unendlich kleine Größen höherer Ordnung gemessen werden) mit den von ausgehenden Nachbarelementen der Kurven i und h überein, und JL ist die gemeinsame Normale beider Kurven (Fig. 282). Daher der Satz: In den Berührungspunkten J einer bewegten Kurve i mit ihrer Hüllkurve h gehen die Normalen durch den augenblicklichen Drehpunkt L. Ꭻ Ꭻ Ist K auf LJ das zu J gehörige Krümmungszentrum der Kurve i und K, seine zum Stützpunkte L, gehörige Nachbarlage, so schneiden sich KL und K11 in dem Krümmungszentrum H der von K beschriebenen Bahn. Die durch L1 gezogene Normale LJ der Nachbarkurve, die mit LJ das Krümmungszentrum der Hüllkurve h bestimmt, ist (wenn wieder unendlich kleine Größen höherer Ordnung außer Betracht bleiben) als mit K, L, identisch anzusehen, wie man am leichtesten erkennt, wenn man sich die Kurven i und in der Umgebung der zu betrachtenden Stellen durch ihre um K und K1 beschriebenen z Krümmungskreise ersetzt denkt. Hieraus folgt: H Fig. 282. Die Hüllkurveh hat in ihrem Berührungspunkte mit der beschreibenden Kurve i dasselbe Krümmungszentrum H wie die Bahnlinie des zugehörigen Krümmungszentrums K der letzteren. Zyklische Linien. 435. Jede ebene Kurve kann als Rolllinie aufgefaßt werden. Hierdurch wird aber die Darstellung einer Kurve auf die zweier anderen zurückgeführt, das Problem also im allgemeinen nicht vereinfacht. Es empfiehlt sich daher nur dann, eine Kurve als Rolllinie zu erzeugen, wenn die hierbei verwendeten Kurven besonders einfache sind, z. B. bei den zyklischen Kurven. Die zyklischen Linien 19) werden durch das Rollen eines Kreises auf einem anderen Kreise erzeugt (die Fälle eingeschlossen, wo einer der Kreise in eine Gerade übergegangen ist); man teilt sie folgendermaßen ein. Eine Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt, eine Epi- oder Hypotrochoide, wenn ein Kreis auf der Außen- oder Innenseite eines zweiten Kreises rollt, und eine Kreise volvente beim Rollen einer Geraden auf einem Kreise. Jede dieser zyklischen Kurven kann gespitzt, gestreckt oder verschlungen sein, und zwar treten diese drei Formen auf, je nachdem der beschreibende Punkt auf der rollenden Linie selbst, oder durch diese vom Zentrum der Bahnlinie getrennt, oder mit ihm auf der nämlichen Seite liegt. Die gespitzte Zykloide wird oft schlechthin Zykloide, die gespitzten Epi- und Hypotrochoiden werden Epi- und Hypozykloiden genannt. 436. Die Zykloiden, Epi- und Hypotrochoiden, die man auch unter dem Namen der Radlinien zusammenfassen kann, bestehen aus kongruenten Gängen, von denen ein jeder bei einer vollen Umdrehung des rollenden Kreises erzeugt wird. Als Ursprungspunkte bezeichnet man diejenigen Kurvenpunkte, deren Entfernung vom zugehörigen Stützpunkte ein Minimum ist und rechnet die Gänge von einem Ursprunge bis zum nächsten. Solcher Gänge erhält man, indem man die Kurve durch Vor- oder Rückwärtsrollen beschreibt, im allgemeinen unendlich viele. Nur wenn das Verhältnis der Radien (und mithin der Umfänge) des rollenden und des festen Kreises dem zweier ganzer Zahlen, x:λ, gleich ist, wird sich die Radlinie nach Gängen und x Umläufen (um den festen Kreis) schließen. Als geschlossene Epizykloiden ergeben sich z. B. bei gleichen Radien die Pascalschen Linien (vgl. 294, 295). Die Kreisevolventen gehören zu den Spiralen; sie bestehen aus Windungen, von denen eine jede einem vollen Umlauf der rollenden Geraden um den festen Kreis entspricht. Die Windungen erstrecken sich von einem Ursprunge aus mit beiderlei Umlaufssinn ins Unendliche. Besondere Beachtung verdient die verschlungene Kreisevolvente, deren Ursprung im Zentrum des Kreises liegt; sie ist als Spirale des Archimedes bekannt. Außer den wichtigeren zyklischen Kurven soll hier noch die Sinuslinie kurz besprochen werden, die nach ihrer Entstehungsweise mit ihnen verwandt ist. 437. Rollt der Kreis k auf der geraden Linie 7, so beschreibt irgend ein Punkt M seiner Peripherie eine gespitzte Zykloide. Die Ursprungspunkte sind Spitzen und werden von den Punkten ge bildet, in denen der beschreibende Punkt auf die Bahnlinie 7 trifft sie folgen einander in Abständen gleich dem Umfange des rollenden Kreises. Jeder Gang ist symmetrisch zu der Normalen durch seinen höchsten, nach einer halben Umdrehung von k erreichten Punkt. — Es seien A und B auf zwei aufeinander folgende Spitzen der Zykloide (Fig. 283) und k der rollende Kreis in der Anfangslage, wo der Stützpunkt L mit A zusammenfällt. Die rollende Bewegung von k denke man sich zusammengesetzt aus einer Drehung um das Zentrum N, wobei A in M übergehen mag, und einer Verschiebung in der Richtung der Bahnlinie 7, deren Größe durch die Strecke AL' Bog AM gegeben ist. Um die Endlage M' des beschreibenden Punktes zu erhalten, ist L'M'AM zu ziehen. Zu M als beschreibendem Punkte findet man P als