ebene auf einer Parallelen h zu e̟. In П1 zeichne man um H′ die Kreise k1, ką, ką, welche die Geraden 91, 92 93' resp. in H', H2, H' berühren. Bei der Schraubenbewegung von E verschiebt sich H in der Achse a und es beschreiben H1, H2, H2 koaxiale Schraubenlinien, deren Grundrisse die Kreise k1, ką, ką sind und für welche die Gerade h stets gemeinsame Hauptnormale bleibt. Gleichzeitig beschreiben die Geraden 9, 91, 92, 93 schiefe Regelschraubenflächen, nämlich 9 eine geschlossene, die anderen offene und speziell g, eine abwickelbare. Es ist nämlich die Neigung der von H2 beschriebenen Schraubenlinie, also g2 ihre Tangente. Die genannte Fläche besteht also aus allen Tangenten dieser Schraubenlinie, die sie zur Rückkehrkante hat; sie ist abwickelbar und bildet die Hüllfläche aller Lagen von E. Der Spurpunkt G2 beschreibt demnach eine gespitzte Evolvente des Kreises k2, deren Anfangspunkt A durch Aufwickelung der Strecke G2H' gefunden wird. Die Spur e, der bewegten Ebene E umhüllt diese Kreisevolvente und der Grundriß h' der Geraden h bleibt zu e, parallel, indem er sich um H' dreht. Von den zu e senkrechten Projektionen g', 91, 92, 93' der vier Falllinien geht g' stets durch H', die anderen bilden die Tangenten der Kreise k1, ką, k。 und speziell g' rollt auf dem Kreise k2 ohne Gleiten. Demnach sind die vier Spurpunkte G, G1, G2, G3 mit einer auf dem Kreise k2 rollenden Tangente fest verbunden und man erkennt (vergl. 579-581) den Satz: 2 Ist der kürzeste Abstand der Geraden g und a, R-q ihr Neigungswinkel und erfährt g um die feste Achse a eine Schraubenbewegung vom Parameter h, so beschreibt der Spurpunkt von g in einer Normalebene zu a eine Evolvente des Kreises vom Radius ph cotg g um den hcotgo um Achsenspurpunkt. Die Kreisevolvente ist verschlungen, gespitzt oder gestreckt für rp und wird für r = 0 (d. h. wenn g und a sich schneiden) eine Archimedische Spirale. Man kann diesem Satze auch folgende Fassung geben: Der Normalschnitt einer schiefen Regelschraubenfläche ist eine Kreisevolvente und zwar bei einer offenen Fläche verschlungen, gespitzt oder gestreckt, je nachdem die Neigung a der Kehlschraubenlinie größer als die Neigung der Erzeugenden, ihr gleich (abwickelbare Fläche) oder kleiner ist. Bei einer geschlossenen Fläche wird der Normalschnitt eine Archimedische Spirale. Die abwickelbare Schraubenfläche. 607. Die abwickelbare Schraubenfläche wird (wie bereits erwähnt) von einer Geraden erzeugt, die sich als Tangente an einer Schraubenlinie fortbewegt. Die letztere ist die Rückkehrkante und zugleich Kehlschraubenlinie der Fläche. Aus der Definition folgt nach 587, daß der Normalschnitt eine gespitzte Kreisevolvente ist. Die erzeugenden Geraden sind Falllinien der Fläche, d. h. sie schneiden jede Normalkurve rechtwinklig; sie haben sämtlich die gleiche Neigung gegen die Normalebene. Man hat es daher mit einer abwickelbaren Fläche von konstantem Fallen zu thun. 3 Wir wollen einen Gang dieser Schraubenfläche in orthogonaler Projektion darstellen, indem wir ihre Achse senkrecht zum Grundrisse П, voraussetzen. Der Gang werde von der Ebene П, und einer im Abstand h (Ganghöhe) oberhalb befindlichen Parallelebene П, begrenzt (Fig. 390). Der Grundkreis des Cylinders, welcher die Rückkehrkurve s trägt, sei s' in П, (Centrum S', Radius r). Die zweite Projektion der Schraubenlinie s (Neigung a) wird dann, wie in 589, als Sinuslinie s" dargestellt. Der erste Spurpunkt von s sei A auf s'; er bildet zugleich den Grundriß des Spurpunktes dieser Kurve in П. Bei rechtsgängiger Windung wird die Grundspurlinie (in П1) durch eine volle Windung f, der aus dem Ursprunge A gezogenen Evolvente des Kreises s', der Grundriß der Deckspurlinie (in П) durch die ebenfalls in A beginnende rückläufig beschriebene Evolventenwindung f' dargestellt. Der Grundriß gʻ einer Erzeugenden g ist stets eine Tangente des Kreises s', ihre erste Spur G1 findet sich auf f1, die Projektion G' der dritten Spur auf f, woraus der Aufriß g', der s" berührt, leicht gefunden wird. Den wahren Umriß für die erste Projektion bilden die Rückkehrkante s und die als Berandungen des Flächenganges auftretenden Kreisevolventen f1 und f, nebst den ihre Endpunkte verbindenden Erzeugenden h und k. Der Umriß der ersten Projektion