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und durch Multiplikation dieser Gleichungen erhält man den Satz:

Bei der Bewegung eines Dreiecks ABC (mit den Seiten a, b, c) erfüllen die augenblicklichen Bewegungsrichtungen f, g, h seiner Ecken die Bedingung:

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Hieraus ergiebt sich eine zweite Lösung der obigen Aufgabe. Man ziehe durch irgend einen Punkt O die Geraden a, b, c parallel zu den Seiten des Dreiecks ABC; ihre Ebene wählen wir als Grundriß TT. Ferner ziehe man durch O die Strahlen f, g parallel zu den gegebenen Bewegungsrichtungen von A und B und wähle auff einen Punkt F. Durch F lege man die Ebenen B und T, die zu b und c normal stehen; ferner lege man durch G = T x g die Normalebene A zu a. Jede durch Ogezogene Gerade h, welche die Schnittlinie m der Ebenen A und B trifft, giebt eine zulässige Richtung für die Verschiebung der dritten Ecke C an. Trifft h die Schnittlinie m in H, so sind OF, OG, OH den unendlich kleinen Verschiebungen der Dreiecksecken proportional, denn sie erfüllen offenbar die Gleichungen

OG-cos ag = OH-cosah,

OH-cosbh. = OF-cosbf.,

OF cosef = OG-cos cg. Die Ebene FGH ist daher normal zur gesuchten Schraubenachse und der Rest der Konstruktion kann wie in 592 durchgeführt werden. In Fig. 383 ist nur der erste Teil der Konstruktion im Grundriß ausgeführt; die Ebenen A, B, T werden durch ihre Spurlinien

a, b, c, vertreten.

ZEHNTES KAPITEL.

Schraubenflächen.

Allgemeines über Schraubenflächen.

595. Eine Schraubenfläche entsteht durch Schraubenbewegung einer Kurve; diese Kurve heißt eine Erzeugende der Fläche. Jede Schraubenfläche ist in sich selbst verschiebbar. Sie teilt diese Eigenschaft nur mit den Rotations- und Cylinderflächen. Als Erzeugende kann jede Kurve dienen, die alle auf der Fläche gezogenen koaxialen Schraubenlinien trifft. Die ebenen Schnitte der Fläche, welche deren Achse enthalten, heißen Meridianschnitte, die, deren Ebenen normal zur Achse stehen, Normalschnitte. Die Meridiankurven sowohl als auch die Normalkurven müssen bei der Schraubenbewegung ineinander übergehen, sie sind also unter sich kongruent und können als Erzeugende dienen, weil sie alle Schraubenlinien treffen.

Die Schraubenfläche heißt, geschlossen oder offen, je nachdem die Achse auf ihr liegt oder nicht, d. h. je nachdem die Erzeugende die Achse trifft oder nicht trifft. Im letzteren Falle besitzt sie eine Kehlschraubenlinie, beschrieben von demjenigen Punkte der Erzeugenden, welcher die kürzeste Entfernung von der Achse hat. Bei der geschlossenen Fläche wird die Kehlschraubenlinie durch die Achse selbst vertreten. Die Kehlschraubenlinie bildet in gewissen Fällen eine Rückkehrkante der Fläche.

596. Eine Schraubenfläche kann andererseits auch als Hüllfläche durch Schraubenbewegung einer gegebenen Fläche F erzeugt werden. Sie berührt dann die bewegte Fläche in allen ihren Lagen längs einer bestimmten Kurve c, die man als Charakteristik der Hüllfläche bezeichnet. Diese Kurve bildet den Durchschnitt zweier unendlich benachbarter Lagen der erzeugenden Fläche und kann selbst als Erzeugende benutzt werden.

Seien F und F, zwei unendlich benachbarte Lagen der erzeugenden Fläche und c die Schnittkurve von F. und F. Geht F in F, über, so geht gleichzeitig F, in eine neue Nachbarlage F, und c in eine benachbarte Kurve c, über. Sei ferner Po ein Punkt auf c, t die zugehörige Kurventangente und Po, die folgende Lage von Po auf c,. Dann hat die von c erzeugte Schraubenfläche mit F, sowohl die Tangente t als auch die durch das Linien- C element PP, bestimmte Tangente gemein. Beide "3 Flächen haben also in Peine gemeinsame Tangentialebene, d. h. sie berühren sich in Po. Dies gilt für alle Punkte auf c.

Haben zwei unendlich nahe Lagen der erzeugenden Kurve c und folglich je zwei benachbarte Erzeugende auf der Schraubenfläche einen Punkt gemein, so beschreibt dieser eine Rückkehrkante der Fläche. Seien nämlich CC“, CC, CC" Kurvenstücke benachbarter Erzeugenden, von denen sich die beiden ersten in P., die beiden letzten in Po, treffen (Fig. 384), so stoßen die Flächenelemente C„PC und C/PC" längs des Kurvenelementes P„P, von der nämlichen Seite kommend unter unendlich kleinem Winkel zusammen. Daher darf man sagen: Umhüllen die Erzeugenden auf der Schraubenfläche eine Kurve (Schraubenlinie) so bildet diese eine Rückkehrkante der Fläche.

