1

1 19

"

1 ,

(M' H‚' \ l'‚ G ̧ ́Н‚'1M' A‚'‚ G1'M' = J ̧1⁄2′′ P1, L ̧′′ P1 ± 0′′Ï‚ ̋‚ Ï1⁄2′′ P1 ¦ a' ́). Hat man es mit einer beliebigen Rotationsfläche zu tun, so ist zunächst in dem bezüglichen Punkte der Krümmungskreis der Meridiankurve zu zeichnen, dann kann wie vorher weiter verfahren werden.

u

0

Q",

417. Das oskulierende Hyperboloid resp. Ellipsoid kann man auch zur Konstruktion der Krümmungskreise in den Scheitelpunkten der Lichtgrenze verwenden. Solche Scheitelpunkte von u liegen in der Meridianebene durch und in der Ebene der Parallelkreise mit dem Mittelpunkte M. Die Scheitelpunkte B, B1 in der Meridianebene durch ergeben sich durch Drehung dieser Ebene um a parallel zu П1⁄2 (Bo 0′′ B1° ± 1°, 1o ist der П2 gedrehte Lichtstrahl). Ist b der Parallelkreis durch B, so hat das längs b oskulierende Hyperboloid seinen Mittelpunkt in D auf a (0′′ Bo × a′′ Q"VIO" B°, V auf O" M", D" = B°V × a′′). Die Ebene, welche in BD senkrecht auf der bezüglichen Meridianebene steht, schneidet das Hyperboloid in seiner Lichtgrenze u, da diese B enthält. Die Ellipse w hat aber mit u in B vier unendlich nahe Punkte gemein; denn das in einem beliebigen Parallelkreise i oskulierende Hyperboloid besitzt eine Lichtgrenze v, die u in seinen beiden Schnittpunkten mit i berührt; diese beiden Berührungspunkte fallen für den Parallelkreis b zusammen.

=

Die Ebene von w ist zugleich die Schmiegungsebene von u im Punkte B und der Krümmungskreis in diesem Punkte, der für u und w der gleiche ist, liegt auf der Kugel mit dem Mittelpunkte Q, welche die Ringfläche längs b berührt. Denn in der Tat schneidet die Schmiegungsebene den Kreis b und den ihm unendlich nahen Parallelkreis in je zwei unendlich nahen Punkten; diese vier unendlich nahen Punkte gehören aber ebenso, wie die bezüglichen Parallelkreise, zugleich der Ringfläche, dem oskulierenden Hyperboloide und der soeben genannten Kugel an, so daß der in der Schmiegungsebene liegende Kugelkreis mit u in B vier unendlich nahe Punkte gemein hat. Der Mittelpunkt des Krümmungskreises st also der Fußpunkt C des von Q auf BD gefällten Lotes; in der zum Aufiisse parallel gedrehten Ebene ist Q′′ C° 1 B° V und Co Bo der Radius des Krümmungskreises von u in B. Dieser Kreis projiziert sich in П, als Ellipse mit der kleinen Halbachse B'C', ihre große Halbachse hat die Länge B° Co, und ihr Krümmungsradius in B' ist zugleich der von u'; seine Konstruktion erfolgt nach 274.

Ganz in der gleichen Weise bestimmen sich die Radien der Krümmungskreise von u in B1 und von u' in B1'; an Stelle des

oskulierenden Hyperboloides tritt indessen hier ein oskulierendes Ellipsoid (Q"C1° 1 B ̧°V).

Das Hyperboloid, das die Ringfläche längs des kleinsten Parallelkreises m oskuliert, hat vier unendlich nahe Kreise mit ihr gemein; seine Lichtgrenze eine Hyperbel y hat in ihrem Schnittpunkte E mit m drei benachbarte Punkte mit u gemein, y und u besitzen daher in E den gleichen Krümmungskreis (E'M' '). Die Schmiegungsebene von u in E, oder was dasselbe ist, die Ebene von y, enthält die Mantellinien des Asymptotenkegels des Hyperboloides, deren Tangentialebenen durch gehen. FM ist nun eine Mantellinie dieses Kegels in der Ebene des Hauptmeridians (E° = k × m, E°F° O"M", F°O" 1 F° M"); denn es ist nach 269 FM" eine Asymptote der Hyperbel, die E° zum Scheitel und k zum Krümmungskreise besitzt. Die Parallelebene durch Fo schneidet den Asymptotenkegel in einem Kreise, dessen erste Projektion m' ist, und den Lichtstrahl im Punkte R (R°F° || O′′ M", R° = 1° × FoRo, R'M' = (R° — a")); die Projektion y' hat also M'S' zur Asymptote, wenn R'S' den Kreis m' in S' berührt. Der Krümmungsradius T'E' für y' und zugleich für u' im Scheitel E' wird erhalten, indem man die Normale zu E'M' in E' mit der Asymptote M'S' schneidet und hier auf dieser eine Senkrechte errichtet; dieselbe geht dann durch T.