wird von den Linien f1, k', fg', h' und s' gebildet. Den wahren Umriß für die zweite Projektion bildet s in Verbindung mit fi, f und den zu П2 parallelen Erzeugenden h, i, k. Der Umriß der zweiten Projektion besteht also aus fi", k", f'", h", i′′ und s". Die vollständige Fläche besteht aus unendlich vielen Gängen, von denen wiederum ein jeder sich ins Unendliche erstreckt; ihre Grundspur ist eine vollständige Kreisevolvente mit ihren beiderlei von A ausgehenden Windungen, die sich in unendlich vielen auf dem Kreisdurchmesser AS' liegenden Doppelpunkten überkreuzen. Da man sich die Fläche durch Schraubenbewegung der Evolvente erzeugt denken kann, so wird ersichtlich, daß jeder Doppelpunkt der letzteren, z. B. D, eine Schraubenlinie d als Doppelkurve erzeugt, in welcher sich zwei Gänge der Fläche schneiden. In der Figur ist ein Teil derjenigen Doppelkurve d dargestellt, welche der Achse zunächst liegt; ihre erste Projektion ist der durch D um S' gelegte Kreis d', woraus der Aufriß d" ohne Schwierigkeit bestimmt werden kann. 608. Um die Meridiankurve m der abwickelbaren Schraubenfläche zu zeichnen, denke man sich letztere mit der Hauptmeridianebene M geschnitten, die durch die Achse parallel ROHN u. PAPPERITZ. II. 7 2 zu П geht. Die erste Spur m' derselben ist durch S parallel zur x-Achse zu ziehen. Hieraus ergeben sich sofort die Grundrisse ihrer Durchschnittspunkte mit den Erzeugenden e der Fläche, wie Q auf e, und daraus die Aufrisse, wie Q" auf e". Die von den letzteren gebildete Kurve m" zeigt die wahre Gestalt des Meridianschnittes; sie bildet in R" eine (auf der Rückkehrkante befindliche) Spitze und hat die Aufrisse ", k" der zu П, parallelen Erzeugenden zu Asymptoten. Die vollständige Meridiankurve besitzt unendlich viele Doppelpunkte, in denen sich ihre den verschiedenen Gängen der Fläche entsprechenden Zweige schneiden und die zugleich den Doppelkurven der Fläche angehören, z. B. U = m × d (Fig. 390). 2 Mit fast ebenso großer Leichtigkeit kann die Schnittkurve der abwickelbaren Schraubenfläche mit einer beliebigen Ebene 2 konstruiert werden. Man benutzt dabei die parallelen Spuren 01 und 03 der Ebene in П1 und П. Um dann ihren Schnittpunkt mit einer bestimmten Erzeugenden e zu finden, lege man durch diese als Hilfsebene die Tangentialebene T der Fläche, deren erste und dritte Spur t, und t、 auf e in ihren gleichnamigen Spurpunkten senkrecht stehen (und mithin die Kreisevolventen fi bezw. fg berühren). Die Hilfslinie 7 = T × E, welche durch L1 = t1 × 1 und L'2 = t'3 × og bestimmt wird, schneidet e in dem gesuchten Punkte V. Die Asymptoten der Schnittkurve liegen in den Tangentialebenen der Fläche durch die zur Schnittebene parallelen Erzeugenden; sie besitzt auf der Rückkehrkante Spitzen, auf den Doppelkurven Doppelpunkte. Die Hilfslinien 7 bilden, weil sie auf Tangentialebenen der Fläche liegen, zugleich Tangenten der Schnittkurve. In die Figur ist, um sie nicht zu komplizieren, keine Darstellung eines solchen ebenen Schnittes der abwickelbaren Schraubenfläche eingetragen. 3 609. Wir sind, um die abwickelbare Schraubenfläche zu erzeugen, von einer bestimmten Schraubenbewegung einer ihrer Erzeugenden ausgegangen, die man auch dadurch vollständig definieren kann, daß man sagt: die Erzeugende g gleitet ohne Rollen als Tangente an der Rückkehrkurve. Hierbei beschreiben alle ihre Punkte koaxiale Schraubenlinien, welche die Schnitte der Fläche mit koaxialen Rotationscylindern bilden. Die Fläche wird aber auch von der Erzeugenden g beschrieben, wenn diese auf der Rückkehrkurve ohne Gleiten rollt und dann beschreiben alle ihre Punkte (wie aus 587 hervorgeht) gespitzte Kreisevolventen, welche die Schnitte der Fläche mit den Normalebenen bilden. Im Anschluß an diese Betrachtung kann die Aufgabe gelöst werden: die Schnittpunkte einer gegebenen Geraden 9 mit einem Gange einer abwickelbaren Schraubenfläche zu konstruieren; oder auch: an einen Gang einer Schraubenlinie die Tangenten zu ziehen, die eine gegebene Gerade g schneiden (Fig. 391). 3 Die Gerade g sei durch ihre Spurpunkte G, und G in П, und П, bestimmt. Ist U ein Schnittpunkt derselben mit der Fläche, so geht durch ihn eine Erzeugende e, deren Spurpunkte E und E resp. auf den Spurkurven f und f, der Fläche liegen. Пз |