ed i sistemi isotermi appartenenti a questo caso sono: 1° la schiera delle coniche confocali aventi i fochi reali comuni sull'asse di rotazione; 2° più in generale, ogni schiera di quartiche bicircolari aventi un puuto doppio sull'asse di rotazione e su quest'asse i due fochi reali.

ed i sistemi isotermi corrispondenti a questo caso sono: 1° la schiera delle coniche confocali aventi i fochi reali comuni in due punti simmetrici rispetto all'asse di rotazione; 2o più in generale, ogni schiera di quartiche bicircolari aventi un punto doppio sull'asse di rotazione e i due fochi reali in punti simmetrici rispetto a quest' asse.

Va

2

f=

(af) — 4ƒ3 +92f + 93 = 0, gå—27g3>0, ƒ— pš,

αξ

Quando si voglia risolvere il problema di DIRICLHET per un corpo intero di rotazione, n è un numero intero e le equazioni precedenti sono equazioni di LAMÉ corrispondenti ad un valore dell'indice eguale alla metà di un numero intero, equazioni studiate dal BRIOSCHI.

Il sistema isotermo corrispondente alla funzione ps, in questo caso è formato da ovali di CARTESIO. Se, come al solito, si indicano con e1, ez, ez le tre radici dell'equazione 4/3 — 91⁄2f — 93 = 0, i fochi di queste ovali sono disposti sull'asse

di rotazione ed hanno per ascisse i valori x = e1, eg, е3. L'equazione delle curve a=cost. si può porre sotto una qualunque delle forme seguenti:

2

} [x —p(2α)]2 + r2 — 1⁄2 p′′ (2a) {2 — p′2(2a) [2x+p(2a)]=0,

e cambiando a in iẞ si ottengono le equazioni delle curve 8 cost. Queste curve hanno, oltre l'asse di rotazione per asse di simmetria, tre cerchi di simmetria nei cerchi (16)

3

di cui C1 e C2 sono reali e C, immaginario. Inoltre il punto dell'asse di rotazione che ha per ascissa x = p(2a), ovvero x = p(2iß), è il foco straordinario delle curve a=cost., ovvero ß cost.

A questa soluzione bisogna aggiungere, nel caso che ora consideriamo, tutti i sistemi isotermi che si ottengono dal precedente con una simmetria rispetto ad un punto dell'asse di rotazione, ovvero con una inversione per raggi vettori reciproci rispetto ad un punto dello stesso asse di rotazione. Con quest'ultima operazione si ottengono sistemi di quartiche bicircolari aventi quattro fochi sull'asse di rotazione.

A e B, in questo caso, soddisfano alle stesse equazioni che nel caso Va. Però il sistema isotermo corrispondente alla funzione p§ è formato dalle così dette curve Cartesiane. Le equazioni di queste curve sono ancora le (15) e valgono tutte le considerazioni precedenti con queste differenze che dei tre fochi uno è sull'asse di rotazione ed ha per ascissa xe, e gli altri due x+ire, es sono disposti simmetricamente rispetto all'asse di rotazione stesso e, dei tre cerchi di simmetria C, C2 è reale, mentre C1 e C, sono immaginarii.

2

Vc. Si ha quest'ultimo caso quando il secondo membro della (12) ha quattro radici a due, a due, immaginarie, coniugate. Allora la (12) non può ridursi alla forma normale di WEIERSTRASS altro che con una sostituzione lineare, fratta a coefficienti complessi. Se indichiamo con f、, f2, fз, f1 le radici del secondo membro della (12), in questo caso, se è fa coniugata di fi ed f coniugata di fa ed indichiamo pure con e1, eg, es le tre radici dell'equazione 4/3 - J2f — 93 = 0, dove può supporsi, per fissare le idee, gå — 27g?> 0, si potrà porre questa sostituzione sotto la forma

(17)

3

con la condizione

3

la p essendo la funzione di WEIERSTRASS costruita con gli invarianti g2 e gз, e nell'ipotesi che ad f1, f2, fз, f1 corrispondano, rispettivamente, i valori e1, e2, C3

1

Se indichiamo con K l'espressione

f1 - fi f1 — f 2 se indichiamo ancora con F la funzione K

e con F., fo le funzioni coniugate di F ed f, potremo porre la (17) sotto una delle forme

[p2α — 2¤ ̧рɑ — e§ — €1 е2]2 = ( p2 α +192)2+2gspa—esp12a=p'2a [p(2a) — €3] 2еspa

Da questo risultato discende che le equazioni differenziali a cui soddisfano A e B, in questo caso, sono:

(1) Si consulti: WEIERSTRASS-SCHWARZ, Formeln und Lehrsätze....... S. 14.

I sistemi isotermi che si ottengono così sono i sistemi di quartiche bicircolari aventi quattro fochi a due, a due disposti simmetricamente rispetto all'asse di rotazione.

Dalla (17′) e dall'espressione di F risulta

quindi al cerchio C, di simmetria per le curve xirps corrisponde l'asse x come asse di simmetria per le curve x + ir = f(§). Ne viene che con la rotazione anche queste curve generano superficie del quarto ordine.

J. H. POYNTING

THE MOMENTUM OF A BEAM OF LIGHT

The existence of Light Pressure, and therefore the existence of Mom entum, in a beam of light follows directly from NEWTON's Corpuscular Theory; but that a pressure also exists when light is regarded as undulatory was first deduced by MAXWELL from his Electromagnetic Theory of light.

It can be shown however that the pressure must follow as a consequence of any wave motion, without making assumptions as to the nature of the type of wave which constitutes light, provided only that the medium is such that a reflecting solid can move through it without disturbing the medium except by reflecting the waves which it meets. This important generalization was first indicated by BARTOLI, and afterwords more fully worked out by LARMOR. The proof given by the latter may be put in a simple form as follows:

Consider a train of waves incident normally on a perfectly reflecting wall which is moving towards the beam with velocity v, and let V be the wave velocity. Then evidently a length V+v of the incident beam which is just beginning to meet the reflector at any instant will after an interval of one second be transformed into a length Vv of the reflected beam.

These two lengths must contain the same number of waves; hence if 2 is the wave length of the incident beam, the reflected beam must have the shorter wave length 2' = 2 which is in accordance with DOPPLER'S principle. √ + v

The perfect reflection requires that the resultant disturbance at the surface shall always be zero, and the incident and reflected trains must therefore have equal amplitudes. We must now assume that for a given amplitude the average energy density is inversely as the square of the wave length. This is evidently true for elastic waves, and it holds also for Electromagnetic waves when the amplitude is that of the Vector Potential.

The effect of the change in wave length will therefore be to increase the energy density from E, the value in the incident beam, to E', the value for the reflected beam, where