380. Noch mag kurz auf eine von DE LA HIRE angewendete, der konformen Abbildung nahe verwandte Projektionsmethode hingewiesen werden. Hierbei wird als Bildebene eine Tangentialebene der Kugel verwendet und das Projektionszentrum außerhalb der Kugel auf dem Durchmesser gewählt, der durch den Berührungspunkt B der Bildebene hindurchgeht. Beschränkt man sich auf die Halbkugelfläche, deren Mittelpunkt eben dieser Berührungspunkt B ist, so entspricht jedem ihrer Punkte ein Punkt der Bildebene und umgekehrt. Hier bilden sich jedoch nur die zur Bildebene parallelen Kugelkreise wieder als Kreise ab, während zu einem beliebigen Kugelkreise eine Ellipse als Bild gehört. Die größten Kugelkreise durch den Punkt B liefern geradlinige Bilder, und das Bestreben von DE LA HIRE ging darauf hinaus das Zentrum O derart zu wählen, daß die Bogenstücke dieser größten Kreise sich möglichst in natürlicher Größe im Bilde darstellen. Er nahm die Entfernung des Zentrums von der Bildebene gleich r.2,707... und erreichte so, daß das Verhältnis des genannten Bogenstücks zu seiner Bildgröße nur zwischen engen Grenzen schwankte. Dieses Verhältnis beginnt bei B mit dem Werte 1, wächst nach außen hin bis zum Wert 1,03 und nimmt dann gegen den Rand allmählich ab, wo es den Wert 0,93 erreicht. Auch das Verhältnis zwischen einem Flächenstück der Halbkugel und seinem Bild entfernt sich hierbei nicht weit von der Einheit.

Schlagschatten auf Kegel- und Zylinderflächen.

381. Wirft eine Fläche Schlagschatten auf eine zweite Fläche, so hat man zunächst die Eigenschattengrenze, d. h. die Grenzkurve zwischen Licht und Schatten, auf der ersten Fläche zu ermitteln. und dann diese Grenzkurve auf die zweite Fläche Schatten werfen zu lassen. Die parallelen Lichtstrahlen durch die Grenzkurve bilden einen Zylinder, dessen Schnittkurve mit der zweiten Fläche aufzusuchen ist. Ist die Schatten empfangende Fläche ein Zylinder oder Kegel, so kommt die vorliegende Aufgabe auf die bereits behandelte hinaus, den Zylinder oder Kegel mit dem Zylinder der Lichtstrahlen zu durchdringen, die die erste Fläche tangieren. Man kann hierbei ganz so verfahren, wie bereits auseinandergesetzt wurde, indem man einerseits die Spitze des Schatten empfangenden

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Kegels (oder eine Mantellinie des Zylinders) und andererseits die Grenzkurve auf die Ebene der Basiskurve des Kegels (oder Zylinders) Schatten werfen läßt. Eine Mantellinie m der zweiten Fläche empfängt nun Schatten von demjenigen Punkte P der Grenzkurve der ersten, dessen Schatten P, auf der Geraden m, dem Schatten von m, liegt. Die Gerade m durch P kann man also ziehen und dann auch die Mantellinie m, die sich mit m auf der Basiskurve des Kegels (oder Zylinders) trifft; der Lichtstrahl durch P schneidet dann m in einem Punkte P*, dem Schlagschatten von P auf den Kegel (oder Zylinder).

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Gewöhnlich ist indessen das Verfahren etwas anders, indem man einerseits die Grenzkurve, andererseits den Kegel (oder Zylinder) auf die Horizontalebene Schatten werfen läßt. Es empfängt dann eine Mantellinie m Schatten von einem Punkte P der Grenzkurve, wenn ihr Schatten m, auf П, durch den Schatten P von P auf П, geht. Indem man dann rückwärts m und P aufsucht und den Lichtstrahl durch P mit m zum Schnitt bringt, erhält man den Schatten P* von P auf den Kegel (oder Zylinder). Diese Methode ist denn vorzuziehen, wenn neben dem Schlagschatten der einen Fläche auf die zweite auch der Schatten der Flächen auf die Horizontalebene verlangt wird; bei der zuerst geschilderten Methode müßte der Schatten auf П, noch nachträglich konstruiert werden.

