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646. Je zwei ebene Schnitte liegen zweifach perspektiv . . . . 158

647. Konjugierte oder harmonische Polarebenen . . . . . . . 159 648. Je zwei Tangentenkegel liegen zweifach perspektiv . . . . 159 649. Das Polartetraëder . . . 160

650. 651. Durchmesser und konjugierte Diametralebenen; drei konju

gierte Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . 161 652. Flächen mit und Flächen ohne Mittelpunkt . . . . . . 164 653. Parallelschnitte - - - - - - - - - - - - - - - - 164 654. 655. Die drei rechtwinkligen Achsen . . . . . . . . . . . 164 656. Konstruktion der Achsen . . . . . . . . . . . . . 165 657–659. Dualität; reciproke Raumverwandtschaft; involutorische Kollineation; das geschart-involutorische System . . . . . . 166 Einteilung der Flächen 2. Grades; ihre Beziehung zu den Rotationsflächen; Kreisschnitte. 660–662. Ellipsoid, Paraboloide; das Hyperboloid und sein Asymptotenkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 663. Die Regelflächen . . . . 172

664. Das Hyperboloid, von dem drei Erzeugende gegeben sind . 174 665. Das hyperbolische Paraboloid . . . . . . . . . . . . 174 666. Die Unterscheidung der Flächen nach ihren Hauptschnitten 175 667. Affinität zwischen den allgemeinen Flächen 2. Grades und

den Rotationsflächen . . . . . . . . . . . . . 177 668. 669. Die beiden Systeme von Parallelkreisen auf einer Fläche

2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 670–672. Die Konstruktion der Kreisschnitte . . . . . . . . . . 177

Die Konstanten der Flächen 2. Grades. Die Flächen durch neun, acht und sieben Punkte.

673. Die Zahl der Konstanten ist = 9 . . . . . . . . . . 182 674. 675. Existensbeweis der Fläche 2. Grades durch drei Kegelschnitte, die sich paarweise in je zwei Punkten schneiden . . . . 183

676. 677. Konstruktion der Fläche 2. Grades durch neun beliebige Punkte 186 678. Der Büschel von Flächen 2. Grades durch 8 Punkte; ihre

Grundkurve 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . 189 679. Zerfallende Schnittkurve zweier Flächen 2. Grades . . . . 191 680. 681. Die Raumkurve 3. Ordnung als teilweiser Schnitt zweier Hyperboloide . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 682. Die Schmiegungsebenen der Raumkurve 3. Ordnung . . . . 194 683. 684. Der Büschel von Flächen 2. Grades enthält vier Kegelflächen; ihre Scheitel bilden ein gemeinsames Polartetraëder aller Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 685. Die verschiedenen Arten der Flächenbüschel und ihrer Grundkurven 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 196 686. Die Doppelsekanten der Raumkurve 4. Ordnung . . . . . 199 687. Konstruktion der Raumkurve 4. Ordnung durch acht gegebene Punkte . . . . . . . . . . . . . . . 200

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Alle Flächen 2. Grades durch sieben feste Punkte schneiden sich
noch in einem weiteren festen Punkte; seine Konstruktion

Konstruktionsaufgaben bei den Flächen 2. Grades.

Den Umriß zu zeichnen, wenn eine Projektion dreier ebener
Schnitte der Fläche bekannt ist - -
Drei konjugierte Durchmesser zu zeichnen . . . . . . .
Den Umriß eines Ellipsoides zu zeichnen, wenn eine Projek-
tion dreier konjugierter Durchmesser von ihm gegeben ist
Ähnlich und ähnlich liegende Kegelschnitte mit reellem und
mit imaginärem Streckenverhältnis . . . . . . . . .
Den Umriß eines ein- oder zweischaligen Hyperboloides zu
zeichnen, wenn eine Projektion dreier konjugierter Durch-
messer von ihm gegeben ist . . . . . . . . . . . .
Die Eigenschattengrenze eines Ellipsoides zu finden, wenn man
seinen Umriß und den Schatten eines Punktes auf die Um-
rißebene kennt - - - - - - - - - - - - -

Tangentenkegel und Berührungskurve beim zweischaligen

Hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . .

Die Tangentialebene in einem Punkte des Ellipsoides
Die beiden Tangentialebenen an ein einschaliges Hyperboloid
durch eine feste Gerade - - - - - - - - - -
Durch drei Punkte einer Fläche 2. Grades einen auf ihr
liegenden Kegelschnitt zu konstruieren . . . . . . . .
Einen Kegelschnitt durch drei Punkte zu legen, der einen
anderen zweimal berührt. Verschiedene Fälle . -

Eigen- und Schlagschatten eines zweischaligen Hyperboloides

zu zeichnen - - - - - - - - - - - - - - -

Die gemeinsamen Sekanten von vier windschiefen Geraden .
Striktionslinien der Regelflächen 2. Grades .
Die Striktionslinien des Paraboloides
Die Striktionslinien des Hyperboloides

XII. Kapitel. Verschiedene Flächen.

Abwickelbare Flächen.

Entstehung der abwickelbaren Flächen . . . . . . . .

Die Schar von Flächen 2. Grades und die sie umhüllende ab-
wickelbare Fläche 4. Klasse . - - - - - - - - -
Die verschiedenen Arten der abwickelbaren Fläche 4. Klasse
Die abwickelbare Fläche 3. Klasse . - - - - - - -
Die Beleuchtung einer Oberfläche durch eine leuchtende Fläche
Die Beleuchtung einer Kugel durch eine leuchtende kreis-
förmige Scheibe - - - - - - -

Flächen von gleichförmiger Neigung . . . . . . . .

Die Fläche von gleichförmiger Neigung über der Ellipse .

