wo 2r den Durchmesser von k bedeutet. Zum Beweise benutzen wir noch den Mittelpunkt M der Ringfläche, den Mittelpunkt N von k, die senkrecht über M bzw. N in der genannten Horizontalebene liegenden Punkte U und V und die Schnittpunkte S und T von k mit r, bzw. r. Es folgt dann einerseits aus der Figur:

(P1 U)2 — (HU)2 = (d+ VS) — (HU), wo: d = N M ist,

Y2 (d — V S)2 — (HU)2,

2

(MU)2 — (HU)2

Andererseits ist das Produkt der Potenzen des Punktes Hin bezug auf die beiden Parallelkreise r, und r, gleich dem Produkt der Potenzen von H in bezug auf die Hauptmeridiankreise k und 1, also: HJ.HK = (MJ)2 — (MH)2 = d2 — r2 — (M H)2.

=

In Verbindung mit der ersten Gleichung kommt:

(Y1 - Y2)2 = 4r2, oder 12 = 2r.

3

1

У 1 Y2

=

Die Punkte P1, P3, J und K gehören einem Kreise i an, denn es ist: HJ.HK = y1y; sein Mittelpunkt liegt auf den Mittelsenkrechten der Sehnen JK und P1 P3; d. h. in O, wenn MO M'O' = r ist. Dieser Kreis i ist durch J, K und seinen Mittelpunkt O bestimmt und ist demnach unabhängig von der Wahl der Geraden h und der Punkte P1 und P, auf ihr. Daraus geht hervor, daß i den einen Teil der Schnittkurve der Ebene E mit der Ringfläche bildet; der zu in bezug auf die Hauptmeridianebene symmetrische Kreis j bildet den anderen Teil. Die Projektion i' des Kreises i ist eine Ellipse, deren große Achse 2d und deren kleine Achse = A'B' = 2 MJ = 2√ď2 - ist, und von der M' einen Brennpunkt darstellt; denn man hat: M'PM'P' M'S' + M'T

=

= 2 d.

Die Ringfläche kann hiernach auch durch Rotation eines Kreises um eine gegen seine Ebene geneigte Achse erzeugt werden; die Projektion des Kreises auf eine zur Achse senkrechte Ebene liefert dann eine Ellipse, deren einer Brennpunkt auf der Achse liegen muß.

2

2

403. Der Umriß einer Ringfläche ist zu bestimmen, wenn ihre Achse gegen die Projektionsebene geneigt ist (Fig. 258). Die Achse a sei gegen П, geneigt, dann wählen wir П2a, so daß der Umriß in П2 von zwei Kreisen und ihren gemeinsamen parallelen Tangenten gebildet wird. Der Umriß in П1⁄2 kann dann, wie bei jeder Rotationsfläche, durch das Kugelverfahren gefunden werden. Ist nämlich B ein Punkt des Hauptmeridians k und trifft die zugehörige Normale die Achse a in J, so berührt die Kugel

=

mit dem Mittelpunkte J und dem Radius JB die Fläche längs des Parallelkreises durch B. Der zu П, parallele größte Kreis der Kugel erscheint als ihr Umriß; er trifft den genannten Parallelkreis in zwei Punkten D und E, die dem gesuchten Umriß der Ringfläche angehören (J" D" || x, J'D' J'E' = J"B"). Die Kugel mit dem Mittelpunkte K und dem Radius KC liefert analog die Punkte F und G (F" K" || x, K'F'=K'G'=K"C"). Die Kreise mit den Mittelpunkten J bzw. K' berühren den Umriß in den Punk

ten D', E' bzw. F', G'; die Geraden J'D', J'E', K'F', K'G' sind also Normalen der Kurve u'.

