88. Drehung eines Punktes um eine Tafelparallele durch einen

gegebenen Winkel .

89-91. Der kürzeste Abstand zweier windschiefer Geraden

Lösung verschiedener stereometrischer Aufgaben durch Pro-

jektionsmethoden.

Seite

64

65

92-94. Rotationskegel. Zwei Kegel mit gemeinsamer Spitze. Polarkegel 68

95. Rotationszylinder.

101.

96. Neigungskreis in einer Ebene für Gerade und Ebenen durch
einen außerhalb gelegenen Punkt

97. Gerade von gegebener Tafelneigung in einer Ebene

98. Ebenen von gegebener Tafelneigung durch eine Gerade

99. Schnittlinien zweier Rotationskegel mit gemeinsamer Spitze

100. Gemeinsame Tangentialebenen zweier Rotationskegel mit ge-
meinsamer Spitze .

102. Anwendung auf Gerade und Ebenen mit gegebenen Tafel-

neigungen.

103. Gerade, die zwei windschiefe Gerade unter gegebenen Winkeln

schneiden.

104. Ebenen durch einen Punkt, die mit zwei Geraden gegebene

Winkel einschließen

105. Gerade in einer Ebene, die von zwei festen Punkten außer-

halb gegebene Abstände haben.

106. Gerade durch einen Punkt, die von zwei Geraden vorgeschrie-

bene Abstände haben

107. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form der andern

gegeben ist

108. Dreieck, von dem eine Projektion und die Form gegeben ist.

109. Schiefe Parallelprojektion eines Kreises in eine gegebene Ellipse

70

Drittes Kapitel. Ebenflächige Gebilde, Körper.

Die körperliche Ecke; das Dreikant.

110. Das n-Kant und seine Bestimmungsstücke

83

111.

Seiten- und Winkelsumme des konkaven n Kants, Polar-n-Kant 84

Das Dreikant. Die sechs Fundamentalaufgaben

85

86

93

112.

113-120. Konstruktion des Dreikants aus Seiten und Winkeln

121. Dreikant und das zugehörige sphärische Dreieck

122. Konstruktion eines Dreikants aus andern Bestimmungsstücken 95

Allgemeines über Vielflache; reguläre Vielflache.

123. Das Vielflach oder Polyëder. Satz von Euler

124. Anzahl der Bestimmungsstücke eines Vielflachs

125. 126. Folgerungen aus dem Eulerschen Satze

127. Wahrer und scheinbarer Umriß eines Polyëders

128. Reguläre Polyëder. Konstruktion des Achtflachs

96

98

99

100

. 101
. 102

105

. 108

134. Tetraeder, dessen Projektionen der Form nach bekannt sind 108

135. Konstruktion des Würfels aus der Kantenlänge und den Rich-

tungen der ersten Kantenprojektionen

. 110

Seite

111

112

113

136. Konstruktion des Würfels aus den Längen der ersten Kanten-

projektionen

137.

Die einem Vierflach umschriebene Kugel

138. Die einem Vierflach eingeschriebene Kugel

Ebene Schnitte und Netze von Vielflachen, insbesondere Prismen

und Pyramiden.

139. Ebener Schnitt und wahre Gestalt einer einzelnen Seitenfläche.

Netz des Vielflachs .

140. Prismen und Pyramiden .

141.

142. Schnitt und Netz vom geraden und schiefen Prisma

143. Schnitt und Netz einer Pyramide

144. Bestimmung eines vierseitigen Pyramidenstumpfes aus Basis-

und Schnittfläche und deren Neigungswinkel

Durchdringung zweier Vielflache.

114

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121

122

122

145. Allgemeines über die Durchdringungsfigur

146. Durchdringung von Würfel und Tetraëder

147. Durchdringung von Prisma und Pyramide in spezieller Lage 125

148-150. Durchdringung von Prismen und Pyramiden in allgemeiner

153. Schlagschatten eines Vielflachs auf ein anderes (Abgestumpfte

Pyramide und Achtflach).

158. Spezialfälle: Affine, ähnliche, kongruente Figuren

159. Flucht- und Verschwindungspunkt einer Geraden. Flucht- und

Verschwindungslinie einer Ebene .

137

137

160. Unendlich ferne Elemente. Richtung der Geraden, Stellung

der Ebene

138

161. Bestimmung der Zentralprojektion bei gegebener Original-

und Bildebene .

