Schlagschatten. Man geht zu ihrer Bestimmung etwa von einem Punkte K aus und sucht wie im vorigen Beispiele K* auf der vertikalen Kante der Leibung (K" K*||l′′). Um den Schlagschatten des Gesimses, der Sohlbank und der Konsole auf der Wandfläche zu finden, die im Grundriß durch die Linie w vertreten ist, bestimmt man von einzelnen Eckpunkten die Schatten, z. B. von J, indem man J'J* ||l", J'J*' ||l' zieht (J* auf w, J*J* 1x) und beachtet, daß die Schatten der vertikalen Kanten wiederum vertikal, die der horizontalen Kanten aber entweder parallel zu z oder " sind. Die Schmiege am Sturz liegt im Eigenschatten, auf den beiden Schmiegenflächen der Leibungen entstehen oben zwei kleine drei eckige Schlagschatten. Nach diesen Andeutungen ist es leicht, die Schattenkonstruktion in allen Einzelheiten durchzuführen. 156. Als letztes Beispiel mag die Bestimmung des Schattens dienen, den ein Schornstein auf eine geneigte Dachfläche wirft (Fig. 121). = ist hier so gewählt, daß "" = 30° ist. Man be Die Richtung der Lichtstrahlen ▲ l'x = 60°, 1" x 45° und folglich nutzt zweckmäßig den Seitenriß (was auch schon bei den vorhergehenden Beispielen geschehen konnte). Den Schatten 4 eines Eckpunktes A am Essenkopf findet man dann, indem man durch A', A", A"" Gerade resp. parallel zu l', 7", 7"" zieht, und zwar letztere bis zu 4" auf der Seitenspur der Dachfläche. Dann ist 4" 4" || x und 4" 4x. Liegt der betrachtete Eckpunkt auf einer vertikalen Kante, deren Durchstoßpunkt mit der Dachfläche gezeichnet ist, so findet man durch dieses Verfahren zugleich die Richtung, welche die Schatten der Vertikalen auf die Dachfläche im Aufriß zeigen; * * im Grundriß sind sie parallel zu l'. Man beachte noch, daß die Schatten horizontaler Kanten im Aufriẞ teils zu r, teils zu 7" parallel liegen; im Grundriß sind sie teils parallel zu x, teils haben sie eine schiefe Richtung, die sich aus dem Vorigen ergibt. Die hintere Dachfläche liegt vollständig im Eigenschatten. Auch wirft die Deckplatte des Schornsteins auf seine Seitenflächen einen Streifen von Schlagschatten. VIERTES KAPITEL. Perspektivität ebener Figuren. Harmonische Gebilde. Zentralprojektion einer Ebene auf eine andere Ebene. 157. Es seien im Raume zwei Ebenen E und П und außerhalb beider ein Punkt O willkürlich festgelegt. Zieht man aus O Strahlen P E G I Π durch alle Punkte einer in E angenommenen Figur, so schneiden diese die Ebene π in einer zweiten Figur, die dergegebenen eindeutig Punkt für Punkt entspricht. Dieses Abbildungsverfahren heißt oder Zentralprojektion Perspektive, der Punkt O das Projektionszentrum oder Zentrum der Perspektive, die Schnittlinie e1 der Originalebene E mit der Bildebene П die Projektionsachse oder Achse der Perspektive.") Die einander entsprechenden Figuren werden kurz als perspektiv bezeichnet; man sagt, daß sie sich in perspektiver (zentraler) Lage befinden. Offenbar entspricht jedem Punkt P (Fig. 122) der Originalebene ein Punkt P1 der Bildebene, jeder Geraden g eine Gerade g, und umgekehrt. Ferner entspricht jeder Punkt der Projektionsachse e, sich selbst, und je Fig. 122. zwei entsprechende Gerade schneiden sich auf der Achse (g × g1 auf e1) oder sind ihr im besonderen beide parallel. 158. Die Zentralprojektion einer Ebene auf eine zweite umfaßt als spezielle Fälle die Affinität und Ähnlichkeit ebener Figuren. Die perspektive Lage geht über in die ähnliche, wenn die Bildebene zur Originalebene parallel wird, was zur Folge hat, daß die Projektionsachse ins Unendliche rückt; sie geht über in die affine Lage, wenn die projizierenden Strahlen parallel werden, also das Projektionszentrum ins Unendliche fällt. Macht man beide Annahmen gleichzeitig, so ergeben sich kongruente Figuren; solche stellen sich auch bei affiner Lage ein, wenn die projizierenden Strahlen zu einer der beiden Ebenen normal sind, welche die Winkel zwischen Original- und Bildebene halbieren. Affine, ähnliche und kongruente Figuren sind somit als spezielle Fälle perspektiver Figuren anzusehen, wenn sie sich in affiner oder ähnlicher Lage befinden. 