Krümmungszentrum, wenn = = Fig. 283. man aus dem Endpunkte Q des Kreisdurchmessers MQ die Senkrechte zu 7 zieht und sie mit MA schneidet (vgl. 431, 432). Pliegt auf einem zu k kongruenten Kreise h, der 7 in A von der entgegengesetzten Seite berührt. Aus P ergibt sich der Krümmungsmittelpunkt P' der Zykloide im Punkte M' durch die Beziehung PP'‡AL'. Hieraus folgt: M'L' L'P', d. h. der Satz: Der Krümmungsradius. der Zykloide im Punkte M ist gleich dem doppelten Abstande desselben vom Stützpunkte oder gleich der doppelten Normalen. Zieht man parallel zu 7 die Tangente i des Kreises h und bemerkt, daß PP' = Bog AP ist, so erkennt man, daß P' aus A hervorgeht, indem der Kreis h auf der Geraden i rollt. Daher gilt der Satz: Die Evolute einer Zykloide ist eine zu ihr kongruente Zykloide. Der höchste Punkt C des Zykloiden ganges liegt mitten zwischen den beiden Spitzen A und B; seine Höhe über der Bahnlinie ist dem Durchmesser des rollenden Kreises gleich. Da diesem Punkte C eine Spitze der Evolute entspricht, so ist er ein Scheitelpunkt (vgl. 303). Die Scheitel der Evolute fallen mit den Spitzen der Zykloide zusammen. Man konstruiert die Zykloide zweckmäßig unter Benutzung einiger Krümmungskreise, die sich nach dem Gesagten leicht finden lassen. 438. Ein Punkt M der Innenfläche des Kreises k beschreibt, wenn k auf der Geraden 7 rollt, eine gestreckte Zykloide. Man zeichne den Kreis in solcher Lage, daß der beschreibende Punkt seine tiefste Position A auf dem Radius des Stützpunktes L einnimmt. A ist ein Ursprungspunkt; sein Abstand vom nächsten Ursprungspunkte B ist dem Kreisumfange gleich. Durch 4 werde = Fig. 284. ein mit k konzentrischer Kreis m gelegt (Fig. 284). Nimmt man auf m einen Punkt M an, schneidet den Radius NM mit k in K, trägt auf der Bahnlinie vom Stützpunkte L aus die Strecke LL' Bog LK ab und macht L'M' LM, so ist M' ein Punkt der Zykloide. Es ist zweckmäßig, alle weiteren Konstruktionen an den anfangs gezeichneten Kreisen k und m vorzunehmen, und die konstruierten Punkte erst nachträglich durch die entsprechende Verschiebung parallel zur Bahnlinie in ihre richtige Lage überzuführen. Zu dem beschreibenden Punkte M ergibt sich (nach 431) der Krümmungsmittelpunkt P und aus P der Krümmungsmittelpunkt P' der Zykloide im Punkte M', wenn PP' #LL gemacht wird.. Die Ursprungspunkte A und B, sowie der, nach einer halben Umdrehung des rollenden Kreises erreichte, höchste Punkt C sind Scheitel der gestreckten Zykloide. Jeder Gang ist gegen die Normale seines höchsten Punktes C symmetrisch. Im Punkte A oder B ist die Zykloide gegen die Bahnlinie konvex, in C konkav; zwischen und C wechselt sie daher die Krümmung in einem Wendepunkte und ebenso zwischen C und B in W. Da der Mittelpunkt N des rollenden Kreises eine gerade Linie || beschreibt, so gehört er stets dem Wendekreis w für den betreffenden Stützpunkt an und dieser ist speziell für L über dem Durchmesser LN zu schlagen. Ist Rein Schnittpunkt von w und m, so ergibt sich ein Wendepunkt V, indem man auf R dieselbe Konstruktion anwendet, wie vorhin auf M. Wie hier ohne Beweis mitgeteilt werden mag, besitzt die gestreckte Zykloide noch in jedem Gange zwei weitere Scheitelpunkte D und E. Man findet einen derselben D, wenn man den Radius LN des Kreises k um seine halbe Länge bis J verlängert, den Kreis über dem Durchmesser JL mit m in M schneidet und M zum Ausgangspunkte der oben geschilderten Konstruktion macht. In der Figur ist, um sie nicht durch viele Linien unklar zu machen, die Konstruktion nur einmal durchgeführt, nämlich für den besonderen Punkt M' D. Um einen Gang der gestreckten Zykloide zu zeichnen, beschränkt man sich am besten auf die Bestimmung der Scheitel- und Wendepunkte und der zu ersteren gehörigen Krümmungskreise; die Zentren derselben sind nach den in 431 gemachten Angaben leicht zu finden. Den vier Scheiteln A, D, C, E eines Ganges entsprechen Spitzen der (in der Figur punktierten) Evolute, die Kurvennormalen in den beiden Wendepunkten V und W bilden Asymptoten der Evolute. = 439. Ein Punkt der Außenfläche des Kreises k beschreibt, wenn dieser auf der Geraden 7 rollt, eine verschlungene Zykloide (Fig. 285). Es sei k der rollende Kreis in einer solchen Position, daß der beschreibende Punkt seine tiefste Lage A auf dem Radius NL einnimmt, und m der mit k konzentrische Kreis durch den Ursprungspunkt A. Trägt man vom Stützpunkte L auf k und 7 die gleiche Länge als Bogen LK und Strecke LL' auf, schneidet den Radius NK mit m in M und zieht L'M' LM, so ist M' ein Punkt der Zykloide. Der zugehörige Krümmungsmittelpunkt P' wird gefunden, wenn man den verlängerten Radius MN mit der Normalen zu ML in Q und die Senkrechte zu 7 durch Q mit ML in P schneidet, hierauf aber P in der Richtung der Leitlinie um die Strecke LL' bis nach P' verschiebt. |