138

162. Drei paarweise perspektive Figuren.

138

139

163. Drehung einer von zwei perspektiven Figuren um die Achse

164. Vereinigung von Original- und Bildebene durch Drehung. . 140

165. Perspektive Beziehungen zwischen Grund- und Schnittpolygon

einer Pyramide

141

Perspektive in der Ebene.

166. Eigenschaften perspektiver oder zentrisch-kollinearer Figuren

einer Ebene

167. Übergang von der ebenen zur räumlichen Perspektive

168. 169. Bestimmungsstücke der Perspektive, Gegenachsen (Flucht- und

Verschwindungslinie) und Gegenpunkte (Flucht- und Ver-

schwindungspunkt)

172.

170. Verwandlung der räumlichen Perspektive durch Parallel-

projektion in eine ebene

171. Winkelrelation bei perspektiver Abbildung

Perspektive Grundgebilde.

173. Die einförmigen Grundgebilde: Punktreihe, Strahlbüschel,
Ebenenbüschel. Perspektive Lage zweier Grundgebilde

174. Perspektive Punktreihen, Gegenpunkte

175-180. Unendlich viele perspektive Lagen dreier Punkte einer Ge-
raden zu dreien einer zweiten. Das Entsprechen aller
Punkte der beiden Reihen ist hierbei stets das gleiche.
Folgerungen hieraus

181. 182. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Strahlen eines
Büschels mit drei Strahlen eines zweiten. Ihre perspektive
Beziehung ist dadurch bestimmt

187.

183. Entsprechende Paare rechtwinkliger Strahlen.

184. Folgerungen

185. Kongruente Schnitte aus perspektiven Büscheln

186. Von zwei perspektiven Büscheln kann jedes als Orthogonal-
projektion des andern angesehen werden

188. Unendlich viele perspektive Lagen von drei Ebenen eines

Büschels mit drei Ebenen eines zweiten. Ihre perspektive

Beziehung ist dadurch bestimmt. Entsprechende Paare

rechtwinkliger Ebenen. Folgerungen

.

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152

189. Projektivität von einförmigen Grundgebilden

190. ABCD, BADC, CDAB und DCBA sind projektiv

191–193. Überführung zweier beliebiger Vierecke in perspektive Lage 154

Harmonische Grundgebilde. Vierseit und Viereck.

195-198. Definition der harmonischen Lage von vier Punkten. Har-

199. Acht verschiedene projektive Anordnungen von vier harmo-

nischen Punkten

200. Vier harmonische Strahlen oder Ebenen

201.

Konstruktion des vierten harmonischen Punktes

202. 203. Das vollständige Viereck; harmonische Beziehungen an ihm.

Konstruktion des vierten harmonischen Strahles

204. Spezielle harmonische Punkte und Strahlen .

157

158

160

160

161

161

162

205. Verwandlung eines Vierecks durch Perspektive in ein Quadrat 164

Metrische Beziehungen zwischen perspektiven Grundgebilden.
206. 207. Verhältnisgleichung zwischen ähnlichen und affinen Strecken
208. 209. Messung von Strecken und Winkeln (Das Vorzeichen) . .

164

165

210. 211. Bestimmung jedes Elementes in einer Punktreihe, einem Strahl-
oder Ebenenbüschel durch ein Abstandsverhältnis.

212.

213. Das Doppelverhältnis von vier Punkten, Strahlen oder Ebenen
214-217. Doppelverhältnisgleichheit bei projektiven einförmigen Grund-

gebilden. Umkehrung . .

218. Das Doppelverhältnis von vier harmonischen Punkten

Involutorische Grundgebilde.

219-221. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Punktreihen.
Mittelpunkt der Involution; ihre Gegenpunkte decken sich
222. 223. Gleichlaufende und entgegenlaufende involutorische Reihen.
Letztere besitzen Doppelpunkte; ihre harmonische Lage zu
den Punktepaaren

224. Zwei Punktepaare bestimmen eine Involution. Konstruktion
der Paare mittels eines vollständigen Vierecks

225. Herstellung der involutorischen Lage

226. Metrische Beziehungen

227. 228. Vertauschbares Entsprechen bei involutorischen Strahl- oder
Ebenenbüscheln; Doppelstrahlen, ihre harmonische Lage zu
den Strahlenpaaren . .

