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eine Reihe instruktiver Beispiele, die dem vorher in orthogonaler Projektion behandelten Stoffe entnommen sind. In der angewandten Perspektive kommt eine Auswahl einfacher architektonischer Objekte zur Darstellung. Anhangsweise wird der Centralkollineation räumlicher Figuren (der sog. Reliefperspektive) kurz Erwähnung gethan. Das letzte Kapitel bezieht sich auf die Theorie der Beleuchtung gesetzmäßig gestalteter Oberflächen. Die Methode zur Bestimmung der Lichtgleichen auf den Flächen schließt sich in natürlicher Weise an die früheren Entwickelungen an, ohne analytischgeometrische Prinzipien zu benutzen. Dieser Umstand und die hohe Bedeutung, welche die Darstellung der Beleuchtungsstufen auf einer Fläche für die Beurteilung ihrer Gestalt gewinnt, rechtfertigt zugleich die Aufnahme der Beleuchtungslehre in den Lehrstoff des Buches. Die Darstellung der Lichtgleichen wird an zahlreichen typischen Beispielen durchgeführt. Wir haben darauf verzichtet, unserem Werke einen der historischen Entwickelung der darstellenden Geometrie gewidmeten Abschnitt hinzuzufügen. Eine kritische Behandlung der Frage, auf welche Autoren die Erfindung der einzelnen Sätze und die Ausbildung der Methoden zurückzuführen sei – an sich eine interessante und oft nicht leichte Aufgabe –, würde näheres Eingehen auf die reiche Litteratur erfordert und den Umfang des Buches, unserer Absicht entgegen, merklich vergrößert haben. Solche Fragen interessieren weniger den Lernenden, als den in der Sache bereits

heimischen Leser; wir überlassen ihre Beurteiluug dem letzteren. .

Die Namen der Autoren sind nur an den wenigen Stellen genannt, wo es sich darum handelte, bereits üblich gewordene Benennungen zu erklären. Citate kommen nur äußerst selten vor; die vorhandenen bezwecken lediglich den Hinweis auf Arbeiten, in denen man Gegenstände ausführlich behandelt findet, die von uns entweder nur kurz oder gar nicht erörtert worden sind. Es ist selbstverständlich, daß wir die bedeutenden Arbeiten über die darstellende Geometrie gebührend berücksichtigt haben und ihnen gefolgt sind, insoweit als die Wahl des Stoffes und der Methode uns dies mit Rücksicht auf den Zweck unseres Buches angezeigt erscheinen ließ. Ebensowenig aber, wie hierbei der einzelnen Autoren Erwähnung gethan ist, ebensowenig sind in unserem Buche die zahlreichen Stellen hervorgehoben worden, an denen in Bezug auf Stoff, Darstellungsmethode oder Beweisführung etwas Neues oder Einfacheres geboten wird.

Im Mai 1896.
Karl Rohn. Erwin Papperitz.

Inhalt.

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Entstehung der Rotationsfläche durch Rotation einer Kurve

Die Rotationsfläche als Hüllfläche einer rotierenden Fläche

Definition des Kegel-, Cylinder- und Kugelverfahrens bei der
Bestimmung von Umriß oder Lichtgrenze . . . . . . .
Die gemeinsamen Punkte der Eigen- und Schlagschattengrenze
Die Punkte der Lichtgrenze mit tangierendem Lichtstrahl .
Wahrer und scheinbarer Umriß - -

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551.
552.
553.

554.

555. 556. 557. 558.

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--- ---------------------- ------ ------ ------ -------

Die Tangenten der Lichtgrenze einer Ringfläche . . . . .
Die Krümmungskreise in den Scheitelpunkten der Lichtgrenze
Die Tangenten der Lichtgrenze einer Rotationsfläche bei Central-
beleuchtung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Punkte der Lichtgrenze einer Ringfläche mit tangierendem
Lichtstrahl -
Die Rotationsflächen 2. Grades.

Schnitte, Tangentenkegel . - - - - -
Konjugierte oder harmonische Pole . . . . . . .
Die beiden Tangentialebenen durch eine feste Gerade

Rotationsflächen, die sich längs einer Kurve berühren.

. Aus der Meridiankurve der einem Fläche die der anderen zu

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Rollkurven.

562–564. Erzeugung der Rollkurven in der Ebene. Normale und Tan

565–567. 568.

569. 570. 5'71. 572. 573, 574–576. 577. 578. 579, 580. 581. 282.

583–585.

586,

587.

gente der Rollkurve. Momentancentrum (Pol). Bewegung

einer starren Figur in der Ebene. Polbahn, Polkurve Krümmungscentra einer Rollkurve. Spitzen, Wendepunkte. Hüllkurve einer rollenden Kurve - - -

Cyklische Linien.

Entstehung der cyklischen Linien. Aufzählung der Arten .
Radlinien, Sinuslinie, Spiralen. Ursprungspunkt, Gang, Windung
Gespitzte Cykloide - - - - - - - - - - - - -
Gestreckte Cykloide .

Verschlungene Cykloide

Epicykloiden -

Hypocykloiden . . . . . . . .
Gespitzte Kreisevolvente . . . . . . . .
Gestreckte und verschlungene Kreisevolvente
Archimedische Spirale .

Sinuslinien

Die Schraubenlinie.

Schraubenlinie und Schraubenbewegung. Achse und Neigung

der Schraubenlinie. Rechts- und linksgängige Windung. Ganghöhe, reduzierte Ganghöhe - - - - - - - Schmiegungsebene, Krümmungsradius. Reciproke Schraubenlinien - - - - - - - - - - - - - - - - - Tangenten der Schraubenlinie, ihre abwickelbare Fläche, Richtungskegel .