159. Die durch O parallel zu E und TT gelegten Ebenen mögen π und E in den Geraden e und e, (beide parallel zur Achse e1) schneiden (Fig. 122). Bewegt sich in E ein Punkt P auf der Geraden g nach der einen oder anderen Seite ins Unendliche, so dreht sich der projizierende Strahl OP in der Ebene Og um O im entsprechenden Sinne und nähert sich beide Male der nämlichen Grenzlage OG, die durch O parallel zu g gezogen ist. Der Spurpunkt G dieser Geraden in П liegt auf e; er kann als das Bild des auf g ins Unendliche fliehenden Punktes aufgefaßt werden und heißt darum der zu g gehörige Fluchtpunkt. Offenbar gehört er ebenso als Fluchtpunkt zu allen Geraden, die mit g parallel laufen; denn flieht ein Punkt auf einer solchen Parallelen ins Unendliche, so strebt der zugehörige projizierende Strahl stets der gleichen Grenzlage O G zu. Der Gesamtheit aller unendlich fernen. Punkte der Ebene E entspricht in TT die eine bestimmte Gerade e, die Fluchtlinie der Ebene E. - Umgekehrt verschwindet das Bild des Schnittpunktes G, der Geraden g mit e,, d. h. es liegt auf 91 unendlich fern; G, heißt darum der Verschwindungspunkt von g. Die Gerade e, selbst, deren Bild ins Unendliche fällt, heißt die Verschwindungslinie der Ebene E. Allen zu g parallelen Geraden der Ebene E entsprechen in П alle Gerade durch den Punkt G der Fluchtlinie e, und allen Geraden der Ebene E durch den Punkt G, der Verschwindungslinie e, entsprechen in П die Parallelen zu g1. Die Punkte O G, G1 G liegen in einer Ebene und bilden die Ecken eines Parallelogramms. ∞ บ 1 ∞ 160. Das angegebene Verhalten der unendlich fernen Punkte einer Geraden oder einer Ebene gegenüber der Zentralprojektion, nämlich der Umstand, daß sie nur in einem einzigen Punkt oder einer einzigen Geraden abgebildet werden, begründet die Ausdrucksweise, nach welcher einer Geraden nur ein unendlich ferner Punkt (Richtung) zugeschrieben wird, den sie mit allen parallelen Geraden gemein hat, und einer Ebene nur eine unendlich ferne Gerade (Stellung), die ihr mit allen Parallelebenen gemeinsam ist. Erst auf Grund dieser Erklärung dürfen wir das umkehrbar eindeutige Entsprechen zwischen den Punkten und Geraden der Originalebene und den Punkten und Geraden der Bildebene als ein ausnahmslos geltendes Grundgesetz der Zentralprojektion betrachten. Im Verfolg dieser perspektiven Betrachtungsweise hat man eine Gerade als geschlossene Linie aufzufassen, weil ein Punkt, der sie beschreibt, sich demselben unendlich fernen Punkte nähert, gleichviel in welchem Sinne er sich bewegt. 161. Für die Zentralprojektion von E auf П kann, wenn die Lage dieser Ebenen zueinander fixiert ist, die Angabe des Projektionszentrums O offenbar durch die zweier entsprechender Punktepaare A, B und A, B, ersetzt werden, deren Verbindungslinien AB und B1 sich auf der Achse e1 = EXTT schneiden. Es liegen dann AA, und BB, in einer Ebene und bestimmen als ihren Schnittpunkt. 162. Gehen die Ebenen dreier Figuren F, F1, F2 durch eine und dieselbe Achse e, und sind zwei derselben & und 2 1 zur dritten 2 perspektiv, so sind sie es auch untereinander. Die drei Zentren liegen in gerader Linie. Die Perspektivitätszentren, O, für F2 und & sowie O1 für F2 und F1, denke man sich mittels eines Punktepaares 42, B2 und der ihm entsprechenden Paare A, B und 4, B1 bestimmt (Fig. 123). Dann ist zu zeigen: erstens daß die Geraden ♬ A und B B1 einen Schnittpunkt bestimmen, zweitens daß auch die Gerade CC, durch O geht, wenn dem beliebigen Punkte C2 von F2 die Punkte C1 von F1 und C von entsprechen. Nun gehen durch den Schnittpunkt von A, B, mit e, auch die Geraden AB und A, B,, und somit liegen auch AA und B B1 in einer Ebene und schneiden sich in einem Punkte O. Ganz ebenso gehen AC und A11 durch den Schnittpunkt von C2 mit e1; es müssen sich also auch 441 und CC1 schneiden, und in gleicher Weise schließt man, daß BB, und CC1 einen Schnittpunkt haben. Da die drei Geraden AA,, BB1, CC1 1 |