Abbildungen der Seite
PDF

Kurven u und v sind die ersten Spuren der gesuchten Schmiegungsebenen. Ist z. B. d, die erste Spur einer Schmiegungsebene A durch den Punkt R und zieht man parallel zu ihr den Radius S"W" des Grundkreises s, so ist die Tangente w" in seinem Endpunkte der Grundriß der Erzeugenden w der abwickelbaren Fläche, längs der sie von der Ebene A berührt wird und W“ der Grundriß des Berührungspunktes dieser Erzeugenden mit der Schraubenlinie. Der Schnittpunkt W., von wo und u (w/ L u) ist der erste Spurpunkt der Schraubenlinientangente w. Sucht man noch W" und W“ auf, so kann der Aufriß w“ gezogen und der zweite Spurpunkt W", angegeben werden; durch letzteren ist schließlich auch die zweite Spur d, von A bestimmt. Um die zu einer gegebenen Geraden g parallelen Schmiegungsebenen der Schraubenlinie zu finden, denke man sich g durch die Spitze S des Richtungskegels über dem Grundkreise s“ gezogen und durch g die Tangentialebenen dieses Kegels gelegt. Die zu ihnen parallelen Tangentialebenen der abwickelbaren Fläche bilden die Lösungen der Aufgabe. Man benutzt die aus der ersten Spur G., von g an so gelegten Tangenten und die zu ihnen parallelen Tangenten der Kreisevolvente zu. Die Konstruktion ist in die Figur nicht eingetragen. 591. Die Schraubenbewegung oder Verschraubung eines geometrischen Gebildes um eine gegebene Achse a ist durch ihren Sinn (rechts- oder linksgängig) und einen Parameter bestimmt, der die zu einem bestimmten Drehwinkel p gehörige Verschiebung z in der Achsenrichtung angiebt. Man wählt als Parameter entweder die Ganghöhe h, die einer vollen Umdrehung p = 2, oder die reduzierte Ganghöhe h, die dem Drehwinkel p = 1 entspricht. Die bewegte Figur hat man sich mit der Schraubenachse fest verbunden zu denken; die Schraubenbewegung setzt sich dann zusammen aus einer Verschiebung der Achse in sich und aus einer mit dieser proportionalen Drehung um die Achse im vorgeschriebenen Sinne. Die Verschraubung ist auch der Größe nach bestimmt, wenn von den beiden Größen q und z, die durch die Gleichung z=h q zusammenhängen, eine gegeben ist. Bei der Verschraubung einer Figur beschreiben alle Punkte derselben koaxiale Schraubenlinien von der nämlichen Ganghöhe. 592. Die Schraubenbewegung wird in der Kinematik benutzt, um beliebige Bewegungen eines geometrischen Körpers im Raume der Untersuchung zugänglich zu machen. Jede gegebene Bewegung wird aufgelöst in eine Folge von unendlich vielen, unendlich kleinen Verschraubungen um eine Achse, die ihre Lage selbst gesetzmäßig ändert. Die zu einer bestimmten Position des Körpers gehörige Lage der letzteren, heißt die augenblickliche Schraubenachse (Momentan achse). Da jede Lage eines bewegten Körpers (in Bezug auf einen anderen festen) durch die Lage dreier seiner Punkte bestimmt ist, die nicht in einer Geraden liegen, so kann man sich darauf beschränken, die Bewegung eines Dreiecks ABC im Raume zu untersuchen. Zuerst gilt der Satz: Ein Dreieck ABC kann in jedes kongruente Dreieck A, B, C, von gegebener Lage durch eine bestimmte Schraubenbewegung übergeführt werden. Um diese Verschraubung zu bestimmen, denke man sie sich in eine Verschiebung entlang einer Achse und in eine Drehung um dieselbe zerlegt. Es werden also gesucht: die Achse a, die Verschiebungsgröße z und der Drehwinkel q. Zuerst erkennt man, daß die senkrechten Projektionen der Strecken AA, BB, CC, auf die Achse einander gleich sein müssen. Zieht man daher aus irgend einem Punkte P des Raumes drei Strecken, die jenen resp. gleich und parallel sind, so liegt die Verbindungsebene N ihrer Endpunkte A, B, C, zur Achse a normal und das von P auf N gefällte Lot giebt die Größe z der Schiebung an. Aber auch je zwei entsprechende Seiten der Dreiecke ABC und A, B, C ergeben, senkrecht auf a projiziert, gleiche Strecken; sie sind also gegen die Achse und gegen ihre Normalebene gleichgeneigt. Mithin sind die senkrechten Projektionen ABC“ und A/B/C" dieser Dreiecke auf N kongruent und lassen sich durch Drehung um einen Punkt O. dieser Ebene in einander überführen (vergl. 564). O ist durch irgend zwei von den Mittelsenkrechten der Strecken A 4“, B'B, CC" bestimmt. Durch O ist die Achse a zu ziehen. Endlich findet man den Drehwinkel p = z A04“ (Fig. 381).