50 52 56

57 57 58 59 61 62 64 65 66 67 68

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Schraubenlinie . . . . . . . . 74

589. Die Schraubenlinie in orthogonaler Projektion . . . . . . 75 590. Tangenten und Schmiegungsebenen der Schraubenlinie . . . 77 - 591–594. Bestimmungsstücke einer Schraubenbewegung. Erklärung der

Bewegung eines Körpers im Raume durch successive Ver-
schraubungen. Momentanachse. Kongruente und affine
Parallelprojektionen kongruenter Raumfiguren. Bedingung
für die augenblicklichen Bewegungsrichtungen dreier Punkte
eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

X. Kapitel. Schraubenflächen.

Allgemeines über Schraubenflächen.

595. Erzeugung einer Schraubenfläche als Bahn einer verschraubten

Kurve. Achse, Erzeugende, Meridian- und Normalschnitte.
Geschlossene und offene Schraubenflächen. Kehlschraubenlinie 84

596. Erzeugung einer Schraubenfläche als Hüllfläche einer ver-
schraubten Fläche. Charakteristik. Rückkehrkante . . . 84
597. Tangentialebenen und Normalen . . . . . . . . . . . 85
598. Wahrer und scheinbarer Umriß der Schraubenfläche für ortho-
gonale Projektion und bei vertikaler Achse . . . . . .
599–602. Methoden zur Bestimmung des wahren Umrisses bezw. der
Lichtgrenze einer Schraubenfläche für eine beliebige Parallel-
projektion. Pole und Polachsen einer Geraden in Bezug auf
eine Verschraubung. Die Lichtgrenzpunkte auf den Schrauben-
linien oder auf den Erzeugenden. Die Lichtgrenzpunkte auf
den Normalschnitten und bei Regelflächen auf den erzeugen-
den Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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Allgemeines über Regelschraubenflächen.

603. Abwickelbare Regelflächen. Erzeugende, Tangentialebene,
Rückkehrkurve. Hüllfläche einer bewegten Ebene. Rich-
tungskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
604. Windschiefe Regelflächen. Centralpunkt einer Erzeugenden,
Striktionslinie. Tangential- und asymptotische Ebene. Asymp-
totische abwickelbare Fläche, Richtungskegel . . . . . . 92

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605. Einteilung der Regelschraubenflächen . . . . . . . . . 93 606. Verschraubung einer Ebene. Formen des Normalschnittes einer Regelschraubenfläche . . . . . . . . . . . . . . 94

Die abwickelbare Schraubenfläche.

607. Die abwickelbare Schraubenfläche in orthogonaler Projektion 96

608. Meridianschnitt. Schnitt mit einer beliebigen Ebene . . . . 97

609. Gleiten und Rollen der erzeugenden Geraden als Tangente an der Rückkehrschraubenlinie. Schnittpunkte der Fläche mit einer Geraden - - - - - - - -

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Abwickelung der Fläche und der Kurven auf ihr . . . .
Eigen- und Schlagschattengrenzen der Fläche bei Parallel-
beleuchtung . . . . . . . . . . . . . . -

Windschiefe Regelschraubenflächen.

Geschlossene gerade Schraubenfläche in orthogonaler Projek-
tion. Schnittpunkte mit einer Geraden, Schnitt mit einer Ebene
Eigen- und Schlagschattengrenzen derselben . . . . . .
Offene gerade Schraubenfläche. Entstehung und Darstellung
Lichtgrenze und Schlagschattengrenzen derselben . -
Geschlossene schiefe Schraubenfläche. Richtungskegel .
Meridianschnitt, Doppelkurven, Normalschnitt. Tangentialebene
Wahrer und scheinbarer Umriß der Fläche für die zweite
Projektion - - - - - - - - - - - -
Eigen- und Schlagschattengrenzen derselben . . . . . .
Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß ihrer
Lichtgrenze bilden . . . . . . . . . . . . . . .
Offene schiefe Schraubenfläche. Richtungskegel, Kehl-
schraubenlinie. Normalschnitt, Doppelkurven, Meridianschnitt
Asymptotische abwickelbare Fläche. Striktionslinie . . . .
Wahrer und scheinbarer Umriß für die erste und zweite
Projektion . . . . . . . . . . .
Eigen- und Schlagschattengrenzen . . . . . . . . . .
Untersuchung der Kurven 4. Ordnung, die den Grundriß der
Lichtgrenze bilden - - - - - - - - - -

Cyklische Schraubenflächen.

Die Schraubenfläche von kreisförmigem Normalschnitt. Eigen-
und Schlagschatten . - - - - - - - - - - - -
Die Schlangenrohrfläche (Serpentine). Lichtgrenze und
Schlagschatten . . . . . . . . . . . . . . . . .

Schrauben.

Schraube und Schraubenmutter. Kern, Gewinde, Schrauben-
profil. Scharfgängiges, flachgängiges und mehrfaches Ge-
winde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flachgängige Schraube, Eigen- und Schlagschatten -
Scharfgängige Schraube, Eigen- und Schlagschatten . . . .
Die Schraubenmutter einer scharfgängigen Schraube, Eigen-
und Schlagschatten . - - - - - - - - -

XI. Kapitel. Die Flächen 2. Grades.

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Pole und Polarebenen, Durchmesser und Diametralebenen; Achsen.

641.

642–644.

Definition. Jede Ebene schneidet die Fläche in einem Kegel-
schnitt - - - - - - - - - - - - -
Konjugierte oder harmonische Pole. Pol und Polarebene .

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