eine

Geht man von dem Ellipsoide aus, das die Ringfläche längs des größten Kreises m, oskuliert, so muß seine Lichtgrenze Ellipse z - in ihrem Schnittpunkte E, mit m1 drei benachbarte Punkte mit u gemein haben und also dort den gleichen Krümmungskreis aufweisen. Der Hauptmeridian des Ellipsoides ist eine Ellipse - mit den Halbachsen M"E° und M"F1, wenn (M”F1)2 = E ̧°M”. E ̧°0′′ ist, denn sie hat k zum Krümmungskreise (vgl. 274). Die zu 7 konjugierte Diametralebene in bezug auf das Ellipsoid enthält z und ist Schmiegungsebene von u in E1; sie steht auf der Meridianebene durch 7 senkrecht und schneidet diese in dem Durchmesser der Meridianellipse, der zu 7 konjugiert ist. Diese Meridianebene dreht man parallel zu П, und hat dann zu 1o den konjugierten Durchmesser in bezug auf die Ellipse mit den Halbachsen M′′E ̧° und M'F, zu suchen. Dazu benütze man den zur Ellipse affinen Kreis mit dem Radius M"E,° und dem Mittelpunkte M", dann ist F2 affin zu F1 (M" F, = M" E1°), R, affin zu R1 auf 1° (R, F1 || R2 F2 || O′′ M′′). Ist nun W2l" | R2 M" und WM" EM", so ist die affine Ge

2

1

2

1

2

=

1

1

2 2

rade WM" der zu 1 konjugierte Durchmesser, sein Endpunkt W1 liegt senkrecht über W. Die Halbachsen der Ellipse z' sind des

2'

halb M'E' und M'X' =

2

(W2 - a"); daraus folgt der Krümmungsradius für u' in E.

ᎬᎢ = (M'X' }2: M'E' In der Fig. 266 ist u nicht selbst eingezeichnet, man vergleiche hierzu Fig. 259; die eingezeichneten Krümmungskreise lassen den Verlauf von u' klar erkennen.

418. Es soll noch kurz die Tangente der Lichtgrenze u einer Rotationsfläche bei zentraler Beleuchtung besprochen

werden. In Fig. 267

R

sein

mit

sei a die Rotationsachse, i ein Parallelkreis der Fläche, J Schnittpunkt dem Hauptmeridian, k dessen Krümmungskreis in J, O der Mittelpunkt von k und L der leuchtende Punkt; als Aufrißebene benutzen wir die Hauptmeridianebene. Das

längs oskulierende Hyperboloid hat seinen Mittelpunkt in N (OJ × a = K, KU 1 OJ, UO La, JUX a N); seine Lichtgrenze & schneidet i in zwei Punkten A und B, in denen v die Kurve u be

=

rührt. Die Kurve v liegt in einer Ebene E; schneiden wir also E mit i, so erhalten wir zwei Punkte A und B von u; schneiden wir ferner E mit den Tangentialebenen der Rotationsfläche in A resp. B, so gewinnen wir die Tangenten von u in diesen Punkten.

Es kommt also alles darauf an E zu bestimmen. Wählen wir aber auf dem Durchmesser LN des Hyperboloides einen weiteren Punkt M und legen von ihm aus den Tangentenkegel an dasselbe, so liegt nach 410 sein Berührungskegelschnitt in einer zu E parallelen Ebene. Speziell erkennen wir, indem wir M unendlich fern rücken lassen, daß die Diametralebene A, die zu dem Durchmesser LN

konjugiert ist, zu E parallel läuft. Nun enthält ▲ alle Punkte des Hyperboloides, deren Tangentialebenen zu LN parallel sind. Auf i finden wir die beiden Punkte von ▲ mit Hilfe der Kugel, die die Rotationsfläche längs i berührt, d. h. sie liegen in der zu LN senkrechten Ebene durch K. Ist y der in der Hauptmeridianebene liegende Durchmesser von i, so gehört also der Punkt R von y der Ebene ▲ an, wenn RKIL" N ist; die Ebene ▲ hat somit RN zur zweiten Spur und steht auf der Meridianebene durch L senkrecht.

