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ihren Centralpunkt, welcher von der Nachbarerzeugenden g, den kürzesten Abstand hat. Der Ort der Centralpunkte aller Erzeugenden der Fläche heißt ihre Striktionslinie. Läßt man einen Punkt P eine Erzeugende g der windschiefen Regelfläche durchlaufen, so dreht sich die zu ihm gehörige Tangentialebene um g und nähert sich, indem sich Po ins Unendliche entfernt, einer bestimmten Grenzlage, der zu g gehörigen asymptotischen Ebene. Diese liegt, weil sie den unendlich fernen Punkt der Nachbarerzeugenden g, enthält, zu g, parallel und folglich normal zum kürzesten Abstand beider Erzeugenden. Letzterer liegt in der zum Centralpunkte von g gehörigen Tangentialebene. Man darf daher sagen: Die asymptotische Ebene einer Erzeugenden der windschiefen Regelfläche steht senkrecht auf der Tangentialebene im Centralpunkte derselben Erzeugenden. Alle asymptotischen Ebenen umhüllen die asymptotische abwickelbare Fläche, welche die gegebene Regelfläche längs ihrer Schnittkurve mit der unendlich fernen Ebene berührt. Zieht man durch einen Punkt des Raumes die Parallelen zu allen Erzeugenden der windschiefen Regelfläche, so liegen dieselben auf einem Richtungskegel. Dieser ist aber hier von beschränkterer Bedeutung, als bei der abwickelbaren Regelfläche, denn seine Tangentialebenen bestimmen nur die Stellungen der asymptotischen Ebenen und nicht mehr die aller Tangentialebenen der Regelfläche. 605. Eine Gerade g, die eine Schraubenbewegung ausführt, beschreibt eine Regelschraubenfläche, alle ihre Punkte beschreiben Schraubenlinien der Fläche von einerlei Achse a und einerlei Ganghöhe h. Die Gerade g heißt wiederum die Erzeugende. – Die Regelschraubenfläche ist nach dem Vorigen abwickelbar, wenn zwei unendlich benachbarte Erzeugende als in derselben Ebene befindlich angesehen werden dürfen; im allgemeinen ist sie windschief. Man macht nun folgende weitere Unterscheidungen. Je nachdem die Erzeugende rechtwinklig zur Achse gerichtet ist, oder einen spitzen Winkel mit ihr einschließt, heißt die Fläche gerade (normal) oder schief. Je nachdem die Erzeugende die Achse schneidet oder nicht, heißt die Fläche geschlossen (axial) oder offen. Ist sie im besonderen abwickelbar, so bilden ihre Erzeugenden die Tangenten ihrer Rückkehrkurve, d. i. einer Schraubenlinie. Abwickelbar kann daher nur eine offene schiefe Regelschraubenfläche sein. Bezeichnet man mit r den kürzesten Abstand der Erzeugenden g von der Achse a, also den Radius der Kehlschraubenlinie (593),

mit an deren Neigung, so daß r-tanga = h, die reduzierte Ganghöhe wird, mit q die Neigung der Erzeugenden gegen eine Normalebene zur Achse und setzt noch: p =h, cotangp, so gelangt man zu folgender Ubersicht der möglichen Arten:

1) r = 0, p = 0, geschlossene gerade 2) r > 0, p = 0, offene gerade Regelschrauben3) r = 0, q X> 0, geschlossene schiefe fläche. 4) r > 0, p <> 0, offene schiefe Die letzte Art ist abwickelbar, wenn p = a, r =p ist.

606. Wenn eine Ebene E eine durch ihren Sinn und den Parameter h, bestimmte Schraubenbewegung um eine feste Achse a ausführt, so umhüllt sie eine abwickelbare Schraubenfläche und bildet bei jeder Lage die Schmiegungsebene einer Schraubenlinie s, der Rückkehrkurve dieser Fläche. Es ist für das Folgende nützlich, ihre Bewegung näher zu untersuchen. Wir wählen eine Normalebene zu a als Grundrißebene TT,; e, (L x) und e, seien zu Anfang die Spurlinien von E, p ihre Neigung gegen TT, und H ihr Schnittpunkt mit a (Fig. 389); endlich werde p =h, - cotg qp gemacht. Wir denken uns in der Ebene E eine Falllinie g durch H., sowie noch drei weitere Falllinien g, - g", gg gezogen, für Fig. 389. äre kurzelten Alr, r, von der Schraubenachse a die Annahmen r, <p, 7, = p, 7, X> p gelten mögen. Die ersten Spurpunkte G, G, G, G, liegen auf e, , die Spurpunkte H, H, H, in einer durch H gelegten Horizontal

stände r

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ebene auf einer Parallelen h zu e. In TT, zeichne man um H' die Kreise k, k, k“, welche die Geraden g', g' g' resp. in H“, Ho, H." berühren. – Bei der Schraubenbewegung von E verschiebt sich H. in der Achse a und es beschreiben H, H, H, koaxiale Schraubenlinien, deren Grundrisse die Kreise k, k, k, sind und für welche die Gerade h stets gemeinsame Hauptnormale bleibt. Gleichzeitig beschreiben die Geraden g, g, g, g, schiefe Regelschraubenflächen, nämlich g eine geschlossene, die anderen offene und speziell g, eine abwickelbare. Es ist nämlich p die Neigung der von H, beschriebenen Schraubenlinie, also g, ihre Tangente. Die genannte Fläche besteht also aus allen Tangenten dieser Schraubenlinie, die sie zur Rückkehrkante hat; sie ist abwickelbar und bildet die Hüllfläche aller Lagen von E. Der Spurpunkt G, beschreibt demnach eine gespitzte Evolvente des Kreises k., deren Anfangspunkt A durch Aufwickelung der Strecke G„H“ gefunden wird. Die Spur e, der bewegten Ebene E umhüllt diese Kreisevolvente und der Grundriß h' der Geraden h bleibt zu e, parallel, indem er sich um H' dreht. Von den zu e, senkrechten Projektionen g', g,“, g', g, der vier Falllinien geht g' stets durch H", die anderen bilden die Tangenten der Kreise k, k, k“, und speziell g' rollt auf dem Kreise k ohne Gleiten. Demnach sind die vier Spurpunkte G, G, G, G, mit einer auf dem Kreise k rollenden Tangente fest verbunden und man erkennt (vergl. 579–581) den Satz:

Ist er der kürzeste Abstand der Geraden g und a, R– p ihr Neigungswinkel und erfährt g um die feste Achse a eine Schraubenbewegung vom Parameter h, so beschreibt der Spurpunkt von g in einer Normalebene zu a eine Evolvente des Kreises vom Radius p =h, cotgq um den Achsenspurpunkt. Die Kreisevolvente ist verschlungen, gespitzt oder gestreckt für r Sp und wird für r = 0 (d. h. wenn g und a sich schneiden) eine Archimedische Spirale.

Man kann diesem Satze auch folgende Fassung geben:

Der Normalschnitt einer schiefen Regelschraubenfläche ist eine Kreisevolvente und zwar bei einer offenen Fläche verschlungen, gespitzt oder gestreckt, je nachdem die Neigung a der Kehlschraubenlinie größer als die Neigung p der Erzeugenden, ihr gleich (abwickelbare Fläche) oder kleiner ist. Bei einer geschlossenen Fläche wird der Normalschnitt eine Archimedische Spirale.

Die abwickelbare Schraubenfläche.

607. Die abwickelbare Schraubenfläche wird (wie bereits erwähnt) von einer Geraden erzeugt, die sich als Tangente an einer Schraubenlinie fortbewegt. Die letztere ist die Rückkehrkante und zugleich Kehl schraubenlinie der Fläche. Aus der Definition folgt nach 587, daß der Normalschnitt eine gespitzte Kreisevolvente ist. Die erzeugenden Geraden sind Falllinien der Fläche, d. h. sie schneiden jede Normalkurve rechtwinklig; sie haben sämtlich die gleiche Neigung gegen die Normalebene. Man hat es daher mit einer abwickelbaren Fläche von konstantem Fallen zu thun.

Wir wollen einen Gang dieser Schraubenfläche in orthogonaler Projektion darstellen, indem wir ihre Achse senkrecht zum Grundrisse TT, voraussetzen. Der Gang werde von der Ebene TT, und einer im Abstand h (Ganghöhe) oberhalb befindlichen Parallelebene TT, begrenzt (Fig. 390). Der Grundkreis des Cylinders, welcher die Rückkehrkurve s trägt, sei so in TT, (Centrum S“, Radius r). Die zweite Projektion der Schraubenlinie s (Neigung a) wird dann, wie in 589, als Sinuslinie s” dargestellt. Der erste Spurpunkt von s sei A auf s; er bildet zugleich den Grundriß des Spurpunktes dieser Kurve in TI. Bei rechtsgängiger Windung wird die Grundspurlinie (in TI) durch eine volle Windung f der aus dem Ursprunge A gezogenen Evolvente des Kreises s, der Grundriß der Deckspurlinie (in TI) durch die ebenfalls in A beginnende rückläufig beschriebene Evolventenwindung f' dargestellt. Der Grundriß g“ einer Erzeugenden g ist stets eine Tangente des Kreises so, ihre erste Spur G, findet sich auff, die Projektion G" der dritten Spur auff", woraus der Aufriß g“, der so berührt, leicht gefunden wird. Den wahren Umriß für die erste Projektion bilden die Rückkehrkante s und die als Berandungen des Flächenganges auftretenden Kreisevolventen / und f, nebst den ihre Endpunkte verbindenden Erzeugenden h und k. Der Umriß der ersten Projektion wird von den Linien f, k“, f', h' und so gebildet. Den wahren Umriß für die zweite Projektion bildet s in Verbindung mit f, f und den zu TT, parallelen Erzeugenden h, i, k. Der Umriß der zweiten Projektion besteht also aus f'“, k“, f'“, h“, i“ und s”.

Die vollständige Fläche besteht aus unendlich vielen Gängen, von denen wiederum ein jeder sich ins Unendliche erstreckt; ihre Grundspur ist eine vollständige Kreisevolvente mit ihren beiderlei von A ausgehenden Windungen, die sich in unendlich vielen auf dem Kreisdurchmesser AS“ liegenden Doppelpunkten überkreuzen. Da man sich die Fläche durch Schraubenbewegung der Evolvente erzeugt denken kann, so wird ersichtlich, daß jeder Doppelpunkt der letzteren, z. B. D, eine Schraubenlinie d als Doppelkurve erzeugt, in welcher sich zwei Gänge der Fläche schneiden. In der

Fig. 390.

Figur ist ein Teil derjenigen Doppelkurve d dargestellt, welche der Achse zunächst liegt; ihre erste Projektion ist der durch D um S“ gelegte Kreis d', woraus der Aufriß d“ ohne Schwierigkeit bestimmt werden kann. 608. Um die Meridiankurve m der abwickelbaren Schraubenfläche zu zeichnen, denke man sich letztere mit der

Hauptmeridianebene M geschnitten, die durch die Achse parallel ROHN u. PAPPERITZ. II. 7

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