in der Richtung von a eine Verschiebung, proportional dem Drehungsbogen, erfährt. Die Projektion P, des Punktes P legt dann auf der Projektion von k, d. i. auf einem kongruenten Kreise k1, denselben Bogen wie P auf k zurück, während k1 zugleich in П längs der Projektion a, der Achse eine Parallelverschiebung erfährt, die wiederum dem Drehungsbogen proportional ist. Die Bahn des Punktes P, wird also nach früherem eine Cykloide. Je nachdem die einem Umlaufe von P1 entsprechende Verschiebungsgröße (d. h. der Umfang des mit k1 koncentrischen, rollenden Kreises) kleiner als die Peripherie von k, ihr gleich oder größer ist, wird die Cykloide verschlungen, gespitzt oder gestreckt. Jene Verschiebungsgröße ist aber gleich der Projektion der Schraubenganghöhe h, also h· cotg q. :h . Die Peripherie von k ist dagegen 2гh cotga, so daß die obigen Unterscheidungen den Annahmen:

cotg i = cotg a

=

=

oder (da bei spitzen Winkeln dem größeren die kleinere Cotangente zugehört) den Annahmen:

I a

äquivalent sind. Ist a, so giebt es in jedem Schraubengange einen Punkt, dessen Tangente zugleich ein projizierender Strahl ist; seine Projektion liefert eine Spitze der Cykloide.

Erteilt man schließlich der Projektionsebene П eine beliebige Stellung, so folgt aus dem vorigen:

8) Die Parallelprojektion einer Schraubenlinie auf eine zur Achse beliebig geneigte Ebene ist eine affine Kurve einer Cykloide.

589. Wir geben jetzt die Darstellung einer Schraubenlinie in orthogonaler Projektion, wobei wir die Schraubenachse a senkrecht zur Grundrißebene П1 wählen wollen.

1

Die Schraubenlinie s sei rechtsgängig. Der in П1 liegende Grundkreis des Schraubencylinders sei s'; er bildet die erste Projektion der Kurve (Fig. 379). Die Achse sei in zweiter Projektion durch die Vertikale a", die scheinbaren Umrißlinien des Cylinders durch 7" und m" dargestellt. Der Spurpunkt der Kurve s in П, sei ▲ auf s', A"E"h die Ganghöhe. Teilt man den Grundkreis s' von A anfangend in n gleiche Teile und ebenso die Ganghöhe, zieht durch den mten Teilpunkt P' die Vertikale aufwärts und giebt ihr von der x-Achse aus die Länge

= m ·

h

n

so endigt sie in einem Punkte P" der zweiten Projektion s" der Schraubenlinie.

Da der Aufriß s" eine Sinuslinie ist, so kann man die in 582 gegebenen Konstruktionen anwenden. Der Radius des dort benützten

Parameterkreises ist hier die reduzierte Ganghöhe h. Dieselbe ist nach Rektifikation des Grundkreisumfanges gemäß der Proportion: 2гarhh konstruiert (Nebenfigur). Trägt man ho als "S" auf a" ab und verbindet S" mit den Endpunkten I" und M" von

l' und m" auf der x-Achse, so ergiebt sich der Aufriß des über dem Grundkreise stehenden Richtungskegels der abwickelbaren Fläche und es ist S"M"A" a die Neigung der Schraubenlinie. Den Umrißlinien M"S" und "S" des Kegels sind die Tangenten der Sinuslinie s" in ihren auf a" gelegenen Wendepunkten A”, C", E", ... bezw. parallel. Die Krümmungscentra der Sinuslinie in den auf " und m" liegenden Scheitelpunkten B", D", findet man (582), indem man die aus S" gezogene Normale zu M"S" mit der x-Achse in N" schneidet. A"N" ist der Krümmungsradius; zugleich ist M"N" der Krümmungsradius o der Schraubenlinie selbst.

=

In die Figur ist die reciproke Schraubenlinie $1, die den Ort der Krümmungscentra der gegebenen s bildet, eingetragen. Die Ganghöhe ist dieselbe, die Neigung a1 durch S′′N" A′′ = R — α, der Grundkreisradius durch A"N" gegeben. Die Krümmungscentra für die Scheitel der Sinuslinie s," fallen mit denen der vorigen s" zusammen, weil der zugehörige Krümmungsradius als "M" r gefunden wird.

=

590. Die Tangente t der Schraubenlinie in einem ihrer Punkte P wird konstruiert (Fig. 379), indem man auf der Grundkreistangente t' in P' im gehörigen Sinne P'T = Bog P'A abträgt und T" auf x mit P" durch die Gerade t" verbindet. Punkt der Grundkreisevolvente u mit dem Ursprunge A.

