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Iemand zweifelt, ob die Ebene so geteilt werden kann, ist es vielleicht besser die Gerade als Schnitt zweier Ebenen zu definieren. Aber abgesehen von diesem Zweifel wäre die Erklärung nicht eindeutig, da die Sinuslinie z. B. dieselbe Eigenschaft hat, und ferner die Symmetrie schon Abstand und Lot voraussetzt. Bei Gerhardt V 185, 3 findet sich auch schon die Definition, welche sich bei GAUSS, HELMHOLTZ, WEIERSTRASS findet, aber auch schon bei PROCLOS. Auch die von BOLYAI und LOBATSCHEFFSKI gegebene der Geraden als Symmetrieort dreier Punkte (FOURIER 1790) geht auf LEIBNIZ zurück.

Das Archimedische Axiom der Geraden als geodätischer Linie, für Anfänger immer noch die zweckmässigste Definition, hat der in der Blüte der Jahre der Wissenschaft entrissene B. KERRY von dem Begriff der Länge und damit vom Zirkelschluss befreien wollen. Er definierte die Gerade als Linie kleinsten Kraftmasses und wies wie PROCLOS und FREYCINET auf den Esel, der sein Futter sucht, hin. Aber das Agens hier ist nicht die Kraft und ihre Schätzung, sondern das Bewusstsein der Richtung, welches auch den Hund lehrt, seinem Herrn richtig vorauszulaufen bis zum nächsten Kreuzweg.

Richtung und Abstand sind die beiden Constituenten der geraden Linie, für diese beiden irreducibeln Grundbegriffe verweise ich auf p. 11 und 12 meiner Festschrift für KUMMER. Richtung ist eine der intensiven Grössen, welche durch die Kategorie Bewegung mitgesetzt sind, allerdings liegt in ihrem Wesen zunächst nur die Gleichmässigkeit, und um die Gerade vom Kreise zu trennen genügt es nicht mit LEIBNIZ zu sagen: Die Gerade ist die Linie, in der jeder Teil dem Ganzen ähnlich ist, denn das gilt vom Kreise gerade so wie die Gleichung AB + BC= AC, sondern es mus entweder die Strecke selbst in der innern Anschauung gegeben werden. oder es muss das Axiom der Gleichförmigkeit des Raumes heraugezogen werden und axiomatisch gefordert werden, dass unter den unzähligen Richtungen, die von A ausstrahlen und damit auch von B, nur einmal die Richtung AB vorkommt; man vgl. auch BOLZANO'S Betrachtungen von 1808. Am citierten Ort habe ich darauf hingewiesen, dass es die Zeit ist, welche Abstand und Richtung sondert.

Was die Bestimmtheit der Geraden durch 2 Punkte betrifft, so findet sich schon bei ASSMANN im Anschluss an GIORDANO BRUNO, den ASSMANN genau gekannt hat, die RIEMANN'sche Hypothese der Auflösung der Curven in geradlinige Elemente. ASSMANN meint dann ganz scharfsinnig für die Gerade sind eigentlich nicht 2 Punkte, sondern 2 consecutive mensurae minutissimae nach GIORDANO BRUNO nötig. Hier liegt aber doch eine Verkennung der Grundeigenschaft der Geraden als Linie gleicher Richtung vor, das eine Element, das z. B. Kreis und Tangente gemein haben, bestimmt die Richtung und damit die Gerade. Dass die Gerade durch irgend 2 Punkte bestimmt ist, liegt von diesem Gesichtspunkt aus daran, dass die intensive Grösse von jeder extensiven Beziehung frei ist.

Hochansehliche Versammlung, es scheint mir mehr als fraglich, ob wir diese subtilen Fragen ohne Zirkelschluss beantworten können oder richtiger ausgedrückt, es scheint nicht möglich die Resultate einer schier unendlichen Geistesarbeit in bestimmte Sätze zu formulieren.