Dem soeben geschilderten Verfahren, das bei allen Rotationsflächen anwendbar bleibt, läßt sich speziell bei der Ringfläche die folgende Betrachtung zur Gewinnung des Umrisses gegenüberstellen. Die Normalen der Ringfläche in den Punkten eines Meridiankreises gehen durch dessen Mittelpunkt, der horizontale Durchmesser dieses Kreises trägt also seine beiden,

*0"

DE

D'

Fig. 258.

dem Umrisse angehörigen Punkte, da die zugehörigen Tangentialebenen zu П, senkrecht stehen. Der bei der Rotation um die Achse beschriebene Bahnkreis e des Mittelpunktes O von k wird von allen Normalen der Ringfläche getroffen, und zwar steht c auf den Normalen senkrecht. Da sich aber ein rechter Winkel mit einem zu π1 parallelen Schenkel wieder als rechter Winkel projiziert, so projiziert

sich der horizontale Durchmesser jedes Meridiankreises auf à ̧ als Normale der Ellipse c'. Trägt man auf allen Normalen der Ellipse c' nach beiden Seiten die Strecker gleich dem Radius von k auf, so erhält man den Umriß u'.

Die Kurve u besteht aus zwei getrennten Teilen, die ebenso wie c' doppelt symmetrisch sind; man nennt u' eine zu e' parallele oder äquidistante Kurve. Eine Kurve und eine zugehörige äquidistante Kurve haben dasselbe Normalsystem und somit die gleiche Evolute; umgekehrt sind alle zu der gleichen Kurve gehörigen Evolventen parallele Kurven, sie werden von den Punkten einer Geraden beschrieben, die auf jener Kurve ohne zu gleiten abrollt. Die Evolute d der Ellipse c' besitzt den vier Scheitelpunkten von c' entsprechend vier Spitzen in den zugehörigen Krümmungsmittelpunkten (303). In der Figur ist nur einer der vier symmetrischen Teile von d verzeichnet, er endigt in den Spitzen S, und S. Wo die Evolvente u' auf die Evolute d auftrifft, besitzt sie eine Spitze und steht auf d senkrecht, so z. B. in H'; dieser Punkt bestimmt sich auf der Evolute, indem man den Kurvenbogen H'S2 von d gleich S, T′ = S2 O′ — r macht. S2 Ο' Aus H' ergibt sich einfach der Punkt H auf der Fläche.

404. Die Lichtgrenze auf der Ringfläche kann ebenfalls vorteilhaft durch das Kugelverfahren gefunden werden (Fig. 258). Sind l' und 7" die Projektionen eines Lichtstrahles, so bestimme man zunächst seine Projektion "" auf eine zu a senkrechte Ebene E ihre zweite Spurlinie sei e2 und drehe diese um die zu e, parallele Gerade der Hauptmeridianebene parallel zu П2, so erhält man (L1 x E, L" L。 1 е, L′′ L。 = (L'a')). Betrachtet man nun die Kugel mit dem Mittelpunkte K und dem Radius KC, so bildet ihr größter Kreis in einer zu senkrechten Ebene die Lichtgrenze auf ihr, und die Schnittpunkte dieser Ebene mit dem Parallelkreise durch C sind Punkte der Lichtgrenze auf der Ringfläche. Die Ebene der Lichtgrenze auf der Kugel schneidet die Hauptmeridianebene in einer zul" senkrechten Geraden KN und die Ebene des Parallelkreises in einer zu "" senkrechten Geraden durch N; letztere enthält die gesuchten Punkte. Durch Paralleldrehen dieser Ebene zu П, geht der Parallelkreis in über, und die Gerade wird senkrecht zu l (N" Po Q。 1); dreht man die Schnittpunkte Po, Qo von Gerade und Kreis wieder zurück, so sind P", Q′′ die Aufrisse der gesuchten Punkte, deren Grundrisse daraus folgen ((P'a') = PP", (Q'a') QQ). In der Figur ist die Lichtgrenze nicht eingezeichnet.

09

Der Schlagschatten der Ringfläche auf die Horizontalebene ist hiernach punktweise zu bestimmen, indem man die Punkte der Licht

grenze Schatten werfen läßt. Über die Form dieses Schlagschattens läßt sich folgendes bemerken. Der Schatten der Ringfläche auf eine zur Lichtrichtung senkrechte Ebene ist eine äquidistante Kurve zu der Schattenellipse des Bahnkreises c von O; es gelten dafür die gleichen Gründe wie bei u'. Der Schatten der Ringfläche auf eine beliebige Ebene ist also eine affine Kurve zu jener äquidistanten Kurve.

