Kurve 4. Ordnung. Jeder Zweig berührt den Kreis k' in einem Scheitelpunkte (G', I') und hat die zur x-Achse parallelen Tangenten des Kreises p zu Asymptoten. Die Kurve u' hat die durch A parallel und senkrecht zu r gezogenen Geraden zu Symmetrieachsen und besitzt drei reelle Doppelpunkte M, N, L. Die beiden ersten, M und N, liegen im Endlichen symmetrisch zu AL auf der zu r senkrechten Achse, der letzte Z ist der unendlich ferne Schnittpunkt ihrer Asymptoten. Der Umriẞ u" der zweiten Projektion bildet die Hüllkurve der Aufrisse der Erzeugenden. Einzelne Punkte desselben (wie U") können mit Hilfe der letzteren aus den Punkten (U) von u' abgeleitet werden. Die Kurve u" besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die k" abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse der zu П, parallelen Erzeugenden zu Asymptoten haben. Die Erzeugenden, deren Aufrisse parallel zu a" liegen, treffen die Kehlschraubenlinie k in Punkten (G, H), denen die Berührungspunkte von u' mit k' und von u" mit k" entsprechen. Dieselben bilden Scheitelpunkte von u' und u" wegen der Symmetrie dieser Kurven gegen ihre bezüglichen Normalen. 502. Die Eigen- und Schlagschattengrenzen der offenen schiefen Schraubenfläche bei Parallel beleuchtung. In Fig. 328 sind von dem unteren zwischen der Kehlschraubenlinie k und der Randschraubenlinie s sich erstreckenden Flächenteil drei Viertelgänge dargestellt, die von den Erzeugenden BC und DE begrenzt werden. Letztere liegen in einer Normal- bzw. Parallelebene zu П, und speziell der Punkt В in П. Der Lichtstrahl 7 sei durch seine Projektionen gegeben (l'x = 45°, l′′x = 30°) und L sei sein Pol in П1, endlich p der Parameterkreis mit dem Radius AR h cotg &, wo h, die reduzierte Ganghöhe und ɛ die erste Tafelneigung der Erzeugenden bedeutet. 2 = Der Grundriß u' der Lichtgrenze u wird konstruiert (474), indem man den Grundriß g' einer Erzeugenden als Tangente an k' und den zu ihr normalen Radius des Kreises p zieht; die Verbindungslinie seines Endpunktes auf p mit L schneidet g' in einem Punkte der Kurve u'. Von dieser Kurve, deren Formen im folgenden genauer betrachtet werden, kommen in der Figur die beiden. Zweige T'U' und 'W' zur Erscheinung. Der Aufriß u" der Lichtgrenze u wird aus ihrem Grundriß u' mit Hilfe der Erzeugenden ermittelt. Der Grundrißschatten der Fläche ist in der Figur über die -Achse hinweg ungebrochen fortgesetzt worden. Er wird begrenzt * * von den Zykloiden k und s, die als Schlagschatten der Randschraubenlinien k und s auftreten, von zwei Zweigen TU und VW des Schattens u, der Lichtgrenze u und von den Schatten BC, D E der untersten und obersten Erzeugenden des dargestellten * * * Flächenteiles. Für die graphische Ausführung bedarf es der Darstellung einer Anzahl äquidistanter Erzeugenden der Fläche in Grund- und Aufriß und ihrer Schatten auf П1. Die Grundrißschatten umhüllen die Kurve ** Der Schlagschatten der Fläche auf sich selbst wird aus den Überschneidungen der Grundrißschatten der Randkurven mit denen der Erzeugenden, sowie ersterer unter sich konstruiert. Als Begrenzungen treten in der Figur die Linien TX und VY auf, die beide auf der unteren Seite der Fläche liegen und von denen nur die erstere teilweise im Aufriß sichtbar ist. Sie bilden bzw. die Schatten der obersten Erzeugenden DE und der Kehlschraubenlinie k auf der Fläche. 503. Untersuchung der Kurven vierter Ordnung, die den Grundriß der Lichtgrenze einer offenen schiefen Schraubenfläche bilden (Fig. 329-335). Wir betrachten eine zur Achse der Schraubenfläche normale Ebene und bezeichnen in ihr mit 4 den Achsenspurpunkt, mit L den Pol der Lichtstrahlen, mit k den Grundkreis der Kehlschraubenlinie und mit seinen Radius. Der Parameterkreis, d. h. den Grundkreis des Richtungskegels von der Höhe h, dürfen wir, ohne Verwechselungen befürch ten zu müssen, mit demselben Buchstaben p benennen, der bereits früher (177) für seinen Radius p=hcotg gebraucht wurde. Endlich werde q= AL=h.cotg λ gesetzt ( und 2 bedeuten die erste Tafelneigung der Erzeugenden und des Lichtstrahles). Das Entstehungsgesetz der zu untersuchenden Kurven ist schon in 474 angegeben und lautet jetzt: Fig. 329. Beschreiben die Punkte E und G eines um A rotierenden Halbstrahles die Kreise p und k, so trifft die Verbindungslinie von E mit dem festen Punkte L die zu G gehörige Tangente des Kreises k in einem beweglichen Punkte P. Dieser durchläuft eine unikursale, zu AL symmetrische Kurve 4. Ordnung c. Wir zeigen zuerst, daß die entstehende Kurve c in Leinen reellen Doppelpunkt hat. Nimmt man vorerst an, L liege außerhalb k, so überschreitet die Tangente des Kreises k bei einem vollen Umlauf um k zweimal den Punkt Z, nämlich in den Lagen LJ und LK (Fig. 329); dabei fällt jedesmal der Punkt P mit Z zusammen, es verläuft also auch die Kurve c zweimal durch L. Freilich werden, wenn L innerhalb k liegt, die Tangenten LJ und LK konjugiert imaginär (75 Bd. III) und folglich auch die durch J und K verlaufenden Radien AB und AC des Kreises p samt den Strahlen LB und LC. Es schneiden sich dann in L nicht mehr zwei reelle Äste der Kurve c, und man hat I als einen isolierten Doppelpunkt zu betrachten (vergl. 