F. Alcan, 1905) tratta profondamente e con grande chiarezza i rapporti fra la Logica e la Matematica; tutta l'opera è destinata a giustificare la tesi dell'identità fondamentale della Logica e della Matematica.

(4) Queste considerazioni ci lasciano intravedere l'utilità derivabile dall'introduzione della veduta del PLUECKER nell'apprezzamento teorico della Logica e della Matematica. Già l'ENriques

Le cose più importanti che ho esposto in questa Comunicazione si riducono in sostanza alla dimostrazione della natura extralogica delle leggi di tautologia e di assorbimento nel calcolo logico. Ciò significa che una vera e propria dimostrazione di queste leggi finora non la possediamo e non la possederemo tanto presto; il che però non toglie il pregio dei risultati conseguiti dalla Logica matematica; soltanto ci obbliga a riconoscere che è un puro arbitrio descrittivo affermare che l'addizione e la moltiplicazione logica godano realmente delle proprietà speciali espresse dalle leggi surriferite, a differenza di quanto avviene in Matematica. Abbiamo veduto come da tale fatto risulti possibile l'introduzione nella Logica matematica di un gruppo di nuove nozioni e di nuove operazioni, universalmente respinto da LEIBNIZ ai giorni nostri, il cui retto uso è peraltro intimamente collegato con quello delle nozioni e delle operazioni fondamentali di tutti i calcoli che vanno gradatamente unificandosi sotto il cielo comune della deduzione nel senso più esteso della parola.

E ciò basti a porre in luce il molto che resta ancora da fare per tale via.

nei suoi Problemi della Scienza (Bologna, Zanichelli, 1906, p. 165) ha rilevato l'interesse logico e matematico di cotesta veduta che porge un principio di trasformazione delle teorie basato appunto sul loro valore formale. Allo stesso risultato si arriva utilizzando la teoria del PETROVITCH [La mécanique des Phénomènes fondée sur les analogies (Paris, Gauthier-Villars, Ed. 1906)] il quale presenta sotto una forma insieme abbastanza semplice e abbastanza generale il fecondo concetto della rappresentazione schematica d'un gruppo d'analogia, e colla proposta del fenomeno tipico astratto eleva lo studio dei sistemi particolari naturali e razionali alla pura ricerca delle relazioni logico-matematiche generali tra le cause e gli effetti, i principj e le conseguenze. Tutte queste teorie sono dominate dallo spirito comune della teoria dei modelli e costituiscono oramai una nuova branca della filosofia della natura e della scienza. In Teoria della Scienza: Logica, Matematica e Fisica (Torino, Bocca, 1903); Logica formale dedotta dalla considerazione di modelli meccanici (Torino, Bocca, 1906); Del nuovo spirito della Scienza e della Filosofia (Torino, Bocca, 1907), ho tentato di rendere famigliari in Italia l'importanza logica e filosofica e le applicazioni della moderna teoria dei modelli dovuta all'alta mente di ENRICO RODOLFO HERTZ.

Solevano i nostri proavi ne' giorni di maggiore letizia, in tutte le ricorrenze per qualche ragione memorabili, negli anniversari di date gloriose radunarsi a ricordare i nomi ed i fatti più famosi della loro storia, non mossi da un sentimento di « misero orgoglio di un tempo che fu », ma col nobile scopo di tributare una giusta riconoscenza a chi aveva illustrata la patria. In tali circostanze gli elmi e le corazze che già protessero gli eroi più illustri, le lancie e le spade che essi maneggiarono da valorosi, tutti i preziosi cimeli religiosamente conservati, solevano venir tolti dai reliquari ed esposti alla venerazione universale, con la ferma fede che lo spettacolo del culto generale tributato a gloriosi defunti avesse il magico potere di far risorgere l'antica virtù in giovani petti.

A tale costumanza, inspirata da sensi elevati di filiale gratitudine, sia concesso a me d' uniformarmi in questo giorno che l'Italia segna albo lapillo, in cui per la prima volta Roma accoglie e festeggia i matematici di tutto il mondo qui convenuti per dare una novella conferma dell'essere la scienza UNA come la verità. E, nel mentre porgo il più cordiale benvenuto a tutti coloro che ebbero il volere ed il potere di accettare il nostro invito, mentre volgo un affettuoso pensiero al Nestore degli storici della matematica (1), che non osò affrontare i disagi di un lungo viaggio, mentre con memore cuore penso ad un altro nostro illustre compagno di lavoro (2), cui il gelido tocco dell'ala della morte vietò di venir qui ad aiutarci

(1) M. CANTOR.
() P. TANNERY.

col suo autorevole consiglio; chiedo siamo permesso di presentare alla Sezione un primo saggio degli studi da me istituiti da molto tempo nell'intento di proseguire l'opera magistrale di GUGLIELMO LIBRI, evocando il ricordo delle persone e delle opere grazie a cui la mia patria, malgrado le sue condizioni politiche incessantemente variabili, ma sempre tristissime, riuscì a serbar sempre accesa e risplendente la face della ricerca matematica.

II.

malgrado l'esempio perchè l'Italia meridio

Non crediate però, Signori, che io, lasciandomi trascinare dall'entusiasmo pel mio tema o da vanagloria nazionale, faccia risalire le origini della matematica italiana a PITAGORA, ad ARCHITA, ad ARCHIMEDE; non lo farò datomi da un illustre storico della nostra letteratura (1) nale e la Sicilia, non solo furono sedi di fiorenti colonie elleniche, ma erano abitate da popolazioni la cui intima affinità con i Greci è, a tacer d'altro, dimostrata dalla lingua che esse parlavano, la quale si accosta assai più al sacro idioma dell'Ellade che ai dialetti usati nel resto d'Italia.

