gleich sein müssen. Zieht man daher aus irgend einem Punkte P des Raumes drei Strecken, die jenen resp. gleich und parallel sind, so liegt die Verbindungsebene N ihrer Endpunkte A2, B2, C2 zur

B

Achse a normal und das von P auf N gefällte Lot giebt die Größe z der Schiebung an. Aber auch je zwei entsprechende Seiten der Dreiecke ABC und ABC1 ergeben, senkrecht auf a projiziert, gleiche Strecken; sie sind also gegen die Achse und gegen ihre Normalebene gleichgeneigt. Mithin sind die senkrechten Projektionen A'B'C' und A'B'C' dieser Dreiecke auf N kongruent und lassen sich durch Drehung um einen Punkt O dieser Ebene in einander überführen (vergl. 564). O ist durch irgend zwei von den Mittelsenkrechten der Strecken AA, BB, CC, bestimmt. Durch O ist die Achse a zu ziehen. Endlich findet man den Drehwinkel = AOA (Fig. 381).

B'

Fig. 381.

1

1

Will man die Konstruktion für zwei gegebene kongruente Dreiecke wirklich ausführen, so wähle man die Ebene des einen Dreiecks ABC, als Grundriß П, und lege П, senkrecht zur Ebene E des anderen Dreiecks ABC. Letzteres ist dann durch seine Umlegung ABC in П, um die Spurlinie e, und die Lage von e, gegeben (é̟1 1x, А В C≈ д,B,C1). Ist die Richtung der (e, ABC 0 Achse a gefunden, so projiziere man das Dreieck ABC in dieser Richtung auf П1; das entstehende Bild sei A'B'C1. Durch dieselbe Projektion mag 01 in T1 dem Punkte O in N entsprechen. Da die Figuren ОA'B'C' und OA'B'C' in N kongruent sind, so sind die Figuren O11B11 und O1‚В11 in П1 affin. An Stelle von O genügt es, den ebenfalls der Achse a angehörigen Punkt (1 zu suchen. Man findet ihn leicht als den sich selbst entsprechenden Punkt der affinen Dreiecke A'B'C1 und A,B,C1 (vergl. 22).

1

1

Aus dieser Überlegung folgt der Satz:

Je zwei kongruente Raumfiguren & und F1 liefern, in einer bestimmten Richtung a projiziert, in jeder Normalebene zu a kongruente, in jeder anderen Ebene affine Bilder. Die Projektionsrichtung ist die der Achse,

um

welche in verschraubt wird. Diese Achse geht durch den sich selbst entsprechenden Punkt der affinen Projektionen.

593. Denkt man sich das Dreieck ABC in einer gegebenen Bewegung begriffen und sind die Geraden f, g, h resp. die Tangenten der von A, B, C beschriebenen Bahnkurven in diesen Punkten selbst, so ist, um die Bewegung als eine Folge unendlich kleiner Verschraubungen erklären zu können, eine Verschraubung zu untersuchen, bei der ABC in ein benachbartes kongruentes Dreieck AB11 übergeht, dessen Ecken resp. auf f, g, h, liegen.

Aus der Kongruenz der Dreiecke folgt, daß die Richtungen der Geraden f, g, h, auf denen die Ecken um die unendlich kleinen Größen 1. Ordnung AA1, BB1, CC, verschoben werden sollen, nicht völlig willkürlich angenommen werden dürfen, sondern einer Bedingung genügen müssen. Jede Seite von

ABC schließt mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene ABC einen Winkel ein, der von der 1. Ordnung unendlich klein ist. Folglich ist die Differenz zwischen einer Seite von A,B1C1 und ihrer senkrechten Projektion auf ABC von der 2. Ordnung unendlich klein (426). Das projizierte Dreieck A'B'C' ist mit ABC kongruent und geht aus diesem durch eine unendlich kleine

1

B

A

B

Fig. 382.

Rotation um einen Punkt O der Ebene ABC hervor (Fig. 382). Die Strahlen 04, OB, OC stehen resp. auf AД', BB, CC, und folglich auf АÃ1, BB1, CC1 senkrecht. Hiernach gilt der Satz:

19

Sind f, g, h die augenblicklichen Bewegungsrichtungen dreier Punkte A, B, C eines starren Körpers, so gehen ihre drei in der Ebene ABC gezogenen Normalen durch einen Punkt 0.

Ferner gelangt man zu folgendem Satze:

Liegen die Punkte A, B, C resp. auf drei Geraden f, g, h des Raumes und gehen die in der Ebene ABC konstruierten Normalen derselben durch einen Punkt, so sind f, g, h die Tangenten dreier koaxialen Schraubenlinien von gleicher Ganghöhe.

Man findet nämlich eine bestimmte Schraubenbewegung, bei welcher die Punkte A, B, C resp. auf f, g, h unendlich kleine Verschiebungen erfahren, auf die folgende Art.

ROHN u. PAPPERITZ. II.