[graphic]

Will man die Konstruktion für zwei gegebene kongruente Dreiecke wirklich ausführen, so wähle man die Ebene des einen Dreiecks A, B, C als Grundriß TT, und lege TT, senkrecht zur Ebene E des anderen Dreiecks ABC. Letzteres ist dann durch seine Umlegung A,B,C, in TT, um die Spurlinie e, und die Lage von e, gegeben (e, L x, A, B, C, - A, B, C). Ist die Richtung der Achse a gefunden, so projiziere man das Dreieck ABC in dieser Richtung auf TT,; das entstehende Bild sei ABC. Durch dieselbe Projektion mag O' in TT, dem Punkte O in N entsprechen. Da die Figuren OABC“ und OA, B, C, in N kongruent sind, so sind die Figuren 0,4 BC und 04, B, C, in TT, affin. An Stelle von O genügt es, den ebenfalls der Achse a angehörigen Punkt O' zu suchen. Man findet ihn leicht als den sich selbst entsprechenden Punkt der affinen Dreiecke ABC und A, B, C (vergl. 22)

Aus dieser Uberlegung folgt der Satz:

Je zwei kongruente Raumfiguren F und F, liefern, in einer bestimmten Richtung a projiziert, in jeder Normalebene zu a kongruente, in jeder anderen Ebene affine Bilder. Die Projektionsrichtung ist die der Achse, um welche F in F, verschraubt wird. Diese Achse geht durch den sich selbst entsprechenden Punkt der affinen Projektionen.

[graphic]

593. Denkt man sich das Dreieck ABC in einer gegebenen Bewegung begriffen und sind die Geraden f, g, h resp. die Tangenten der von A, B, C beschriebenen Bahnkurven in diesen Punkten selbst, so ist, um die Bewegung als eine Folge unendlich kleiner Verschraubungen erklären zu können, eine Verschraubung zu untersuchen, bei der ABC in ein benachbartes kongruentes Dreieck A, B, C, übergeht, dessen Ecken resp. auff, g, h, liegen.

Aus der Kongruenz der Dreiecke folgt, daß die Richtungen der Geraden fig, h, auf denen die Ecken um die unendlich kleinen Größen 1. Ordnung AA, BB, CC, verschoben werden sollen, nicht völlig willkürlich angenommen werden dürfen, sondern einer Bedingung genügen müssen. Jede Seite von A, B, C, schließt mit ihrer senkrechten Projektion auf die Ebene ABC einen Winkel ein, der von der 1. Ordnung unendlich klein ist. Folglich ist die Differenz zwischen einer Seite von A, B, C, und ihrer senkrechten Projektion auf ABC von der 2. Ordnung unendlich klein (426). Das projizierte Dreieck A, B, C, ist mit ABC kongruent und geht aus diesem durch eine unendlich kleine Rotation um einen Punkt O der Ebene ABC hervor (Fig. 382). Die Strahlen OA, OB, OC stehen resp. auf AA“, BB, CC" und folglich auf AA, BB, CC senkrecht. Hiernach gilt der Satz:

Sind f, g, h die augenblicklichen Bewegungsrichtungen dreier Punkte A, B, C eines starren Körpers, so gehen ihre drei in der Ebene ABC gezogenen Normalen durch einen Punkt O.

Ferner gelangt man zu folgendem Satze:

Liegen die Punkte A, B, C resp. auf drei Geraden fig, h des Raumes und gehen die in der Ebene ABC konstruierten Normalen derselben durch einen Punkt, so sind f, g, h die Tangenten dreier koaxialen Schraubenlinien von gleicher Ganghöhe.

Man findet nämlich eine bestimmte Schraubenbewegung, bei welcher die Punkte A, B, C resp. auff, g, h unendlich kleine Verschiebungen erfahren, auf die folgende Art.

RoHN u. PAPPERITZ. II. 6

[graphic]

Sind f”, g/ die senkrechten Projektionen der Geraden fi g auf die Ebene ABC und schneiden sich ihre durch A resp. B gezogenen Normalen in O, so darf h nur in der Ebene gewählt werden, die in C auf OC senkrecht steht. Ist dies geschehen, so ziehe man durch den Punkt 0 Parallelen zu f; g, h und bestimme auf ihnen Punkte P, Q, R so, daß OP": OQ: OR“ = OA: OB: OC

ist; dann steht die Ebene PQR normal zur Achse a der gesuchten unendlich kleinen Verschraubung. Denn ist M der Fußpunkt des von O auf die Ebene PQR gefällten Lotes, so bildet OM die gemeinsame Projektion von OP, OQ und OR auf dieses Lot. Ferner ist:

- A4": BB': CC" = 04: OB: OC

und folglich sind die senkrechten Projektionen von AA, BB, CC, auf OM einander gleich, weil diese Strecken zu den Strecken OP, OQ, OR parallel und ihnen proportional sind. Die Achse a muß also parallel zu OM sein. Die Ebenen durch A, B, C, die resp. zu MP, MQ, MIR normal stehen, schneiden sich in der Schraubenachse a selbst. Endlich erhält man die reduzierte Ganghöhe h, aus der Proportion:

[ocr errors]

594. Man kann der oben ausgesprochenen Bedingung zwischen den Geraden f, g, h noch einen anderen Ausdruck geben, indem man beachtet, daß die Seiten a = BC, b= CA, c = AB des gegebenen Dreiecks auch mit den entsprechenden Seiten a, b, c, des Fig. 383. verschobenen Dreiecks A, B, C, unendlich kleine Winkel 1. Ordnung bilden. Demnach stimmen (426) die senkrechten Projektionen von a, b, c, auf a, b, c resp. mit diesen selbst bis auf unendlich kleine Größen 2. Ordnung überein. Hieraus folgt:

[ocr errors]
[graphic]
« ZurückWeiter »