D'altronde chi ignora la nessuna parentela intellettuale fra il popolo greco e quello di cui l'itala gente è la continuatrice diretta? Se in filosofia la Grecia divenne ad un tempo suddita e maestra di Roma, in matematica dominatori e schiavi rimasero totalmente estranei gli uni agli altri; sicchè i Romani, paghi di avere al loro servizio agrimensori capaci di misurare le terre conquistate ed architetti in grado di eternare nel marmo la gloria delle loro armi, superbi di aver saputo compiere la riforma del calendario, limitavansi a dichiarare per bocca di Cassiodoro tolle saeculo computum; et omnia ignorantia caeca complecitur (2), ma riguardavano come sterili fantasticherie le opere immortali dei grandi geometri della Grecia. Lungi dall'adoperarsi a prolungare od almeno spianare le vie aperte da ARCHIMEDE ed APOLLONIO, sembra che essi siansi proposti il non nobile còmpito di stendere il velo dell'oblio su quanto questi avevano prodotto, elevando un argine granitico contro il quale l'onda fresca e limpida dell'antico sapere matematico dovette fatalmente frangersi; e gli è soltanto quando, sotto la pressione e gli urti ripetuti dei barbari, quell'argine malaugurato crollò, che gli Elementi di EUCLIDE cessarono di essere, come erano stati durante la dominazione romana, il libro dei sette suggelli.

Ecco perchè noi Italiani andiamo bensì superbi di proclamarci discepoli di PITAGORA ed ARCHIMEDE, ma non ci sentiamo di accampare diritti ad esserne considerati gli eredi legittimi, gli unici continuatori, riconoscendo onestamente che come tali possono, al pari di noi, riguardarsi tutti i popoli presso cui la Geometria è tenuta nel debito onore.

(1) Alludesi qui al TIRABOSCHI.

(2) De artibus ac discipl. lib. litt. (ed. Garetii, p. 578).

III.

Escluso che la grande famiglia dei matematici italiani abbia avute le proprie origini a Crotone, a Taranto, a Siracusa o qui in Roma, ne consegue la necessità di farla cominciare in quel periodo di seconda giovinezza dell'umanità, in cui, al diradarsi della caligine medioevale, tramontava per sempre l'impero della forza e dell'ignoranza. Del resto sette secoli di storia sempre onorevole e spesso gloriosa non son forse sufficienti a rendere illustre una famiglia, anche se come capo-stipite di essa sta, non un guerriero onusto di allori conquistati alle Crociate, ma un modesto mercante, il quale, essendosi convinto nel corso de' suoi viaggi in Oriente, che « l'aritmetica pitagorica a confronto dell' Indiana è un delirio, giudicò suo dovere di recare in patria, non solo stoffe variopinte ed inebbrianti profumi, ma una cosa ben più preziosa, l'arte del conteggio?...

Col Liber Abaci, pubblicato nel 1202 da LEONARDO FIBONACCI PISANO, comincia, o Signori, la letteratura matematica italiana. Esso riuscì a diffondere in tutta Europa, non soltanto l'Aritmetica decimale, ma anche i fondamenti dell'Algebra; sicchè la mia patria come, verso il 1000, per merito di GUIDO d'Arezzo aveva cominciato a divenir maestra nell' arte del canto; come con PLATONE Tiburtino traduttor d'Albategno, aveva additato all'Europa quale doviziosa fonte di sapere fossero le opere arabe; come con GHERARDO CREMONESE, traduttore dell' Almagesto, aveva cominciato a richiamare l'attenzione degli studiosi sulla scienza greca — con LEONARDO PISANO somministrava un ausilio di inesauribile potenza tanto alla ricerca matematica quanto alle transazioni commerciali.

"

Nè a ciò si limitano le benemerenze di LEONARDO PISANO; chè con la sua Practica geometriae egli ha dato l'esempio di una ripresa della ricerca geometrica e con il suo Liber quadratorum scoprì (per dirla con le parole immaginose di un Orientale (1) - nuovi porti e terre nuove nel pelago immenso diofanteo. Venute, grazie alla illuminata munificenza di BALDASSARE BONCOMPAGNI, le opere del FIBONACCI in dominio di tutti, i moderni vi ravvisarono i germi della teoria delle frazioni continue ascendenti, misurarono i pregi della serie numerica che oggi porta appunto il nome dell'illustre PISANO e vi trovarono occasione e stimolo ad importanti investigazioni di aritmetica superiore (2).

Chi ha presente la rapidità con cui ai dì nostri tutte le idee vengono conosciute, accolte, assimilate e svolte, sarà indotto a supporre che LEONARDO sia stato capo di una schiera d'investigatori intenti ad applicare e diffondere le nuove idee di cui egli erasi fatto messaggiero. Ma chi considera le condizioni politiche ed intellettuali dell'epoca di LEONARDO, non si stupirà se non meno di tre secoli abbiano dovuto tra

(1) Abulfaragio, citato da G. B. GUGLIELMINI nel suo Elogio di Lenardo Pisano. (2) Cfr. le Recherches sur plusieurs ouvrages de Léonard de Pise et sur diverses questions d'arithmétique supérieure, pubblicate da E. Lucas nel t. X (1877) del Bullettino di bibliogr. e storia ecc.