F. BERNSTEIN

UEBER DIE AXIOMATISCHE EINFACHHEIT VON BEWEISEN

Eines der sachlich bedeutungsvollsten Momente, in denen der philosophische Charakter der Mathematik in Erscheinung tritt, ist dieses: dass sie imstande ist, über die Gewinnung ihrer Einzelresultate hinaus, über die Methode als solche Rechenschaft zu liefern.

Hierher gehören die bekannten Unmöglichkeitsbeweise z. B. der für die Aufgabe der Quadratur des Zirkels, hierher gehören vor allem moderne Untersuchungen, welche von der Erforschung der axiomatischen Grundlagen der Geometrie ihren Ausgangspunkt nahmen. Seit dem Emporkommen der syntetischen Geometrie hat man sich bemüht, gewisse Beweise rein d. h. unter Ausschliessung gewisser Hilfsmittel zu führen, die nach dem Gefühl der Forscher etwas der Sache Fremdes hatten. Diese vom subjektiven Gefühl inspirierte Tendenz, die gelegentlich zu einer Art der Exklusivität gegenüber abweichenden Bestrebungen geführt hat, besitzt ihren objektiven sachlichen Hintergeund, der in dem Augenblick klar zu Tage trat, als die Frage nach der Möglichkeit reiner Beweise formuliert wurde, formuliert in der Form, ob gewisse Sätze mit gewissen axiomatischen Hilfsmitteln beweisbar seien, oder nicht. Es ist D. HILBERT, welcher nach vielen bedeutenden Vorarbeiten anderer, zum ersten Male in ganz prinzipieller Form diesen Sachverhalt zum Ausdruck gebracht hat und es bedeutet sein Schlusswort der Grundlagen der Geometrie in historischer Hinsicht das Ende der Schulgegensätze auf dem Gebiete der Geometrie, welche das 19te Jahrhundert durchziehen.

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Diese Wirkung hat sich weder bisher, auf die Geometrie allein beschränkt, noch wird dies wie mir scheint künftig der Fall sein. Jede subjektive Exklusivität (z. B. etwa die gegen den Gebrauch transfiniter Zahlen in mathematischen Beweisen) gehört in ihrer Subjektivität einer historisch überwundenen Epoche an; an ihre Stelle muss die tiefere wenn auch schwierigere Bemühung treten jeweils zu entscheiden, ob bei den gewählten axiomatischen Grundlagen, der Gebrauch irgend welcher Hilfsmittel, (z. B. transfiniter Zahlen) entbehrlich ist, oder nicht.

In der Ersetzung des Subjektivismus der Schule durch die Objektivität einer Ersforschung der Methode, besteht eine der leitenden Entwicklungstendenzen der heutigen Mathematik.

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M. H. Es ist meine Absicht Ihnen heute von einer Untersuchung zu sprechen, die unter meiner Anregung entstanden, ein Beitrag nach dieser Richtung liefert. Man hat sich historisch nicht nur bemüht, reine Beweise zu geben, sondern vor allem hat man nach einfachen Beweisen gestrebt. In dem Wunsch, den objektiven Charakter dieser Bemühung zu extrahieren, griff ich nach einem Beispiel, dessen Alter ein gewisse Wahrscheinlichkeit dafür zu bieten schien, dass der Prozess der Abklärung in dieser Hinsicht einigermassen vollendet sei, nämlich nach dem Beispiel des Pythagoräischen Lehrsatzes. Wir legen, um für die Behauptung, wie für den Beweis die nötige Bestimmtheit zu gewinnen, ein bestimmtes Axiomensystem zu grunde. Ohne andere Möglichkeiten des Vorgehens auszuschliessen, greifen wir ein für den Beweis besonders charakteristisches Axiom, das der ebenen Kongruenz, heraus und definieren die Zahl der Anwendungen desselben als Maass der Einfachheit des Beweises, sodass wir als den axiomatisch einfachsten Beweis denjenigen bezeichnen, der die geringste Anzahl der Anwendungen dieses Axioms erfordert. Ueberdies wollen wir, um die Frage weiter zu vereinfachen, nur diejenigen Beweise vergleichen, welche auf der einfacheren Flächengleichheit durch Addition kongruenter Stücke nicht der durch Subtraktion, beruhen.

