schreibt sein Punkt P eine Strophoide, unter der Voraussetzung, daß PJ JR ist. = Hieraus schließt man weiter: Die im Abstande BA1 = AB von B gezogene Parallele zu 7 ist Asymptote der Strophoide. Es besteht nämlich für den Strahl m, durch B die Relation: S1 P1 = S1J2 - P1J1 = S1 J1 — R1J1 = 2 BJ1, 1 wenn J, P, R, S, Nähert sich nun m1 der Grenze Null. 1 seine Schnittpunkte mit i, c, 4, 4 bzw. bedeuten. der Parallelen zu 7 durch B, so nähert sich S, P1 497. Um für die Tangenten der Kurve 4. Ordnung c eine einfache Konstruktion abzuleiten, gehen wir von der zweiten Erzeugungsweise derselben (496) aus. Auf dem Strahle m durch B sei Fein Punkt des Kreises p und P ein Punkt von c, also FAP ein rechter Winkel. Wir setzen L AFB = a. Dreht sich m um einen unendlich kleinen Winkel FBG in die Lage m,, so dreht sich AP nach 4Q um den unendlich kleinen Winkel = PAQ=FAG, und man hat (Fig. 326): = Die Schenkel der an den Scheiteln A und B liegenden Winkel q und bilden das unendlich kleine Viereck PRQS, das als ein Parallelogramm anzusehen ist, und seine Diagonale PQ fällt mit der Tangente der Kurve e im Punkte P zusammen. Nach 290 hat man ein zu ihm ähnliches Parallelogramm PR, Q, S1 zu zeichnen, so daß für seine auf AP und BP gelegenen Seiten wird; seine Diagonale PQ, ist die gesuchte Tangente t. sich aber aus der Figur: Es ergibt Hiernach hat man schließlich PS1 = PA, und PU AT senkrecht = zu m, sowie UR1 senkrecht zu AP zu ziehen; man findet daraus das Parallelogramm PR1 Q, S1 und als seine Diagonale die Tangente t. 1 Auch erkennt man aus der Definition der Kurve c leicht, daß die Tangenten in ihrem Doppelpunkte B durch die Endpunkte D und E des zu AB senkrechten Durchmessers von p gehen. 498. Für eine genaue Zeichnung der Kurve empfiehlt es sich noch, die Krümmungsradien ihrer beiden Zweige in dem gemeinsamen Scheitelpunkte A derselben zu ermitteln. Sei (Fig. 326) IIJ der auf AB liegende Durchmesser des Kreises p und LM ein benachbarter Durchmesser, der mit dem vorigen den unendlich kleinen Winkel & einschließt. Der zu LM normale Durchmesser NO schneidet auf BL und BM zwei zu A benachbarte Punkte und W auf beiden Kurvenzweigen aus. AV und AW sind also unendlich kleine Sehnen der Kurvenzweige, bzw. ihrer Krümmungskreise, und da die Tangenten eines Kreises in den Endpunkten einer Sehne einen doppelt so großen Winkel einschließen als die Sehne mit einer von ihnen, so ist 28 als der zu den Elementen AV und AW gehörige Kontingenzwinkel zu nehmen. Sind "'1 und T2 die zugehörigen Krümmungsradien, so ist: Halbiert man die Strecke AB in Z und trägt auf einen Durchmesser des Kreises p von seinem Endpunkte E aus nach beiden Seiten die Strecke AB als EX und EY auf, so treffen die durch E geführten Parallelen zu XZ bzw. YZ die Gerade AB in den gesuchten Krümmungszentren K, bzw. K. Speziell für die Strophoide (Fig. 324) wird r1 = AB und r2 = oo. 499. Die offene schiefe Schraubenfläche von rechtsgängiger Windung soll mit Eigen- und Schlagschattengrenzen in orthogonaler Projektion dargestellt werden. Die Achse a sei wieder vertikal gestellt, A ihr Spurpunkt in П. Als Berandung dienen die Schraubenlinien s und t, in denen die Fläche von einem koaxialen Rotationszylinder geschnitten wird, sowie zwei einen Flächengang begrenzende Erzeugende BC und DE, beide П2Der Randpunkt B der untersten Erzeugenden e liegt auf dem Grundkreises't' des Zylinders in T. Ist S auf a die Spitze eines Richtungskegels von der Höhe = ho, RS e eine Mantellinie desselben und deren Neigung gegen П1, so ist in П,1 der Kreis p mit dem Radius AR = h.cotge zu schlagen. Endlich