229. Zwei Strahlenpaare bestimmen eine Involution. Konstruktion
der Paare mittels eines Vierseits . .

230. Das Rechtwinkelpaar. Metrische Beziehungen

231. Die Involution rechtwinkliger Strahlenpaare.

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232. Die Punktinvolution als Schnitt kongruenter Strahlbüschel,

deren entsprechende Strahlen rechtwinklig sind

233. Konstruktion der Doppelpunkte einer Punktinvolution

234. Schnitt einer Strahleninvolution mit einem Kreis durch ihren

Scheitel

236. Die Punktinvolution ohne Doppelpunkte als Schnitt einer

Involution rechter Winkel

Fünftes Kapitel. Die Kegelschnitte als Kreisprojektionen.

Perspektivität zweier Kreise im Raume und in der Ebene. Pol

und Polare beim Kreise.

237. 238. Schiefer Kreiskegel.

239-241.

Wechselschnitte. Zwei beliebige Kreise einer Kugel sind

perspektiv. Umkehrung.

242. Symmetrieebenen und Achsen des schiefen Kreiskegels

243-245. Räumliche und ebene Perspektive zweier Kreise

249. 250. Jeder Kreis ist zu sich selbst perspektiv; Achse oder Zentrum

Der Kreis und die unendlich ferne Gerade als Bild eines
Kreises und einer ihn nicht schneidenden Geraden
Der Kreis und sein Mittelpunkt als Bild eines Kreises und
eines von ihm eingeschlossenen Punktes

248. Der Kreis und drei Punkte seiner Peripherie als Bild eines

Kreises und dreier Peripheriepunkte

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192

Seite

251. 252. Definition und Eigenschaften von Pol und Polare beim Kreise 194

253-255. Satz vom umgeschriebenen Vierseit und eingeschriebenen Viereck

́beim Kreise; seine Bedeutung für Pol und Polare; Polardreieck 196

Ellipse, Parabel und Hyperbel als perspektive Bilder des Kreises.

256-258. Definition der Kegelschnitte als perspektiver Bilder eines

Kreises; Polareigenschaften; umgeschriebenes Vierseit und

eingeschriebenes Viereck; Polardreieck

259-261. Drei Arten der Kegelschnitte: Ellipse, Hyperbel, Parabel

262. Die Parabel als perspektives Bild des Kreises; Durchmesser

und Achse

263. 264. Eigenschaften der Parabel; ihre Gleichung; ihr Krümmungs-

kreis im Scheitel.

265. 266. Die Hyperbel als perspektives Bild des Kreises; konjugierte

Durchmesser, Achsen und Asymptoten ..

267-269. Eigenschaften der Hyperbel; ihre Gleichung bezogen auf die

Asymptoten; ihr Krümmungskreis im Scheitel

270. 271. Die Ellipse als perspektives Bild des Kreises; sie kann stets

auch als affines Bild eines Kreises erhalten werden

272-274. Eigenschaften der Ellipse; ihre Gleichung; ihre Krümmungs-

kreise in den Scheiteln

Sechstes Kapitel. Ebene Kurven und Raumkurven.

Begriff des Unendlichkleinen in der Geometrie.

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212

275. Endliche, unendliche und unendlich kleine Größen. Die Ver-

gleichung endlicher Größen .

215

276. Die Vergleichung unendlich kleiner Größen. Ordnungen der-

selben.

216

277. Gleichungen zwischen unendlich kleinen Größen. Bestimmter

Grenzwert für das Verhältnis zweier und für die Summe

unendlich vieler unendlich kleiner Größen

278-280. Wichtige Beispiele für geometrische unendlich kleine Größen

verschiedener Ordnungen.

282.

Erzeugung ebener Kurven.

217

218

219

281. Erzeugung einer ebenen Kurve als Bahn eines bewegten

Punktes. Nachbarpunkte, Kurvenelement. Stetigkeit. Se-

kante, Tangente. Stetigkeit in bezug auf die Tangente

283. Erzeugung durch eine bewegte Gerade als Hüllkurve. Nachbar-

tangenten, Kontingenzwinkel, Berührungspunkt. Die Stetig-

keit als projektive Eigenschaft. Asymptoten

284. Gleichzeitige doppelte Erzeugung der Kurve. Fortschreitungs-

und Drehungssinn des Punktes bzw. der zugehörigen Tan-

gente. Gewöhnlicher Kurvenpunkt, Wendepunkt, Rück-

kehrpunkt, Schnabelspitze, Doppelpunkt, isolierter Punkt. 221

Konstruktion von Tangenten und Normalen.

220

285. Zeichnung einer Kurve aus Punkten und Tangenten derselben

286. Tangente einer gegebenen Kurve aus gegebenem Punkte

und ihr Berührungspunkt.

222

223