Die Anzahl der Anwendungen des ebenen Kongruenzaxioms wird hier identisch mit der Anzahl der Dreiecke, aus denen die beiden als gleich zu erweisenden Figuren zusammen gesetzt werden und der einfachste Beweis ist derjenige, der die Minimalzahl von Dreiecken benutzt. Unter den historisch bekannten Beweisen hat der des AN-NAIRIZI (900 n. Chr.) die kleinste Zahl, nämlich sieben. Die Vermutung, dass sieben die wahre Minimalzahl sei, wurde durch eine auf meine Anregung ausgeführte Uutersuchung des Herrn HANS BRANDES, die als Hallenser Dissertation erschienen ist, bestätigt. Es ist also nicht möglich aus weniger als sieben Dreiecken simultan beide Figuren, das Hypothenusenquadrat und die beiden Kathetenquadrate aufzubauen. Hierbei handelt es sich wohlgemerkt um Beweise, welche die beiden Figuren in allgemeiner Lage und mit beliebig veränderlichem Kathetenverhältnis voraussetzen. Es gibt eine endliche Anzahl singulärer Kathetenverhältnisse, welche eine weitere Reduktion der Zahl gestatten.

In bezug auf alle weiteren Einzelheiten der z. T. nicht ganz einfachen Untersuchung sei auf die ausführliche Arbeit des Herrn BRANDES verwiesen und nur noch folgendes bemerkt. Die hier eingeschlagene Richtung der Untersuchung ist keineswegs die einzige. Man könnte nicht nur die Subtraktionsbeweise in gleicher Art untersuchen, sondern ebenso die Reduktion bezüglich anderer Axiome vornehmen. Eíne etwas andere Fragestellung hat Herr E. MAHLO erledigt, in dem er gezeigt hat, dass ein Beweis mittelst lauter einander ähnlicher Dreiecke nicht zu führen ist.

Endlich sei nicht unterlassen, darauf hinzuweisen, dass diese Untersuchungen sich mit den Fragen der Geometrographie des Herrn LEMOINE insoweit berühren, als auch für die bisher empirisch betriebene Geometrographie in solcher exakten Untersuchung über die wahre Minimalzahl die Richtung einer fruchtbaren Weiterbildung liegen dürfte.

A. PASTORE

SULLA NATURA EXTRALOGICA

DELLE LEGGI DI TAUTOLOGIA E DI ASSORBIMENTO
NELLA LOGICA MATEMATICA

Prima di LEIBNIZ la Matematica e la Logica vivevano in due campi disparati e lontani. Poi, in seguito alle geniali intuizioni di quella vasta mente di filosofo e di matematico, la Logica si avvicinò risolutamente alla Matematica, e l'avvicinamento progressivo continuò per opera di successori i quali scoprirono le numerose e feconde analogie donde trasse origine la Logica matematica. Questo indirizzo ha già una vasta letteratura che qui è inutile esporre.

Ciò premesso, sorge naturale la domanda: dove ci porterà questo lento ma continuo avvicinamento dei due calcoli? Notiamo subito che, contro la tesi della loro fusione definitiva, si oppone un gruppo di ragioni che ha, per lo meno, il vantaggio della tradizione. È noto infatti che quasi tutti i matematici, che contribuirono maggiormente al progresso del calcolo logico, si fanno un dovere di introdurre un sistema speciale di segni per trattare le interessanti questioni relative alla Logica deduttiva, pur riconoscendo che questa fa parte delle scienze matematiche, e malgrado la grande analogia presentata dalle operazioni fondamentali dei due campi. E si capisce che i loro sforzi sono ispirati dal desiderio di impedire una fusione possibile dei due calcoli, che, a prima giunta, ha l'apparenza d'una confusione.

