= Schneiden sich nun PQ und P, Q, in S, so ist SP.SQ SP1.SQ1, da die vier Punkte PQP1Q1 auf einem Kreis liegen; demnach muß sich S auf der gemeinsamen Potenzlinie e, von k und k, befinden. Läßt man also je zwei Punkte der Kreise k und k, einander entsprechen, die auf einem Strahle durch O liegen, aber nicht parallelen Radien angehören, so z. B. P und P1, Q und Q1 usf., so sind die Kreise dadurch in perspektive Beziehung gebracht, und es schneiden sich je zwei entsprechende Sehnen auf ihrer gemeinsamen Potenzlinie als Achse der Perspektive. Die Figur 166 stellt zwei Kreise dar, die von der Potenzlinie geschnitten werden; in Figur 165 ist Idies nicht der Fall. 246. Die Resultate in Nr. 239-241 können Verwendung finden, um die Perspektivität zweier Kreise unter gleichzeitiger Erfüllung besonderer Bedingungen herzustellen. Es gibt unendlich viele Zentralprojektionen, bei denen einem gegebenen Kreise k ein Kreis und einer in der Ebene von kliegenden Geraden e,, falls sie k nicht schneidet, die unendlich ferne Gerade der Bildebene entspricht. Die durch den Mittelpunkt von k senkrecht zu e, gelegte Ebene A diene wieder als Aufriẞebene, während wir die Ebene von k als Grundrißebene benutzen. Man zeichne nun in A irgend einen Kreis, der den Durchmesser AB von k zur Sehne hat und ziehe an ihn aus M = A X e„ eine Tangente, die in O berühren mag (Fig. 167). Schneidet dann eine beliebige Parallele zu OM die Strahlen OA und OB bez. in A und B1, so ist ▲ BAO BOM = L A1В,0 und folglich liegen die Punkte ABВ1 auf einem Kreise. Hieraus erkennt man nach 1 239, daß die durch Д11 normal zu A gelegte Ebene E aus dem Kegel mit der Spitze und dem Grundkreis keinen Wechselschnitt zu k, also einen Kreis k,, ausschneidet. Da überdies EOe, ist, so hat die durch O als Zentrum und E als Bildebene bestimmte Zentralprojektion die oben geforderte Eigenschaft. Alle durch unsere Konstruktion erhältlichen Zentren liegen auf einem in A um M beschriebenen Kreise m, für dessen Radius die Relation (MO)2= MA.MB besteht. 247. Es gibt unendlich viele Zentralprojektionen, bei denen einem gegebenen Kreise k ein Kreis und einem von des Kreises k als Grundriß und die in AB = x auf ihr senkrechte Ebene als Aufriß und bestimme wie vorher das Zentrum O einer Projektion, bei der e, die Verschwindungslinie bildet und k in einen Kreis k1 übergeht. Werden hierbei die Punkte ABC in A, B, C, abgebildet, so entspricht dem vierten harmonischen Punkt D der ersten Reihe der unendlich ferne der letzteren. Dieser teilt also 1 mit C1 die Strecke Ą B1 harmonisch; somit ist C1 der Mittelpunkt von ÆВ und folglich auch vom Bildkreise k. Sieht man und B als die Doppelpunkte einer Involution an, so ist M ihr Mittelpunkt, während C und D ein Punktepaar von ihr bilden. 2 Es ist also: (MA)2 = (MB)2 = MC.MD. Errichtet man also in C die auf AB senkrechte Sehne des Kreises k und zieht in einem ihrer Endpunkte F die Tangente, so geht dieselbe durch D. O kann in der Aufrißebene willkürlich auf dem Kreise mit dem Mittelpunkt D und dem Radius DF angenommen werden; E ist parallel zu Oe, zu ziehen. 248. Zwei gegebene Kreise k und k, lassen sich derart in perspektive Lage bringen, daß drei gegebenen Punkten A, B, C des einen drei gegebene Punkte 1, B1, C1 des andern entsprechen. M B k' Wir nehmen beide Kreise als in einer Ebene liegend an und geben für diesen Fall die Konstruktion. Man zeichne einen zu k1 konzentrischen Kreis k' mit dem Radius des Kreises k und bestimme auf ihm die Punkte A', B', C' durch die Radien M11, MB1, MC1 (Fig. 169). Dann kann man k' samt seinen Punkten A', B', C' so mit k zur Deckung bringen, daß die Geraden AA', BB' und CC' sich in einem Punkte O schneiden. Soll O auf den Geraden AA' und BB' liegen, so muß AOB = LAB'BLA'AB' sein. Die letzteren beiden Winkel sind aber als Peripheriewinkel über den Bogen AB und A'B' bekannt. O befindet sich demnach auf dem Kreise, der über der Sehne AB beschrieben ist und den bekannten Winkel AO B als Peripheriewinkel über dieser Sehne besitzt. Ganz ebenso gehört O einem zweiten Kreise über der Sehne BC B M M k Fig. 169. Br an, der den bekannten Winkel BOC = LBC' C LC'BB' als zugehörigen Peripheriewinkel aufweist. Somit ist stets eindeutig