284). Wir zeigen zweitens, daß ein beliebig durch den Doppelpunkt L gezogener Strahl noch zwei weitere Kurvenpunkte trägt, die reell getrennt, vereinigt oder konjugiert imaginär sein können. Hieraus folgt dann, daß die Kurve c von der 4. Ordnung ist, wie oben behauptet wurde. In der Tat, schneidet der gedachte Strahl den Kreis p in den Punkten E und F und treffen die Radien AE und AF den Kreis k in G, bzw. H, so bestimmen die zu G und H gehörigen Tangenten auf unserem Strahle die beiden Kurvenpunkte P und Q, die von dem doppeltzählenden Punkte Z im allgemeinen verschieden sind. Aus ihrer Entstehungsweise ist unmittelbar klar, daß die Kurve c unikursal ist, d. h. daß sie stetig in einem geschlossenen Zuge beschrieben werden kann. Von isolierten Punkten wird natürlich hierbei abgesehen, und man hat sich die Kurve, falls sie sich nicht im Endlichen schließt, im Unendlichen geschlossen zu denken (vergl. 160 und 266). Die allgemeine Theorie der algebraischen Kurven zeigt - worauf hier nicht näher eingegangen werden kann. daß eine unikursale Kurve 4. Ordnung stets drei Doppelpunkte besitzt. Einer derselben ist in unserem Falle L, er ist stets reell; die beiden anderen, M und N, können reell und getrennt sein oder sich in einem besonderen Punkte der Kurve miteinander vereinen, oder sie sind konjugiert imaginär. Überdies können sie auch unendlich fern liegen. Wir werden gewöhnliche Doppelpunkte der Kurve, in denen sich zwei reelle Äste schneiden, kurz als Knotenpunkte bezeichnen. Als Berührungsknoten dagegen bezeichnen wir einen Doppelpunkt, in dem sich zwei Kurvenäste in der 1. Ordnung berühren. Man kann sich diese Singularität durch Vereinigung zweier Knotenpunkte entstanden denken. 1 Eine einfache analytische Untersuchung bestätigt dieses Resultat, indem sie zeigt, daß unsere Kurve durch eine algebraische Gleichung 4. Grades zwischen den rechtwinkligen Koordinaten x, y ihrer Punkte dargestellt wird. Macht man A zum Koordinatenanfang und legt die y-Achse durch L, so lautet diese Gleichung: p2(x2 + y2 — qy)2 — x2(qy — pr)2 − (qx2 + pry — pqr)2 = 0. 504. Die Linie AL bildet offenbar stets eine Symmetricachse unserer Kurve c. Falls L außerhalb des Kreises p liegt, lassen sich aus L die Tangenten LT und LU an p ziehen; sie bilden Asymptoten der Kurve c. Es fallen nämlich die auf LT und LU nach der obigen Konstruktion zu bestimmenden, von L verschiedenen Kurvenpunkte jedesmal im unendlich fernen Punkte des betreffenden Strahles zusammen, weil die sie ausschneidenden Tangenten des Kreises k in eine zu diesem Strahle parallele Tangente zusammenfallen. Sind ferner die vom Punkte L aus an den Kreis k gezogenen Tangenten LJ und LK reell und schneiden die Radien AJ und AK ihrer Berührungspunkte den Parameterkreis p in B und C, so sind LB und LC die Tangenten im Doppelpunkte L der Kurve c; denn von den beiden auf LB und LC noch zu bestimmenden Kurvenpunkten fällt jedesmal einer mit L zusammen. Fallen insbesondere die Tangenten L B und LC im Doppelpunkte Z zusammen, R k B Fig. 330. Fig. 331. was für q2=pr eintritt, so wird L ein sog. Oskulationsknoten, d. h. ein Doppelpunkt, in dem sich zwei Kurvenäste oskulieren (in der 2. Ordnung berühren). Es fallen in ihm die drei Doppelpunkte L, M, N zusammen. Die Endpunkte S und R des auf AL liegenden Durchmessers des Kreises k gehören der Kurve c an und bilden wegen der Symmetrie gegen AL Scheitelpunkte derselben. Fällt insbesondere L mit einem dieser Punkte S zusammen, so wird er zur Spitze, weil alsdann die aus Lan k gezogenen Tangenten und folglich auch die Tangenten an c im Doppelpunkte L koinzidieren. Fällt der Pol L des Lichtstrahles auf den Grundkreis p des Richtungskegels der Fläche, so gibt es eine Erzeugende derselben, die die Richtung des Lichtstrahles besitzt und folglich in ihrer ganzen Ausdehnung zur Lichtgrenze gehört. Der Grundriß dieser Erzeugenden |