Projektion; u" berührt a" in den Punkten J" und K", die von C" bzw. H" je um 1h entfernt sind.

491. Die Meridiankurve der vollständigen Schraubenfläche wird von zwei Scharen paralleler Erzeugenden BC, GH,... und EF,... gebildet, die gegen die Achse a abwechselnd nach links und rechts unter dem Winkel R geneigt, sie in Punkten von der gegenseitigen Entfernung schneiden. Sie schneiden einander in unendlich vielen Doppelpunkten (z. B. D), die bei der Schraubenbewegung die Doppelkurven (d) der Fläche beschreiben, in denen sich der obere und untere Flächenteil durchsetzen.

=

Die Normalkurve der Fläche ist nach 478 eine Archimedische Spirale, deren Parameterkreis (446) der mit dem Radius h.cotga um A beschriebene Kreis p ist. Wir konstruieren die Normalkurven in einer durch den Punkt J der Achse gelegten Normalebene. Ihr Grundrißn' hat dann den vertikalen Durchmesser des Parameterkreises zur Tangente im Scheitelpunkt 4. Der zu A gehörige Krümmungsradius der Spirale ist h. cotg ε. Man findet weitere Punkte derselben, wenn man von A aus auf die rechts von der genannten Scheiteltangente liegenden Radien die sukzessiven Vielfachen eines Sechzehntels der Peripherie von p aufträgt. Der erste Doppelpunkt D' der Spirale ist der Grundriß von D BCX EF und liegt auf der Doppelkurve d. Die Normale der Kurve n' in einem Punkte P' geht durch den Endpunkt Q des zu P'A senkrechten Radius von p.

=

Die Tangentialebene T in einem Punkte P der Erzeugenden e enthält außer e auch die Tangente t der durch P gelegten Normalkurve n. Ihre erste Spur t1 geht durch den ersten Spurpunkt E von e parallel zum Grundrisse t', also senkrecht zu P'Q, ihre zweite Spur to geht durch den zweiten Spurpunkt T2 von t. Man schließt hieraus den Satz:

2

Einer Reihe von Punkten P auf der Erzeugenden e entspricht ein zu ihr projektiver Büschel von Tangentialebenen mit der Achse e.

Denn die Reihe der P ist zu der Reihe der P', diese zu dem Büschel der Strahlen P'Q, dieser zu dem der Normalen t, (der Spurlinien) und der letzte endlich zu dem Büschel der Tangentialebenen projektiv.

Zur Konstruktion der Durchstoßpunkte einer Geraden und der Schnittkurve einer Ebene mit der Fläche können die in 480 und 481 gegebenen Methoden dienen.

492. Um den wahren Umriß u der Schraubenfläche für die zweite Projektion zu finden, benutzt man die in 474 angegebene allgemeine Konstruktion, indem man in П1 den Pol Z der

=

projizierenden Strahlen in der Richtung der r-Achse unendlich fern annimmt. = Ist daher (Fig. 320) g' AW der Grundriß einer Erzeugenden g, und der Endpunkt des zu g' normalen Radius von p, so schneide man g' mit der Parallelen zu r durch V in U'. U' ist der Grundriß des Punktes U der Umrißkurve, sein Aufriß U" findet sich senkrecht darüber auf g".

Die Horizontalprojektion u' des wahren Umrisses u besteht aus zwei Zweigen, die sich in dem gemeinsamen Scheitelpunkt A berühren und die zur z-Achse parallelen Tangenten des

2

Kreises p zu Asymptoten haben. Auf den Radien AW und AW, des Kreises p seien die Nachbarpunkte U' und U' der Kurve u' nach obigem Verfahren bestimmt. Ferner sei AX U'V, XZ‡U' A, WW, U'V und U'AX w. Das durch die Hilfslinien gebildete || ▲ = Viereck U'U" UU" nähert sich der Parallellogrammform, wenn das mit seiner Diagonale zusammenfallende Kurvenelement U'U unendlich klein wird. Daher wird (290) die Kurventangente in U' als U'Y erhalten, wenn man Y auf XZ so bestimmt, daß das Verhältnis XY: U'X dem Grenzwerte von U'U": U'U" gleich wird. Für den Grenzübergang darf man setzen:

und findet daher, wenn Y den Schnittpunkt XZ × AV bedeutet: U' U" WW, WW2 cos @ AW cos@

=

=

U' U,"

U'U"

=

AU'

X V

XY

=

AU'

U'X'

U' U" Hierin liegt eine einfache Tangentenkonstruktion. Ist U' der gegebene Kurvenpunkt auf u', so zeichne man das rechtwinklige Dreieck U'AV, schneide seine Hypotenuse U'V mit AM in X und

projiziere X senkrecht auf die Kathete AV nach Y, so ist YU' die gesuchte Tangente.