konstruierbar, und man erhält A', B', C' in der gesuchten Lage auf k durch die Strahlen OA, OB, OC. Nun ziehe man MA' und bestimme M1 auf OM derart, daß die zu MA' parallele Strecke M, 4, (4, auf 0.4) gleich dem Radius von k1 wird. Ein um M, als Mittelpunkt durch A beschriebener Kreis k, liegt vom Zentrum O aus ähnlich zum Kreis ; sind also M, B, und M, C, seine zu MB' und MC' parallelen Radien, so liegen B1 und C1 auf den Strahlen OB'B und O CC. Zugleich haben die Kreisbogen 4 B1 und B, C, die gegebene Größe; denn in der unteren Figur ist  ̧Μ1В1 = L A'MB' und der letztere Winkel stimmt mit dem ▲ A'M, B' der oberen Figur der Konstruktion gemäß überein. Sonach liegen die Kreise k und k, perspektiv von ihrem Ähnlichkeitspunkt O aus (244) und den Punkten A, B, C von entsprechen hierbei die Punkte A, B, C1 von k1. 1 1 Nimmt man mit dem Kreis k1 eine Drehung um O von 180o vor, so befindet er sich abermals mit k in perspektiver Lage, bei der sich die Punkte ABC und A, B, C, resp. entsprechen. 1 249. Wir kehren zurück zum schiefen Kreiskegel und nehmen auf ihm zwei gleich große Wechselschnitte k und k, an, deren Ebenen E und E1 sich in e schneiden mögen. Die auf e senkrecht stehende Ebene durch die Kegelspitze S ist eine Symmetrieebene des Kegels; sie enthält die Durchmesser AB von k und В1 von k, sowie die beiden Mantellinien SAB1 und SA, B, ferner die Kegelachsen x und y, welche die Winkel dieser Mantellinien halbieren. In Figur 170 liegen die Kreise k und k1 auf dem nämlichen Kegelmantel, die Symmetrieebene dient zugleich als Aufrißebene, der Grundriß ist weggelassen. Wir schreiben noch YAB Xy und X = AB X x; durch X geht auch A B1 und die Gerade e steht in ihm auf der Aufrißebene senkrecht. Die Kreise k und k, sind perspektiv aus dem Zentrum S. Projizieren wir jetzt den Kreis k1 parallel zur Geraden y auf die Ebene E des Kreises k1, so fällt diese Projektion mit k zusammen, damit wird der Kreis k nach 170 zu sich selbst perspektiv. Je zwei entsprechende Punkte liegen auf einem Strahle durch das Zentrum der Perspektive Y, und je zwei entsprechende Sehnen schneiden sich auf der Achse der Perspektive e. Es ist das eine unmittelbare Folge der Resultate in Nr. 170, kann aber auch leicht direkt wie folgt nachgewiesen werden. 2 Seien p und q irgend zwei Mantellinien des Kegels, sie mögen k und k1 in den Punkten P, Q bez. P1, Q1 schneiden. Bestimmt man zu P1 und Q, die symmetrischen Punkte P2 und Q2 in bezug auf die in auf dem Aufriß senkrecht stehende Ebene B, so ist P1 P2 || Q1 Q2 || y und P, und Q2 liegen auf k; denn k und k sind symmetrisch in bezug auf B. P2 und Q2 sind also die Parallelprojektionen von P1 und Q1 in der Projektionsrichtung y, und es ist 2 2 2 2 2 2 zu zeigen, daß sich PP, und QQ, in Y schneiden und daß der Schnittpunkt von PQ und PQ, auf e liegt. Nun enthält aber die Ebene py die zu y parallele Gerade PP, und folglich auch die Gerade PP2; ebenso enthält qy die Gerade QQ2, woraus unmittelbar folgt, daß die Geraden PP, und QQ, durch Y gehen. Ferner gehen PQ und P1Q, durch den Schnittpunkt von e mit der Ebene pq; durch diesen Punkt geht natürlich auch die Gerade P2Q2, da 1 1 qu Fig. 171. sie symmetrisch zu P, Q, in bezug auf die Ebene B ist. Damit ist aber unsere Behauptung erwiesen. In Fig. 171 ist der andere Fall dargestellt, in dem die Kreise k und k1 auf verschiedenen Mänteln des Kegels liegen. Hier gehen die Verbindungslinien entsprechender Punkte, z. B. PP2, QQ2, durch das Zentrum X der Perspektive, während sich je zwei entsprechende Sehnen, z. B. PQ und P2 Q2, auf der Geraden e schneiden, die in Y auf dem Aufriß senkrecht steht. 2 250. Bei der perspektiven Beziehung, die einen Kreis k in sich selbst verwandelt, findet zwischen Zentrum und Achse eine besondere Abhängigkeit statt. Die Geraden z und y in den Figuren 170 und 171 liegen zu den Mantellinien SA und SB harmonisch, da sie die Winkel derselben halbieren (204); deshalb teilen auch die Punkte X und Y den Durchmesser AB von k harmonisch. Zentrum und Achse der Perspektive teilen also den durch das Zentrum gehenden Durchmesser von k harmonisch, und die Achse steht auf ihm senkrecht. Umgekehrt kann jeder Punkt O in der Ebene des ROHN u. PAPPERITZ. I. 4. Aufl. 13 |