382. Den Schlagschatten einer Kugelschale auf einen Kegel zu bestimmen. Die Kugelschale ruhe auf П1, ebenso der Kegel, der П1 längs einer Erzeugenden berühren soll. Der Kegel sei ein gerader Kreiskegel; sein Basiskreis c hat die Projektionen c' und c"; c ist der um die Spurlinie e, der Basisebene in П1 umgelegte Kreis c. Es gibt dann eine Kugel, die den Kegel längs c berührt (vgl. 338); ihr Mittelpunkt liegt auf der Kegelachse und offenbar senkrecht über A, daraus ergibt sich auch sein Aufriß. Die scheinbaren Umrißlinien des Kegels berühren die Umrißkreise dieser Kugel in den nämlichen Punkten, in denen sie die Ellipsen c' und c" tangieren, wodurch sich die Umrißlinien und ihre Berührungspunkte genau bestimmen. Den Schatten e von c auf П, zeichnen c * wir mit Hilfe der konjugierten Durchmesser AB und CD; Co, c' und sind affine Kurven, e, ist die Affinitätsachse. C* Die beiden Tangenten von S an c, bilden die Grenze des Kegelschattens; ihre Berührungspunkte J und K bestimmt man aus der Affinität von c und co, indem man zu S den affinen Punkt S, und die BerührungsCo' punkte J, K, der von ihm an c。 gelegten Tangenten sucht. Affinität zwischen c' und c, ergibt dann auch die Punkte Jund

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Die

K' auf c' und so die Mantellinien SJ und SK, die die Grenze zwischen Licht und Schatten auf dem Kegel bilden (J'K', JK, und JK gehen durch den nämlichen Punkt von e).

Auf der Kugelschale ist die Grenze zwischen Licht und Schatten ein Halbkreis i, dessen Projektionen und " und dessen Schatten i sich wie in 330 finden. Der Schatten des halben Schalenrandes in das Innere der Schale ist nach 248 ein Halbkreis, EF ist ein Durchmesser desselben und der Schatten des Randpunktes G auf

die Schale ist der Endpunkt des dazu senkrechten Durchmessers (E'F', G' auf 1). Der Rand k wirft demnach in die Schale den Schatten k* und auf П, den Schatten k

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Es fehlt nun noch der Schatten der Kurven i und k auf den Kegel. Die Mantellinie SP wirft den Schatten SP, dieser schneidet k in Q, es empfängt daher SP Schatten von dem Rande k im Punkte Q* (P'P✩ || Q* Q✩ || 1'). Wendet man das Verfahren speziell auf die Umriẞlinien des Kegels an, so erhält man die Berührungspunkte der Projektion der Schlagschattenkurve mit dem scheinbaren. Umriß. Die Endpunkte R und N der Schlagschattenkurve auf dem Kegel liegen auf SK, der Grenze zwischen Licht und Schatten; die

Tangenten in diesen Endpunkten sind parallel zum Lichtstrahl 7 (also ihre Projektionen zu l' und "). Denn die Tangentialebene längs der Mantellinie SK ist parallel zu 7, sie wird also von den Ebenen durch die Tangenten in den Punkten R von k und N von i respektive, die zum Lichtstrahle parallel laufen, in Parallelen zu geschnitten.

Beispiele für Anwendungen.

383. Die in diesem Kapitel entwickelten Methoden zur Darstellung der Kugel-, Zylinder- und Kegelflächen, ihrer ebenen Schnitte, Durchdringungen und Abwickelungen lassen zahlreiche Anwendungen zu, die hier nur kurz unter Hinweis auf wenige einfache Beispiele angedeutet werden können. Sie betreffen vorzugsweise zwei Klassen von Aufgaben, die der zeichnende Architekt zu lösen hat: Schattenund Steinschnittkonstruktion.

Dem, was in 151, 329 und 363 von der Schattenkonstruktion im allgemeinen gesagt und dann auf einfache geometrische Gebilde. angewandt wurde, sollen hier nur einige, die weitere Anwendung vorbereitende Bemerkungen angefügt werden. Eine eingehendere Behandlung der Schattenkonstruktion bei höheren Flächen, sowie in der schiefen Projektion und der Perspektive findet man in Band III u. II unseres Werkes.