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Erzeugung. Das längs einer Erzeugenden oskulierende Hyper-

boloid und die Haupttangenten - - - - - - - -

Berührungspunkte und Tangentialebenen längs einer Erzeugen-

den; das Normalenparaboloid . . . . . . . . .

Der Richtungskegel der Regelfläche; die Striktionslinie

Die Doppelkurve; ihre Kuspidalpunkte und die zugehörigen

Torsallinien . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Verschiedene Erzeugung von Regelflächen -

Das Konoid, sein Umriß und Eigenschatten . . . . . .

Das gerade Kreiskonoid; die oskulierenden Paraboloide; sein

Eigenschatten . . . . . - . . . . . . . . . . .

Das schiefe Kreiskonoid; seine Striktionslinie; das System

von Kegelschnitten auf ihm . . . . . . . . . .

Das Plückersche Konoid; die Kegelschnitte auf ihm .

Haupttangenten, oskulierende Paraboloide und Haupttangenten-

kurven des Plückerschen Konoides - - - - - -

Eigen- und Schlagschatten des Plückerschen Konoides .

Regelflächen 3. Grades und ihre Eigenschaften . . . . .

Die Verbindungslinien projektiver Punktreihen auf einer Geraden

und einem Kegelschnitt bilden eine Regelfläche 3. Grades

Doppel-, Leitgerade und fünf beliebige Erzeugende bestimmen

eine Regelfläche 3. Grades . . . . . . . . . . . .

Definition der projektiven Beziehung zwischen einer einfachen

Punktreihe und den Punktepaaren einer Involution. Sind

die Träger der Reihen windschief, so bilden die Verbin-

dungslinien entsprechender Punkte eine Regelfläche 3. Grades

Dualität der Eigenschaften der Regelfläche 3. Grades .

Die Cayley'sche Regelfläche 3. Grades . . . . . . . .

Die oskulierenden Hyperboloide der Regelfläche 3. Grades

Die Verbindungslinien projektiver Punktreihen zweier Kegel-

schnitte bilden eine Regelfläche 4. Grades. Sie besitzt eine

Doppelkurve 3. Ordnung . . . . . . . . . . . . .

Regelfläche 4. Grades mit Doppelgerade und Doppelkegel-

schnitt; ihre Erzeugung . . . . . . . . . . . . .

Regelfläche 4. Grades mit zwei Doppelgeraden und einer

Doppelerzeugenden; ihre Erzeugung . . . .

Regelflächen 4. Grades mit zwei Doppelgeraden .

Die Normalenflächen einer Fläche 2. Grades - - -

Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung in einem beliebigen

Schnitt; ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . .

Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung für einen zu

einer Hauptebene senkrechten Schnitt . - - - -

Die Normalenfläche des Kegels 2. Ordnung für einen zu einer

Achse normalen Schnitt - - - - - - - - -

Tangentialebenen und Haupttangenten der Normalenfläche

Das Cylindroid; Umriß; Haupttangenten .

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jugierte Normale zuordnen, schneiden sich in einer Krümmungslinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 805–807. Das System konfokaler Flächen 2. Grades; ihre Fokalkurven 350

808. Die drei Arten konfokaler Flächen . . . . . . . . . . 352 809. 810. Die Projektionen der Krümmungslinien des Ellipsoides . . 354 811. Konfokale Kegelschnitte; ihre Achsen . . . . . . . . . 358 812. Die Schnittpunkte zweier konfokalen Kegelschnitte . . . . 359 813. Die Projektionen der Krümmungslinien des einschaligen Hyperboloides . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 XIV. Kapitel.

Schiefe und orthogonale axonometrische Projektion.

Allgemeines.

814. Begriff der Axonometrie. Beziehung des Objektes auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem und gleichzeitige Abbildung beider in einer Bildebene durch Parallelprojektion. Koordinatenzug eines Punktes und seine Abbildung . . . 363

815. Vorteile der axonometrischen Projektion . . . . . . . . 364

816. Bestimmungsstücke der axonometrischen Projektion. Ihre beiden Hauptarten: die schiefe Projektion und die (orthogonale) axonometrische Projektion im engeren Sinne . . . 365

817. Satz von Pohlke . . . . . . . . , . . . . . . . 366

Das Verfahren der schiefen Projektion.

818. Bestimmungsstücke der schiefen Projektion. Der Aufriß als Bildebene. Sehstrahlen. Verkürzungsverhältnis . . . . 367

819–821. Darstellung der Punkte, Geraden und Ebenen . . . . . . 369 822. Affinität zwischen Bild und Grundrißbild einer ebenen Figur. Beispiele zur Lösung der Grundaufgaben über Verbindungsund Schnittelemente . . . . . . . . . . . . . . 371 823. Wahre Länge einer Strecke . . . . . . . . . . . . 372 824. 825. Wahre Gestalt einer ebenen Figur . . . . . . . . . . 374 826. Lot aus gegebenem Punkte auf eine Ebene . . . . . . . 376 827. Senkrechter Abstand eines Punktes von einer Gerade . . 376 828. Winkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . 377 829. Kürzester Abstand zweier Geraden . . . . . . . . . . 378 830. Schattenkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . 379 Anwendungen der schiefen Projektion. 831. Ebenflächige Gebilde, Eigen- und Schlagschatten (sechsseitige Pyramide und regelmäßiges Zwölfflach) . . . . . . . 380 832. Der gerade Kreiscylinder und sein ebener Schnitt . . . . 382 833. Der gerade Kreiskegel, Lichtgrenze und Schlagschatten . . 383 834. Die Kugel, ihre Hauptschnitte, Lichtgrenze und Schlagschatten . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

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