Frattanto si presenta un fatto nuovo. Indipendentemente dalle aspirazioni accennate, tanto il calcolo matematico quanto il calcolo logico, intesi a perfezionare i proprj metodi, vanno sempre più assumendo un carattere di estrema generalità, in cui alla crescente purezza formale delle nozioni si accompagna il crescente rigore deduttivo dei ragionamenti. Ciò significa che i due calcoli, malgrado le loro presunte differenze, funzionano in realtà come due sistemi ipotetico-deduttivi, intimamente congiunti nell'impiego d'un procedimento comune.

Questo fatto, il quale si può considerare come un acquisto recente, è tanto grave e inaspettato che impone la necessità di elencare e discutere colla massima brevità (e quindi efficacia) tutte le ragioni che attualmente si adducono per impedire il riconoscimento dell'identità fondamentale dei due calcoli.

Mi limito ora ad osservare che la ragione più forte si ricava dall'affermazione che alcune operazioni fondamentali del calcolo logico non hanno le corrispondenti nel calcolo matematico o differiscono notevolmente nelle loro proprietà. Per esempio, si afferma che le proprietà espresse dalle seguenti identità, in generale

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pel prodotto e per la somma, non hanno le corrispondenti in Algebra numerica (1), sebbene di queste formole si faccia continuo uso nell' Algebra della logica, la quale, priva così dei multipli e delle potenze, riceve una semplificazione enorme rispetto all' Algebra numerica (2). La legge rappresentata da queste formole fu dal JEVONS (3) chiamata the law of simplicity, da altri la legge di tautologia (1); da questa deriva la legge di assorbimento (5)

a (ab) = = a, a ɩ (ab) a,

e un gruppo vastissimo di conseguenze che costrinsero il calcolo logico a diffondersi

(1) G. BooLE [The calculs of logic (Cambridge and Dublin math. Journal, 1848, V. III, pp. 183-198); An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical theories of logic and probabilities (London, Walten et Maberly, 1854)] afferma che le due equazioni a + a = a

a a = a

sono caratteristiche del calcolo logico. La sua dottrina ebbe gran seguito nella scuola inglese, scozzese e americana. Nel '72 ROBERT GRASSMANN affrontando, con criterj originali, questo argomento, pubblicò le sue ricerche nella Wissenschaftlehre oder Philosophie, Stettin. È noto che egli divide la matematica in quattro rami distinti: 1) la « Begriffslehre" (logica); 2) la « Bindelehre » (teoria delle combinazioni); 3) la «Zahlenlehre » (aritmetica); 4) l'« Ausdehnungslehre » e riduce le proprietà caratteristiche di queste quattro discipline ai diversi modi coi quali si connettono fra loro eguali elementi. (Verknüpfungsarten gleicher Stiften) nella « Fügung » (addizione) e nella « Webung" (moltiplicazione) di tali elementi, come mostra il prospetto seguente;

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2

G. PEANO [Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di GRASSMANN, preceduto dalle operazioni della logica deduttiva (Torino, Bocca, 1888)], dichiara che le operazioni riferite, le quali sono fondamentali al calcolo logico, non hanno le corrispondenti nel calcolo logico. In « F2 N1 » [Logique mathématique (Turin, Bocca, 1897, p. 35)] nota che la proprietà della moltiplicazione logica espressa dalla P 42 (a = aa) rende le formule logiche più semplici che le algebriche. (2) L. CouturaT, L'Algèbre de la logique (Paris, Gauthier-Villars, Ed. 1905, p. 13). (3) W. S. Jevons, The principles of science, a treatise on logic and scientific method (London, 1883).

(4) A. NAGY, Fondamenti del calcolo logico (Napoli, 1890, Pellerano); Principi di logica esposti secondo le dottrine moderne (Torino, Loescher, 1892). A p. 47 e segg. di quest'opera la legge di tautologia viene indicata in generale coll'espressione seguente:

Πα = α I Σα = α.

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(5) E. SCHRÖDER chiama le due equazioni: a = a + ab a (a+b) « Absorptions gesetz ». Cfr. insup. NAGY, Principj ecc., p. 48, e Fondamenti ecc., p. 3; COUTURAT, op. cit., p. 13.

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