T ist ein

Um die zu einer gegebenen Ebene parallelen Tangenten der Schraubenlinie s zu finden, schneide man den über s' stehenden Richtungskegel mit einer durch seine Spitze S gelegten Ebene E von der vorgeschriebenen Stellung; zu jeder der beiden Schnittlinien gehört in jedem Schraubengange eine Paralleltangente t. Ist z. B. Qein Schnittpunkt der Spurlinien e und s', so ist an den Kreis s' diejenige Tangente t'|| S'Q zu ziehen, welche in dem Punkte T" von s" die Tangente t'|| S"Q" liefert (Fig. 380).

Die Schmiegungsebenen der Schraubenlinie durch einen gegebenen Punkt R des Raumes (mit den Projektionen R', R') konstruiert man als gemeinsame Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche der Kurve und ihres aus R als Spitze konstruierten Richtungskegels. Die Spurlinie der abwickelbaren Fläche in ПT, ist die Kreisevolvente u (Fig. 380) mit dem Ursprunge A, die Spurlinie des gedachten Kegels ist ein um R' beschriebener Kreis v, der aus dem Kegelaufriß leicht bestimmt wird. Die gemeinsamen Tangenten der

Kurven u und v sind die ersten Spuren der gesuchten Schmiegungsebenen. Ist z. B. d, die erste Spur einer Schmiegungsebene ▲ durch den Punkt R und zieht man parallel zu ihr den Radius S'W' des Grundkreises s', so ist die Tangente w' in seinem Endpunkte der Grundriß der Erzeugenden w der abwickelbaren Fläche, längs der sie von der Ebene ▲ berührt wird und W' der Grundriß des

den; durch letzte

ren ist schließlich auch die zweite Spur d von A bestimmt.

Um die zu einer gegebenen Geraden g g parallelen Schmiegungsebenen der Schraubenlinie zu finden, denke man sich g durch die Spitze S des Richtungskegels

über

dem Grundkreise

s' gezogen und durch g die Tangentialebenen dieses Kegels gelegt. Die zu ihnen parallelen Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche bilden die Lösungen der Aufgabe. Man benutzt die aus der ersten Spur G, von g ans' gelegten Tangenten und die zu

ihnen parallelen Tangenten der Kreisevolvente u. Die Konstruktion ist in die Figur nicht eingetragen.

591. Die Schraubenbewegung oder Verschraubung eines geometrischen Gebildes um eine gegebene Achse a ist durch ihren Sinn (rechts- oder linksgängig) und einen Parameter bestimmt, der die zu einem bestimmten Drehwinkel gehörige Verschiebung z in der Achsenrichtung angiebt. Man wählt als Parameter entweder die Ganghöhe h, die einer vollen Umdrehung = 2, oder die reduzierte Ganghöhe ho, die dem Drehwinkel = 1 entФ spricht. Die bewegte Figur hat man sich mit der Schraubenachse fest verbunden zu denken; die Schraubenbewegung setzt sich dann zusammen aus einer Verschiebung der Achse in sich und aus einer mit dieser proportionalen Drehung um die Achse im vorgeschriebenen Sinne. Die Verschraubung ist auch der Größe nach bestimmt, wenn von den beiden Größen und z, die durch die Gleichung z= ho'q

zusammenhängen, eine gegeben ist. Bei der Verschraubung einer Figur beschreiben alle Punkte derselben koaxiale Schraubenlinien von der nämlichen Ganghöhe.

592. Die Schraubenbewegung wird in der Kinematik benutzt, um beliebige Bewegungen eines geometrischen Körpers im Raume der Untersuchung zugänglich zu machen. Jede gegebene Bewegung wird aufgelöst in eine Folge von unendlich vielen, unendlich kleinen Verschraubungen um eine Achse, die ihre Lage selbst gesetzmäßig ändert. Die zu einer bestimmten Position des Körpers gehörige Lage der letzteren, heißt die augenblickliche Schraubenachse (Momentanachse).

Da jede Lage eines bewegten Körpers (in Bezug auf einen anderen festen) durch die Lage dreier seiner Punkte bestimmt ist, die nicht in einer Geraden liegen, so kann man sich darauf beschränken, die Bewegung eines Dreiecks ABC im Raume zu untersuchen. Zuerst gilt der Satz:

Ein Dreieck ABC kann in jedes kongruente Dreieck A,B,C, von gegebener Lage durch eine bestimmte Schraubenbewegung übergeführt werden.

Um diese Verschraubung zu bestimmen, denke man sie sich in eine Verschiebung entlang einer Achse und in eine Drehung um dieselbe zerlegt.

Es werden also gesucht: die Achse a, die Verschiebungsgröße z und der Drehwinkel g. Zuerst erkennt man, daß die senkrechten Projektionen der Strecken A1, BB1, CC1 auf die Achse einander