Der Kreis um 0,, der u' in A berührt und außerdem in U schneidet, geht in den Krümmungskreis k des Scheitels 4 über, wenn sich unbegrenzt A nähert. Dabei ist stets WAM = 1⁄2 ▲ U'O̟ ̧À. Wird U' zu dem Punkt A also W zu dem Punkt M benachbart, so ist der Konstruktion gemäß das Element U'A von u' gleich dem Element W von p. U'A ist dann zugleich Element des Krümmungskreises und nach obigem ist der zugehörige Kontingenzwinkel doppel so groß wie der des Elementes WM. Folglich ist AOAR der Krümmungsradius im Scheitel der Kurve u'.

=

K

493. Der Umriß u" der zweiten Projektion der Schraubenfläche wurde bereits als Hüllkurve der Aufrisse ihrer Erzeugenden bestimmt. Die zugehörigen Berührungspunkte ergeben sich aus dem Grundrisse. Er besteht aus zwei Scharen hyperbelartig verlaufender Zweige, die den Achsenaufriẞ a" abwechselnd von links und rechts berühren und die Aufrisse der zu TT, parallelen Erzeugenden zu Asymptoten haben. Die Erzeugenden, deren Aufrisse sich mit a" decken, treffen a in Punkten, deren zweite Projektionen die Berührungspunkte von a" und u" bilden. Jeder solche Punkt ist ein Scheitel von u", weil irgend zwei gleich weit von ihm entfernte Erzeugende sich als Gerade projizieren, die zur Normalen von a" symmetrisch liegen.

NM"
P

J=K'

ki

NM

Fig. 321.

Es soll noch der Krümmungsradius von u" in einem Scheitel konstruiert werden. Sei eine Erzeugende der Fläche, deren Aufriß i" mit a′′ zusammenfällt und J = i × a, so ist J" ein Scheitel von u". Sei ferner k eine benachbarte Erzeugende, Kkx a und U der auf k gelegene Punkt K= des wahren Umrisses u, setzt man endlich:

so gehören zu den Bogenelementen U"J" und U'J' der Kurven u” und u' bzw. die Kontingenzwinkel " und 2t' (492). Auf der Achse a werde von K aus abwärts die reduzierte Ganghöhe h。 abgetragen und durch ihren Endpunkt eine Parallelebene zum Grundrisse gelegt, die k in N und die Parallele zu i durch K in M schneiden mag. Dann ist:

ndem ' und " gleichzeitig unendlich klein werden, nähert sich M'N' : M′′ N" dem Werte 1 und man erhält als Grenzwert:

Sofern man beim Grenzübergange von unendlich kleinen Größen höherer Ordnung absehen kann, wird:

Für als Krümmungsradius von u" in J" folgt aus 7):

U" K" = } U′′ J′′ = }r • t′′,

ebenso, weil die Kurve u in J' den Krümmungsradius h⚫cotg & hat (492):

=

U'K' h.cotg ε. T'.

Aus der Relation ) erhält man endlich mit Benutzung von α):

Hiernach ist der Krümmungsradius r leicht konstruierbar.

494. Die Eigen- und Schlagschattengrenzen der geschlossenen schiefen Schraubenflächen bei Parallelbeleuchtung (Fig. 322). Ein Gang des unteren Flächenteiles sei wie vorher dargestellt. Unter der Annahme:

Ll'x = 1" x = 45°

bezüglich der Richtung der Lichtstrahlen 7 werde zuerst von dem Punkte S der Achse a, dessen erster Tafelabstand der reduzierten Ganghöhe, gleich ist, der Grundrißschatten S und aus diesem der Pol L der Lichtstrahlen bestimmt. Über dem Grundkreise s denke man sich einen Richtungskegel der Fläche konstruiert.