Die beiden Schnittpunkte A und B von E und liegen auch auf einem Kreise der obengenannten Kugel, der die Berührungspunkte der von L an sie gelegten Tangenten enthält; der Punkt SABX y liegt demnach auf der Polaren des Punktes L" in bezug auf den Kreis um K mit dem Radius KJ. Hierdurch ist S und somit A und B bekannt (A'B' L'N', A'B' x x = S'). AB ist die Spur von E in der Ebene von i. Die Spur e, von E geht durch 8 und ist zu RN parallel; wir verzeichnen außerdem die Spur e, von E in einer beliebigen Horizontalebene, etwa der Ebene durch O (e,'|| A'B'). Die Tangentialebene in A besitzt in dieser Horizontalebene die Spur HC (H'C' A'N' H', H'N' = (Va), JV Tangente von k in J); demuach ist 'C' die Tangente von u' in A' (C'H'C' x e'), woraus auch die Tangente "C" von u" folgt.

Gehört der Kreis i dem elliptisch gekrümmten Teile der Rotationsfläche an, so tritt an Stelle des oskulierenden Hyperboloides ein Ellipsoid, was jedoch die Konstruktion nirgends verändert.

419. Auf der Kurve der Lichtgrenze haben nach 394 die Punkte eine besondere Bedeutung, in denen die Tangente dem Lichtstrahle parallel ist bei parallelem Lichte, oder in denen die Tangente durch den leuchtenden Punkt geht bei zentralem Lichte. Es soll nun bei der Ringfläche noch etwas näher auf die Punkte von u mit zum Lichtstrahle parallelen Tangenten eingegangen werden. Ist P ein solcher Punkt und t|| eine Gerade durch ihn, so ist t eine Haupttangente der Ringfläche. Läßt man t sich um die Rotationsachse a drehen, so entsteht ein Rotationshyperboloid, das die Ringfläche längs des Parallelkreises i oskuliert, der den Punkt P trägt. Der Hauptmeridian des Hyperboloides sei die Hyperbel h, derjenige der Ringfläche der Kreis k; k oskuliert h im Punkte J von i. Der Asymptotenkegel des Hyperboloides wird erhalten, wenn man durch seinen Mittelpunkt N eine Parallele zu 7 zieht und diese um a rotieren läßt; die Asymptoten der Hyperbel h schließen demnach mit a den gleichen Winkel ein wie 7. Um also einen Parallelkreis zu finden, der zwei Punkte von der gesuchten Art

trägt, haben wir folgende Aufgabe zu lösen. Es ist eine Hyperbel h zu suchen mit der Achse a, deren Asymptoten mit a einen bestimmten Winkel a = _la bilden, und die den Kreis k zum Krüm

a

H

R

M

Τ

=

In Fig. 268 sei O der Mittelpunkt von k und M der Mittelpunkt der Ringfläche mit dem Hauptmeridian k (OM1a). Errichtet man in K: OJ X a eine Normale zu JO und schneidet diese mit OM in U, so geht UJ durch den Mittelpunkt N von h; die Geraden NA und NB, die mit a dena einschließen, sind die Asymptoten von h. Der zu NJ konjugierte Durchmesser ist NH (NHLOJ); zieht man also durch eine Parallele zu a, und schneidet diese NA, NB, NJ, NH resp. in A, B, J, H, so liegen diese Punkte harmonisch. Deshalb gilt für den Mittelpunkt Q von AB (NQ1a) die Relation: (QA)2 = QJ.QH, die nun noch weiter umzuformen ist. Zu diesem Zwecke setze man OJ=r, OM=d und OR = x, wo R= ABX OM ist; dann ist: AQHNA ROJ, also: QH. RJ: = x. QN.

Fig. 268.

Ferner ist: QJ: RJ =QN: RU,

folglich:

und:

*

OR ergibt sich hiernach als dritte Wurzel aus dem Werte OM.(OT), die man am besten durch Rechnung findet. Dann hat man unmittelbar J und den Parallelkreis i, auf dem sich die gesuchten Punkte wie früher finden lassen.