A

Sind f', g' die senkrechten Projektionen der Geraden f, g auf die Ebene ABC und schneiden sich ihre durch 4 resp. B gezogenen Normalen in O, so darf h nur in der Ebene gewählt werden, die in C auf OC senkrecht steht. Ist dies geschehen, so ziehe man durch den Punkt O Parallelen zu f, g, h und bestimme auf ihnen Punkte P, Q, R so, daß

ist; dann steht die Ebene PQR normal zur Achse a der gesuchten unendlich kleinen Verschraubung. Denn ist M der Fußpunkt des von 0 auf die Ebene PQR gefällten Lotes, so bildet OM die gemeinsame Projektion von OP, OQ und OR auf dieses Lot. Ferner ist:

und folglich sind die senkrechten Projektionen von AA,, BB1, CC1 auf OM einander gleich, weil diese Strecken zu den Strecken OP, OQ, OR parallel und ihnen proportional sind. Die Achse a muß also parallel zu OM sein. Die Ebenen durch A, B, C, die resp.

bilden. Demnach stimmen (426) die senkrechten Projektionen von a1, b1, c1 auf a, b, c resp. mit diesen selbst bis auf unendlich kleine Größen 2. Ordnung überein.

Hieraus folgt:

und durch Multiplikation dieser Gleichungen erhält man den Satz:

Bei der Bewegung eines Dreiecks ABC (mit den Seiten a, b, c) erfüllen die augenblicklichen Bewegungsrichtungen f, g, h seiner Ecken die Bedingung:

cos ag cos bh cos cf = cos ah⋅ cos bf·cos cg.

Hieraus ergiebt sich eine zweite Lösung der obigen Aufgabe. Man ziehe durch irgend einen Punkt O die Geraden a, b, c parallel zu den Seiten des Dreiecks ABC; ihre Ebene wählen wir als Grundriß П. Ferner ziehe man durch O die Strahlen f, g parallel zu den gegebenen Bewegungsrichtungen von A und B und wähle auff einen Punkt F. Durch F lege man die Ebenen B und г, die zu b und e normal stehen; ferner lege man durch G = rx g die Normalebene A zu a. Jede durch O gezogene Gerade h, welche die Schnittlinie m der Ebenen A und B trifft, giebt eine zulässige Richtung für die Verschiebung der dritten Ecke Can. Trifft h die Schnittlinie m in H, so sind OF, OG, OH den unendlich kleinen Verschiebungen der Dreiecksecken proportional, denn sie erfüllen offenbar die Gleichungen

OH-cos ah,

Die Ebene FGH ist

OF cos bf,
OF.cos

daher normal zur gesuchten Schraubenachse und der Rest der Konstruktion kann wie in 592 durchgeführt werden. In Fig. 383 ist nur der erste Teil der Konstruktion im Grundriß ausgeführt; die Ebenen A, B, werden durch ihre Spurlinien a, b, c, vertreten.

ZEHNTES KAPITEL.

Schraubenflächen.

Allgemeines über Schraubenflächen.

595. Eine Schraubenfläche entsteht durch Schraubenbewegung einer Kurve; diese Kurve heißt eine Erzeugende der Fläche. Jede Schraubenfläche ist in sich selbst verschiebbar. Sie teilt diese Eigenschaft nur mit den Rotations- und Cylinderflächen. Als Erzeugende kann jede Kurve dienen, die alle auf der Fläche gezogenen koaxialen Schraubenlinien trifft. Die ebenen Schnitte der Fläche, welche deren Achse enthalten, heißen Meridianschnitte, die, deren Ebenen normal zur Achse stehen, Normalschnitte. Die Meridiankurven sowohl als auch die Normalkurven müssen bei der Schraubenbewegung ineinander übergehen, sie sind also unter sich kongruent und können als Erzeugende dienen, weil sie alle Schraubenlinien treffen.

Die Schraubenfläche heißt geschlossen oder offen, je nachdem die Achse auf ihr liegt oder nicht, d. h. je nachdem die Erzeugende die Achse trifft oder nicht trifft. Im letzteren Falle besitzt sie eine Kehlschraubenlinie, beschrieben von demjenigen Punkte der Erzeugenden, welcher die kürzeste Entfernung von der Achse hat. Bei der geschlossenen Fläche wird die Kehlschraubenlinie durch die Achse selbst vertreten. Die Kehlschraubenlinie bildet in gewissen Fällen eine Rückkehrkante der Fläche.

596. Eine Schraubenfläche kann andererseits auch als Hüllfläche durch Schraubenbewegung einer gegebenen Fläche Ferzeugt werden. Sie berührt dann die bewegte Fläche in allen ihren Lagen längs einer bestimmten Kurve c, die man als Charakteristik der Hüllfläche bezeichnet. Diese Kurve bildet den Durchschnitt zweier unendlich benachbarter Lagen der erzeugenden Fläche und kann selbst als Erzeugende benutzt werden.