Wenn an den Objekten kompliziertere krumme Flächen auftreten, so wird man stets Kurven benutzen, die auf ihnen liegen und gegeben sein müssen, um im Sinne von 321 als Erzeugende zu dienen. Zur Bestimmung des Schlagschattens auf eine Ebene geht man von den bezüglichen Schatten der Erzeugenden aus und findet als deren Hüllkurve die Schlagschattengrenze. Sucht man ferner die Berührungspunkte der Schlagschattengrenze mit den Schatten der Erzeugenden auf und zieht von ihnen aus rückwärts Lichtstrahlen bis wieder zu jenen Erzeugenden, so erhält man auf ihnen Punkte der Lichtgrenze. Ebenso liefert ein Lichtstrahl, der von einem Kreuzungspunkte der Schlagschattengrenze in der Ebene mit dem gleichnamigen Schatten einer Erzeugenden rückwärts gezogen wird, auf letzterer einen Punkt der Schlagschattengrenze am Objekte selbst, wenn der einfallende Lichtstrahl zuerst die Flächen berührt und dann schneidet. Wichtig ist ferner ein Satz über das Verhalten der Licht- und Schlagschattengrenzen in den Punkten, wo beide einander begegnen. Wirft nämlich ein Teil des Objektes Schatten auf einen andern, so kann es geschehen, daß die Grenze dieses Schlagschattens

die Lichtgrenze auf dem zweiten Teile überschneidet. Im Treffpunkte wird dann die Schlagschattenkurve von einem Lichtstrahl berührt; denn ihre Tangente ist die Schnittlinie der Tangentialebenen zweier Lichtstrahlenzylinder, welche beiden Körperteilen längs ihrer Lichtgrenze (die beim ersteren auch eine Randkurve sein kann) umschrieben sind.

384. Die Lehre vom Steinschnitt (Stereotomie) bedient sich ebenfalls der bisher entwickelten Darstellungsmethoden. Unter ihren Aufgaben verdient besonders die Bestimmung des Schnittes der Gewölbsteine Beachtung, da für diese nicht, wie sonst meist geschieht, lauter ebene Begrenzungsflächen gewählt werden können.

Ist die Form eines Gewölbes vorgeschrieben, so ist die an der Wölbung sichtbar werdende eine Seitenfläche jedes Wölbsteines ihrer Natur nach bestimmt und muß genau nach Vorschrift bearbeitet werden. Die übrigen Seitenflächen der Steine heißen Fugen und sind am fertigen Bauwerk nicht sichtbar, weil entlang derselben die Wölbsteine, die sich gegenseitig stützen und spannen, aneinander oder auf dem Widerlager anliegen. Diese Fugen müssen (aus hier nicht weiter zu erörternden mechanischen Gründen) eine regelmäßige Anordnung erhalten und nach vorher bestimmten Formen ebenfalls genau bearbeitet werden. Soweit die Fugen auf der Wölbfläche endigen, erzeugen sie auf ihr ein System von (sichtbaren) Fugenlinien.

Die Statik zeigt nun, daß es zur Erreichung möglichst hoher Stabilität des Bauwerkes zweckmäßig ist, von folgenden Gesichtspunkten auszugehen. - Die Wölbsteine werden, vom Widerlager anfangend, bis zum Schlußstein am Gewölbescheitel in Schichten angeordnet und jede Schicht tunlichst symmetrisch aus mehreren Steinen gebildet, deren Anzahl sich nach dem Umfange richtet. Demgemäß ist zuerst die gegebene Wölbfläche durch eine erste Reihe Fugenlinien in Streifen und diese durch eine zweite Reihe Fugenlinien in Felder zu zerlegen. Die Fugenlinien der zweiten Art sollen nun überall zu denen der ersten Art rechtwinklig verlaufen und werden überdies in den benachbarten Streifen gegeneinander versetzt, so daß sich keine von ihnen unmittelbar in die nächste fortsetzt. Später (im III. Bd.) wird gezeigt, daß es auf jeder beliebigen krummen Fläche Kurven, nämlich die beiden Systeme von Krümmungslinien gibt, die sich überall rechtwinklig schneiden. In vielen Fällen können aber diese Kurvensysteme ohne weiteres angegeben werden. Es sollen ferner die Fugen selbst zur Wölbfläche normal stehen. Man denkt sie sich deshalb am einfachsten von den Normalen der Wölbfläche entlang einer Krümmungslinie