schlage man um A den Kreis k' mit dem Radius r = AQ' = (1 − e), der den Grundriß der Kehlschraubenlinie k bildet. Hierauf werden die Schraubenlinien k, s, t im Aufrisse als Sinuslinien in bekannter Weise verzeichnet und ebenso beliebig viele (etwa äquidistante) Erzeugende der Fläche, deren Grundrisse die auf s't' endigenden Tangenten von k' bilden (Fig. 327). Der Normalschnitt der Fläche ist nach 478 eine Kreisevolvente und zwar verschlungen, gespitzt oder gestreckt, je nachdem rho cotge ist. Die Doppelpunkte der Kreisevolvente erzeugen die Doppelkurven der Fläche. Der Meridianschnitt m der Fläche wird zweckmäßig im Hauptmeridian T2 dargestellt, so daß der Aufriß m" die wahre Gestalt zeigt. Er besteht aus unendlich vielen Zweigen, deren Aufrisse die Sinuslinie k" abwechselnd von rechts und links in ihren Scheiteln berühren und die sich in Punkten der Doppelkurven überschneiden. Den schon beim Normalschnitt unterschiedenen Eventualitäten rh.cotge entsprechend be = sitzt der einzelne Zweig der Meridiankurve einen Doppelpunkt (wie F in der Figur) oder eine Spitze oder keines von beiden, so daß man ihn ebenfalls als verschlungen, gespitzt, bzw. gestreckt be zeichnen kann. Dem Doppelpunkte entspricht eine weitere Doppelkurve, der Spitze eine Rückkehrkurve der Fläche, die alsdann abwickelbar ist. Die Kurve m" wird einfach konstruiert, indem man die Schnittpunkte der Grundrisse von Erzeugenden mit der Hauptmeridianspur m' auf die Aufrisse überträgt. Die Aufrisse der zu П parallelen Erzeugenden (z. B. e′′) bilden Asymptoten von m". 500. Zur Bestimmung der asymptotischen abwickelbaren Fläche und der Striktionslinie der offenen schiefen Schraubenfläche dient die Betrachtung ihres Richtungskegels mit der Spitze S(AS h), dessen Grundkreis in П, der mit dem Radius h.cotg & um A beschriebene Parameterkreis p ist. Wir greifen die zu П parallele Erzeugende e。 der Fläche heraus; die zu ihr parallele Mantellinie des Richtungskegels ist SR und die zu SR gehörige Tangentialebene des Kegels liegt parallel zur asymptotischen Ebene von e (vergl. 476). Letztere enthält e, selbst und erzeugt, indem sie zugleich mit e verschraubt wird, die asymptotische Fläche als Hüllfläche aller ihrer Lagen. Daher folgt (478): = Die asymptotische Fläche der allgemeinen Regelschraubenfläche ist die abwickelbare Fläche derjenigen Schraubenlinie, die über dem Parameterkreis p mit der Ganghöhe und im Sinne der gegebenen Fläche beschrieben ist. Denn ihre Tangentialebenen sind denen des Richtungskegels über dem Grundkreise p und von der Höhe ho parallel. Im Zentralpunkte einer Erzeugenden steht die Tangentialebene der gegebenen Fläche senkrecht auf der asymptotischen Ebene (476), mithin auf einer Tangentialebene des Richtungskegels und folglich parallel zur Achse a (92), also liegt (469) ihr Berührungspunkt, d. h. der Zentralpunkt, auf der Kehlschraubenlinie. Daher der Satz: Die Striktionslinie einer Regelschraubenfläche ist deren Kehlschraubenlinie. 1 501. Der wahre Umriß für die erste Projektion wird bei unserer Fläche von der Kehlschraubenlinie gebildet. Der wahre Umriß u für die zweite Projektion ergibt sich nach 474. Der Pol der projizierenden Strahlen liegt in П, unendlich fern in der Richtung der -Achse. Ist daher g' der Grundriß einer Erzeugenden, V der Endpunkt des zu g' normalen Radius des Parameterkreises p, so ziehe man durch die Parallele zur x-Achse, die g' in U' schneidet. U' ist der Grundriß des Punktes U auf g, der dem wahren Umriß angehört (Fig. 327). Die Horizontalprojektion u' des wahren Umrisses u ist eine aus zwei Zweigen bestehende |