405. Eigen- und Schlagschatten einer Ringfläche mit vertikaler Achse (Fig. 259). Jede Kugel, die einen Meridiankreis der Ringfläche zum größten Kreise hat, berührt sie längs desselben, so daß die Ringfläche als Hüllfläche eines Systems von gleichen Kugeln erscheint, deren Mittelpunkte auf einem Kreise liegen. Nun wähle man eine Kugel K, deren Mittelpunkt M mit dem der Ringfläche zusammenfällt und deren Radius dem der Meridiane gleich ist. Eine beliebige Meridianebene schneidet alsdann Kugel und Ringfläche in drei gleichen Kreisen, deren Mittelpunkte M, B und C sein mögen (MB = MC = d, CMB 1a). Durch Verschiebung des

ROHN u. PAPPERITZ. I. 4. Aufl.

22

Kugelkreises in seiner Ebene in einer zur Achse a senkrechten Richtung um die Strecked nach der einen oder anderen Seite hin geht derselbe in die bezüglichen Kreise auf der Ringfläche über. Nennen wir zwei Punkte, die hierbei zur Deckung kommen, kurz homologe Punkte, so erkennen wir, daß es zu jedem Punkte der Kugel zwei homologe Punkte auf der Ringfläche gibt; in homologen Punkten auf Kugel und Ringfläche sind die Tangentialebenen parallel; ihre Verbindungslinie ist senkrecht zu a und ihre gegenseitige Entfernung gleich d. Die Lichtgrenze auf der Kugel ist ein zum Lichtstrahle / normaler größter Kreis ; die Kurve u der homologen Punkte bildet demnach die Lichtgrenze der Ringfläche. Die Horizontal projektionen homologer Punkte haben ebenfalls den Abstand d und ihre Verbindungslinie geht durch den Punkt M'. Wir können demnach die Kurve u aus ' ableiten, indem wir auf den Durchmessern der Ellipse von ihren Endpunkten aus nach beiden Seiten die Strecke d auftragen. Die Tangente in einem Punkte P' von u ergibt sich aus der Tangente in dem homologen Punkte von ; wir benutzen dazu das gleiche Verfahren wie in 294 bei der Pascalschen Schnecke. Die Normale im Punkte P' von u' findet man auch durch folgende Überlegung. Sind P1 und Q,' homologe Punkte, die den Punkten P' resp. Q' unendlich nahe liegen, und fällt man von ihnen aus Lote P1 P2 resp. QQ2 auf den Strahl M' P'Q', so entstehen unendlich kleine rechtwinkelige Dreiecke, und es ist: PP: Q'Q2 = M'P': M'Q' sowie P'P2 = Q'Q2, da P'Q' = P1' Q1 = P2 Q2 = d ist. Wählt man nun endliche Dreiecke, die zu diesen ähnlich sind, und macht eine Kathete gleich M' P' resp. M'Q', so werden die anderen Katheten einander gleich. Daraus folgt, daß die Normale von in Q' und die von u in P' auf einer in M' zu M'P' erricheten Senkrechten den nämlichen Punkt N ausschneiden.

2

1

Die Aufrisse P" und Q" liegen auf einer Parallelen zur x-Achse, was man zur Konstruktion von u" verwerten kann. Hinsichtlich der Tangenten von u' in P' und von u" in P" vergleiche man das in 416 Gesagte.

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Den Schlagschatten u von u auf П1 leitet man aus dem Schatten von i ab. Offenbar ist P Q = P'Q' = d und PQ P'Q', ferner ist die Tangente in Q an i senkrecht zu Q, P. Denn PQ Q* Р. steht senkrecht auf der Tangente in Q an den zugehörigen Parallelkreis der Kugel, beide Geraden sind horizontal; ihre Schatten sind PQ und die Tangente von in Q, sie sind also ebenfalls rechtwinklig. Somit ist u eine äquidistante Kurve zur Ellipse i, und es kann im übrigen auf die in 403 geschilderten Verhältnisse hin

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