597. Die Tangentialebene der Schraubenfläche in einem ihrer Punkte P enthält die Tangente der von Po beschriebenen Schraubenlinie und die Tangente der durch Pogezogenen Erzeugenden (bezw. wenn diese eine Gerade ist, die Erzeugende selbst). Hierdurch ist sie bestimmt, sofern nicht die genannten beiden Tangenten zusammenfallen, wie es längs einer etwa vorhandenen Rückkehrkante eintritt. In letzterem Falle ist die Tangentialebene mit der Schmiegungsebene der Rückkehrkurve identisch. In den Punkten der Kehlschraubenlinie ist die Tangentialebene der Fläche der Schraubenachse parallel; denn die Tangente der durch den betrachteten Punkt gezogenen Meridiankurve liegt parallel zur Achse, weil anderenfalls ein Nachbarpunkt derselben eine kürzere Entfernung von der Achse haben würde, als der Berührungspunkt. Da die fragliche Tangentialebene zugleich die Tangente der Kehlschraubenlinie enthält, so ist sie mit der rektifizierenden Ebene der letzteren identisch. Hieraus folgt nach 587: Die Normalen einer Schrauben

C/
Fig. 384.

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fläche entlang ihrer Kehlschraubenlinie schneiden die Schraubenachse senkrecht. Der Fall der Rückkehrkurve bildet eine Ausnahme.

598. Bezüglich der Konstruktion der wahren und scheinbaren Umrisse einer Schraubenfläche, sowie ihrer Eigenund Schlagschattengrenzen für parallele projizierende, bezw. Lichtstrahlen ist zunächst auf die allgemeinen Sätze in 528–530 zu verweisen. Punkte des wahren Umrisses oder der Eigenschattengrenze sind aus der Bedingung zu bestimmen, daß ihre Tangentialebenen dem projizierenden Strahl oder dem Lichtstrahl parallel sein müssen. Eine Rückkehrkurve oder eine Randkurve der Fläche wird jedenfalls dem wahren Umrisse bezw. der Eigenschattengrenze zuzurechnen sein.

Für die Darstellung einer Schraubenfläche in orthogonaler Projektion bei vertikaler Stellung ihrer Achse läßt sich im allgemeinen der Normalschnitt oder der Meridianschnitt mit Vorteil verwenden. Ersteren stellt man in TT, als Spurkurve der Fläche dar, letzteren als Hauptmeridiankurve (in der zu TI, parallelen Meridianebene), so daß der Aufriß seine wahre Gestalt ergiebt. – Der Umriß der ersten Projektion der Fläche besteht aus konzentrischen Kreisen um den Achsenspurpunkt, welche den in TI, gelegenen Normalschnitt n berühren. Punkte dieser Kreise werden auch als erste Spuren der vertikalen Tangenten an die Meridiankurve m gewonnen. Die Berührungspunkte der Umrißkreise mit der Kurve in beschreiben auf der Fläche Schraubenlinien, die den wahren Umriß für die erste Projektion bilden. Namentlich gehört zu letzterem die Kehlschraubenlinie. – Der wahre Umriß für die zweite Projektion ist der Ort derjenigen Punkte des verschraubten Normalschnittes, deren Tangenten senkrecht zu TT, oder deren Normalen parallel zu TT, liegen. Hieraus ergiebt sich auch der Umriß der zweiten Projektion. Derselbe wird oft, dafern sich eine einfache Erzeugende für die Fläche angeben läßt, als Hüllkurve der Projektionen dieser Erzeugenden bestimmt.

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599. Auf einer Schraubenfläche kann die Lichtgrenze u für Parallelbeleuchtung (oder der wahre Umriß für eine beliebige Parallelprojektion) durch verschiedene Methoden gefunden werden, von denen namentlich zwei bemerkenswert sind. Man bestimmt entweder die Punkte der Lichtgrenze auf den einzelnen (koaxialen) Schraubenlinien der Fläche oder auf den einzelnen erzeugenden Kurven. Ersteres – das Schraubenlinienverfahren – ist stets anwendbar und erlangt später für die Theorie der Beleuchtung der Schraubenflächen noch besondere Wichtigkeit, letzteres – das Erzeugenden verfahren – ist zwar von geringerer Allgemeinheit, aber in vielen Einzelfällen noch einfacher. Die Schraubenfläche entstehe durch (rechtsgängige) Verschraubung der Raumkurve c um die Achse a; h, sei die reduzierte Ganghöhe. Zur Vereinfachung legen wir die Grundrißebene TT, La und die Aufrißebene TT, durch a selbst (Fig. 385). Auf die Achse a tragen wir vom Grundriß aufwärts die Strecke h, ab; ihr Endpunkt sei S und S, sein Grundrißschatten. Hierdurch ist der Lichtstrahl l= SS, festgelegt; seine erste Tafelneigung werde durch - bezeichnet. Wir werden im folgenden wiederholt dem Lichtstrahle l oder irgend einer gegebenen Geraden einen bestimmten Punkt der Grundrißebene zuzuordnen haben, den wir kurz ihren Pol (in Bezug auf die Schraubenbewegung) nennen wollen. Man findet den Pol E einer Geraden e, indem man durch S die Parallele zu e zieht und ihrem ersten Spurpunkte E, im Sinne der aufwärtsgehenden Schraubenbewegung eine Viertelumdrehung um die Achse erteilt. Analog findet man in jeder Normalebene zu a einen Pol von e. Alle diese Pole liegen auf der Parallelen zu a durch E, die als Polachse der Geraden e bezeichnet werden mag. 600. Sei P ein Punkt der erzeugenden Kurve c und e die zugehörige Tangente, ferners die auf der Fläche durch P gezogene Schraubenlinie und t ihre Tangente (Fig. 385). Wir ziehen parallel zu Fig. 385. t den Strahl ST, dessen erster Spurpunkt T. auf so liegt (ST |t), und parallel zu e den Strahl SE; sein Spurpunkt sei E (S"E |e). Die Ebene SET ist dann parallel zur Tangentialebene et der Schraubenfläche im Punkte P. Rotiert diese Ebene um die Achse a bis ihre Spur

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